贾光一 费英琼

(廊坊师范学院 河北 廊坊 065000)

同轴电缆应用广泛，但实际中的电缆并非是理想的.现考虑并计算如下所述的非理想同轴电缆的漏电电阻.

【例】如图1所示，中心导线的半径为a，它位于半径为b的接地外导电圆筒的轴线上.内外导线之间的空间充满了一种电导率为σ的非理想绝缘材料，求此电缆长度为L的一段中心导线和外导线之间的漏电电阻是多少？

图1 由同轴圆柱导线构成的电缆.内外导

分析：这个电阻有实际意义，因为同轴电缆的外导体通常总是接地，同大地保持等电势.当这种电缆被用于沿中心线传输电压时，正是这个电阻确定了对地的漏电流.为了求出这个电阻，下面我们通过三种方法来进行计算，最后进行比较.

1 电阻公式法

则长度为L的一段电缆内的漏电电阻为[1]

(1)

2 稳恒电流法

先计算当中心导线维持一个电势U时，长度为L的一段电缆上从中心导线流到外导电圆筒的电流I，有

(2)

式中j是长度为L的中心导线表面S1附近绝缘体中的电流密度.(这个电流可以在内外导体之间包围中心导线的一个任意曲面上取电流密度的面积分而得到.我们选择面S1，只是为了方便)对于许多材料，在稳态情况下，电流密度与电场成正比，即

j=σE

(3)

对于此问题，式中E是在面S1附近的电场，这个电场与金属表面垂直，而且根据对称性，它具有常数值E(a).式(2)于是可以改写为

I=2πaLσE(a)

(4)

于是，问题便简化为利用量U、a和b来确定电场E.

当一个电动势的源产生一个稳恒电流时，在这个源外部的电场处处都是静电场.因此，电场E可以根据下式用静电势φ来表示

E=-▽φ

(5)

这样，我们需要一个方程，以便从这个方程求出在这种材料内各处的电势.结合式(3)和式(5)，得到

j=-σ▽Φ

(6)

或

▽·j=-σ▽2φ

(7)

在任意一点上的电流密度的散度，是从包围该点的一个很小体积的表面流出的矢量j的通量的量度.如果电流是稳恒的，那么进入材料任一小体积内的电荷与离开该小体积的电荷数量相同，因而j的散度处处为零.于是

▽2φ=0

(8)

在导电介质内处处都得到满足.式(8)是一个拉普拉斯方程，它与对没有电流和没有自由电荷的体密度区域导出的静电势方程相同.在目前的问题中，需要找到式(8)满足下列边界条件的一个解：

1) 电势在面S1上所有各点都具有常数值U；

2) 在面S2上所有各点则具有常数零(外导体接地).

图2 柱极坐标

对于同轴电缆，采用柱极坐标(r，θ，z)比较合适.在柱极坐标系中，r是从(r，θ，z)到z轴的垂直距离，如图2所示.角度θ是由原点引出的位置矢量相对于x轴的方位角.在柱极坐标系中，拉普拉斯算符的形式为

由于同轴电缆具有圆柱对称性，所以讨论的电势与θ无关；此外，对于长电缆可以略去边缘效应，即电势与z无关，于是拉普拉斯方程简化为

由此可得

其中A为常量.因而

φ(r)=Alnr+C

(9)

其中C是另一积分常数；A和C由边界条件决定.其中

根据式(4)和式(5)，我们求得[2]

因而

(10)

3 静电场法

运用这种方法需要考虑到，当存在着电介质和导电材料时，将出现感应电荷和极化电荷，而它们的数值又只有当电场或电势为已知时才有可能求出.因此在事先不知道极化电荷分布的情况下，需要引入电位移矢量D来计算有电介质时的电场.

设在中心线和外导体之间的均匀非理想绝缘材料的相对介电常数为ε，这两个导体构成了一个电容器.当它们之间维持一个电势差U时，内外导体的表面上都会出现感应电荷.对于非理想绝缘材料，上面已经提到，由于进入材料任一小体积内的电荷与离开该小体积的电荷数量相同，因而绝缘材料内的自由电荷总量为零.假设中心线表面上的电荷密度为α，那么在1 m长的导线上的总电荷就是Q=2πaα.电位移矢量显然具有柱对称性，它的大小仅取决于离轴线的距离r.从一个半径为r、单位长度的圆柱面S穿出的D通量为

因此

又

D=εε0E

故有[2]

由此可算得绝缘材料内r处与外导体之间的电势差为

(11)

当r=a时，

(12)

所以得到

代入(11)式，得到

(13)

式(13)与式(9)是一致的.然后，根据式(4)和式(5)，仍可以得到

常用绝缘材料的电导率的量级为10-12(Ω·m)-1.如果电缆中心导线的半径为1.5 mm，外导线的半径为10 mm，而内外导线之间充满上述绝缘材料，则对于长100 m的这种电缆，其泄露电阻约为3×109Ω.

必须强调指出，上述的电阻计算只有在材料服从欧姆定律时才是正确的，但实际并非总是如此，例如许多材料在高电场中便不遵从欧姆定律；对于半导体二极管、真空二极管以及许多气体导电管等元器件[3]，欧姆定律也不再成立[注]注：在参考文献【2】中，该处的C值并没有负号，经过计算，我们发现此处是文献【2】中的一个疏忽..

参考文献

1 史祥蓉，韩仙华.电磁学.同步学习指导.北京：国防工业出版社，2007，52

2 I.S.Grant WR.Phillips著.刘岐元，王鸣阳译.电磁学.北京：人民教育出版社，1983.128～131，78～79

3 梁灿彬，等.电磁学.北京：高等教育出版社，2004，125