何 涛 李 玲 张 武 孙玉秋

(长江大学信息与数学学院 湖北荆州)

泛克里金的漂移函数参数估计新方法＊

何 涛 李 玲 张 武 孙玉秋

(长江大学信息与数学学院 湖北荆州)

为了解决漂移函数的估值难题,文章在详细推导泛克里金法原理公式的基础上,首先推导了用方向导数求解多元条件极值的公式,然后提出了基于方向导数的漂移函数参数估计方法,并作了分析与总结,从时间复杂度的角度看,该方法在很大程度上优于Lagrange乘数法。

泛克里金;漂移函数;方向导数;时间复杂度

0 引 言

泛克里金法是一种比普通克里金法应用更为广泛的插值方法。普通克里金方法要求区域化变量满足二阶平稳假设或本征假设,但在实际中这一假设往往无法满足,即存在漂移。由于泛克里金估计技术考虑了漂移的无偏线性估计量,因此估计漂移函数的参数是不可或缺且非常重要的部分。鉴于此,本文提出了基于方向导数的漂移函数参数估计法,结果表明它具有很强的实际应用价值。

1 泛克里金法原理推导

设z(x)表示在研究区域内变量 x处的属性值,Z (x)为相对应的随机变量,则 z(x)在 x0处的估计值z＊(x0)可表示为:

式中,λi是相对应的加权系数,本文采用泛克里金技术来确定λi(i=1,2,…,n)。

对于简单和普通克里金来说,随机函数 Z(x)的一阶平稳是一个基本假设,即 E[Z(x)]=m,其中 m是不随x变化的常数。但有些随机函数的均值并非常数,E[Z(x)]=m(x),其中 m(x)是空间位置 x的函数,不是一阶平稳的随机函数,而是一种非平稳函数。m(x)称为这种非平稳随机函数的漂移函数,简称漂移或趋势。

在实际应用中,随机函数模型是趋势与残差之和[1、6]:

式中,m(x)反映了区域化变量总的变化趋势,残差函数

则描述了区域化变量 Z(x)本身的空间连续性,且有

趋势部分通常是一个光滑的确定性函数来模拟,或用拟合方法根据已知的数据求得函数的未知参数:

式中,fi(x)是 x的函数,一般取 xi-1的多项式[2]; αi是未知的参数,由于参数是未知的,故趋势值m(x)本身也是未知的。理想情况下应该由所研究问题的物理意义来确定趋势函数,在无法得到有关趋势的形状信息时如何把z数据分成趋势部分和残差部分就带有任意性,在没有任何物理解释的情况下通常选用低阶多项式来表示趋势。

一维的线性趋势取:

二维的二次趋势取为:

以下讨论用 Z(xj)(j=1,2,…,n)来估计αi(i= 0,1,…,K)的过程。用(K+1)组加权系数βji(j=1, 2,…,n)对Z(xj)进行线性组合,构成了(K+1)个随机向量,即

下面我们的目标是选取适当的βji使得:

从而与m(x)相对应的随机变量

且有 E[M(x)]=m(x),即为 m(x)的无偏估计。

记cov(xj,xl)为区域化变量 Z(x)的残差函数 R (x)的协方差。则可以推导[1]出:

2 基于方向导数的漂移参数估计

记 F=f(y1,y2,…,yn),条件函数为 gi(y1,y2,…,yn),(i=0,1,…,K),F在点(y1,y2,…,yn)处梯度向量[3]为

假设这个(K+1)条件函数相交部分方程为 G= d0g0+d1g1+…+dKgK,其中 di(i=0,1,…,K)是一些常数。又有曲面 G(y1,y2,…,yn)=0在点(y1,y2,…,yn)处的法向量为:

同样,设曲面 G(y1,y2,…,yn)=0在点(y1,y2,…,yn)处的切平面上的任意一个向量为(a1,a2,…, an),则有即

令 a2=a3=…=an-1=0,消去 an得到向量:

同理,我们可以得到另外(n-2)个向量,进一步简化则有

求解该方程组以及(K+1)个条件函数 gi(y1,y2,…,yn),(i=0,1,…,K),即可得到我们要求的解。现在回到本文所要解决问题:令

对于s的一个固定值,讨论:如j=1时,

将(17)式,(18)式代入(16)式得到:

此方程组共有(n-1)个方程,再加上(K+1)个条件函数(即(11)式),即由(n+K)个方程可以解出βji。

3 分析与结论

采用本文的参数求解方法((11)式和(19)式)比Lagrange乘数法((20)式)要少一个方程,在时间复杂度则有较大的改善。

对(12)式用Lagrange乘数法求解得到方程组[4]为:

在式(20)中共有个(n+K+1)方程。现在只讨论求解方程组,则(20)式的时间复杂度[5]为:T1=[4(n+K+1)3+9(n+K+1)2-7(n+K+1)]

,而式(11)和式(19)联立方程组得时间复杂度为:T2=[4(n+K)3+9(n+K)2-7(n+K)]。故当(n +K)逐渐增大时,T2与 T1的差还要乘以s的个数(K +1),这个数显然是很大的。故从从时间复杂度的角度看,该方法在很大程度上优于Lagrange乘数法。

[1] 王家华,余元华.泛克里金漂移函数最佳估计的一个推导[J].西安石油学院学报,1987,2(1)

[2] 杨功流,张桂敏,李士心.泛克里金插值法在地磁图中的应用[J].中国惯性技术学报,2008,16(2)

[3] 华东师范大学数学系.数学分析(下)[M].北京:高等教育出版社,1991

[4] 颜慧敏.空间插值技术的开发与实现[D].四川:西南石油学院,2006

[5] 李庆扬,王能超,易大义.数值分析(第4版)[M].武汉:华中科技大学出版社,2006

[6] 韩 燕,陶凤梅,杨毅恒,等.泛协克里金漂移的估计[J].齐齐哈尔大学学报,2002,18(4)

He Tao,Li Ling,Zhang Wu and Sun Yuqiu.A new method of parameter estimation of the drift function of U-niversal Kriging.PI,2010,24(4):62～64

In order to solve the valuation problems about the drift function,and by inferring detailedly the formula of Universal-Kriging′s principle,this article first inferrs the formula of the multi-conditional extremum that is solved by directional derivative,and then puts forward a method of parameter estimation of the drift function,based on directional derivative. An analysis and summary show that,from the time complexity point of view,this method is to a large extent superior to Lagrange multiplier method.

Universal-Kriging;drift function;directional derivative;time complexity

O177.92

B

1004-9134(2010)04-0062-03

国家大学生创新性实验计划资助项目(项目编号:081048901),项目名称:基于插值技术的地层描述方法研究。

何 涛,男,1988年生,现为长江大学信息与数学学院信息与计算机学院在校生。邮编:434023

2009-10-21 编辑:梁保江)

·方法研究·