王建忠

(江苏省启东中学 江苏 启东 226200)

贵刊2010年第3期刊登了《关于带电粒子在复合场中运动的题目误解分析》一文(下称“误解分析”)，对带电粒子在复合场中运动的一类问题存在的错误理解和认识作了剖析，并正确分析了运动过程，对一个典型题目得出“由于题给条件不足，不能求出小球在最低点的速度和下落高度”的结论，笔者深受启发．本文给出求小球在最低点的速度和下落高度的三种解法，并对该题目作进一步拓展，作为对“误解分析”的补充，供同行参考．

题目： 一电荷量为q的小球固定在与水平面平行的范围足够大的匀强磁场中．若匀强磁场的磁感应强度为B，小球的质量为m，自由释放小球．试分析小球的运动情况．并求出带电小球下落的高度及最低点的速度．假设小球带的是正电荷，不计空气阻力(笔者对题目文字略作修改)．

分析:小球从静止开始运动，初始时刻只受重力作用，在重力作用下向下加速运动，一旦有了速度，便同时还会受到磁场对它的洛伦兹力作用，由于洛伦兹力的方向与重力的方向不在一直线上，因此小球受的合外力与速度不共线，小球做曲线运动．由于过程中小球速度的大小和方向时刻在变化，所以小球所受的洛伦兹力的大小和方向也时刻在变化，小球作的是变加速曲线运动．

图1

得

图2

由运动的独立性原理，小球的运动可看成水平方向上速度v1的匀速直线运动和竖直平面内逆时针方向的匀速圆周运动的合运动，轨迹是一滚轮线，如图2．滚轮线上的最低点A点也就是小球运动过程中所能到达的最低位置．所以小球下落的高度为

过程中只有重力做功，由动能定理

得

解法二：用动量定理和动能定理求解.小球在最低点时的速度必定在水平方向，而重力在竖直方向，对水平方向上的动量变化无贡献，小球在水平方向上的动量变化是洛伦兹力的冲量作用的结果.以水平向右为x轴的正方向，竖直向下为y轴的正方向.考查小球从释放到最低点过程中的时间间隔Δt,在x方向的分运动，由动量定理得

fxΔt=Δ(mvx)

而

fx=qBvy

得

qBvyΔt=mΔvx

上式两边求和得

qB∑vyΔt=qB∑Δy=m∑Δvx

即

qBh=mv

再由动能定理

联立可得

解法三：利用一元二次方程的判别式求解.设小球在最低点A点的速度为v，A点轨迹的曲率半径为ρ，小球在A点受到竖直向下的重力mg和竖直向上的洛伦兹力f=qBv，由牛顿第二定律

上式可化为一个关于v的一元二次方程

mv2-qBρv+mgρ=0

题设条件下的v值应该是唯一的，有

Δ=(qBρ)2-4m2gρ=0

可得

再由动能定理

得

小结:解法一、解法二侧重物理思维，要求有较高的物理建模能力，数学运算相对简单．尤其是解法一，利用速度合成的思想“无中生有”地构造一对大小相等的速度，匀速直线运动和匀速圆周运动两个分运动的合运动的轨迹就是带电小球的运动轨迹，变复杂的曲线运动为两个我们非常熟悉的简单分运动来研究，这也是我们研究曲线运动的常用手段．解法二的物理思路比较常规，所用的物理规律是常用的牛顿第二定律和动能定理.利用一元二次方程的判别式巧妙地求出了轨迹最低点的曲率半径，使问题迎刃而解．这种解法对“应用数学处理物理问题的能力”要求较高，而“应用数学处理物理问题的能力”是我们在教学中要注重培养的能力之一，“增进各学科间之间的知识和方法上的联系”是课程标准所强调的．

原题可进一步拓展—求小球在最低点的加速度．

解法一:运动学方法．从合运动的角度看，小球在最低点只有法向加速度，没有切向加速度．将上面求得的结果代入法向加速度的表达式，可得小球在A点的加速度大小为

方向竖直向上．

从分运动的角度看，利用原题解法一中的结论，小球的加速度即为以速度v2作匀速圆周运动的向心加速度

小球在最低点的加速度大小为g，方向竖直向上．

解法二:动力学方法．从合运动的角度看，小球在最低点受到竖直向下的重力mg和竖直向上的洛伦兹力f=qBv，由牛顿第二定律

方向竖直向上．

从分运动的角度看，利用原题解法一中的结论，因速度v1而使小球受到的洛伦兹力与重力平衡，因此小球的加速度即为v2对应的洛伦兹力产生的加速度，小球在最低点的加速度为

方向竖直向上．

以上对原题及拓展部分的求解过程，体现了“误解分析”强调的“关注运动形式，使带电粒子运动状态和受力情况有机结合”的思想．