王忠林,黄 娜

(1.滨州学院物理与电子科学系,山东滨州256603;2.厦门大学信息科学技术学院计算机科学系,福建厦门360000)

一个三维四翼混沌系统的设计与FPGA实现*

王忠林1,黄 娜2

(1.滨州学院物理与电子科学系,山东滨州256603;2.厦门大学信息科学技术学院计算机科学系,福建厦门360000)

为产生复杂混沌吸引子,采用双极性化z轴的方法,将1个混沌系统的双翼吸引子变为了四翼吸引子,对新的系统进行理论分析和计算机仿真,计算表明系统具有1个正的Lyapunov指数,利用EDA技术,在FPGA平台上实现这个四翼混沌系统,实验所得相图与数值仿真一致,二者都是具有四翼的吸引子,实验验证理论分析和数值仿真的正确性。

超混沌系统;四翼吸引子;Lyapunov指数

混沌理论不仅在科学上具有重大意义,而且在工程应用上也蕴藏着巨大的潜力。经典的混沌系统产生的吸引子是双翼吸引子[1-4],因为多翼吸引子的混沌系统在工程实践中有更好的应用前景,因此多翼吸引子混沌系统的构造、性能分析和电路实现成为一个新的研究热点[5-11]。2个Lo renz系统耦合在一起,能获得四翼吸引子的Lorenz混沌系统[5],在三维系统的某个方程上加载一个常数控制器,也能获得四翼混沌吸引子[6],在三维混沌系统的基础上通过引入线性状态控制器也可以实现了四翼吸引子[7],基于坐标变换的方法可以实现具有四翼吸引子的超混沌系统[8-9],许多研究者通过其他方法也构造了四翼混沌系统[10-11]。

本文在没有增加系统方程,也没有出现高次项的情况下,利用z轴双极性化的方法,获得了1个四翼混沌系统,并用数字电路实现了这个系统,实验结果表明,系统是关于z轴对称的具有四翼吸引子的混沌系统。

1 系统的构成

基于共轭Lü系统[4]构造如下的混沌系统:

当a=20,b=2,c=28时,系统(1)的计算机仿真见图1,计算表明系统处于混沌状态。

图1 系统(1)的计算机仿真图Fig.1 Phase po rtraits of chaotic attractors of system(1)

系统(1)关于xy平面对称的系统为:

在上述参数条件下,系统(2)的计算机仿真见图2,系统(2)也处于混沌状态。

图2 系统(2)的计算机仿真图Fig.2 Phase po rtraits of chaotic attractors of system(2)

如果定义符号函数

则系统(1)和系统(2)可以统一表示为:

系统(4)的仿真见图3,系统(1)的轨迹为z>0部分(图中用实线表示),系统(2)的轨迹为z<0部分(图中用虚线表示)。从图3可以看出系统(1)和(2)不能组成1个完整的混沌系统,因为两者之间不能互相演化。

图3 系统(3)的计算机仿真图Fig.3 Phase portraits of chaotic attractors of system(3)

为使子系统(1)和(2)能互相演化,将系统(4)按z轴做坐标平移,并用滞回函数代替中第3个方程中的第1个符号函数,得如下的系统:

式(5)中H(z)为滞回函数,其表达式如下:

系统(5)的计算机仿真见图4。从图4中可以看出系统(5)的x-z和y-z相平面是关于xy平面对称的具有四翼吸引子的混沌系统。

图4 系统(5)的计算机仿真图Fig.4 Phase portraits of chaotic attractors of system(5)

2 系统的特性分析

2.1 对称性

系统(5)具有自然的对称性,即做变换(x,y,z)→(-x,-y,-z)后,系统保持不变。变换式可表示为:P:R3→R3,X→PX,其中P=-I,I为3阶单位阵,它满足f(PX)=Pf(X),即系统关于原点对称,且这种对称性对所有参数均成立。

2.2 耗散性及吸引子的存在性

2.3 平衡点及稳定性

在式(5)中令?x=0,?y=0,?z=0,当a=20,b=2,c=28时,解得系统(5)有6个平衡S1,2(0,0,±12),S3,4(7.5,7.5,±16),S5,6(-7.5,-7.5,±16)。平衡点的特性如下表所示。

平衡点Equilibrium特征值Characteristic roots稳定性Stability S1,2(0,0,±12)λ1=-13.8,λ2=5.8,λ3=-2.0不稳定的鞍结点S3,4(7.5,7.5,±16)λ1=-16.9不稳定的鞍焦点S5,6(-7.5,-7.5,±16)λ2,3=3.5±11i

2.4 Lyapunov指数和Lyapunov维数

当a=20,b=2,c=28时,计算的系统(5)的Lyapunov指数为:LE1=1.6026,LE2=0,LE3=-11.5628,系统(5)具有1个正的Lyapunov指数,所以系统处于混沌状态,系统(5)的Lyapunov维数为:

系统(5)的Lyapunov维数是分数维数,这也验证了系统(5)为混沌系统。

3 四翼混沌系统的实验验证

混沌系统可以用模拟电路实现,也可以用数字电路实现。因为本文中设计的混沌系统中含有滞回函数,用模拟电路不易实现。而利用电子设计自动化技术,借助于计算机软件QuartusⅡ9.0和Matlab 2007b及Dsp Builder 9.0,在现场可编程门阵列平台上实现则比较方便。

用数字电路实现混沌系统的关键是数字积分器的设计[12-14],数字积分器可以根据一阶差分方程一阶微分方程的如下关系进行设计,其详细设计过程可参见文献[12-14]。

Dsp Builder作为Matlab中工具箱Simulink下的一个插件,可以方便地实现数字电路的设计,在Dsp Builder 9.0中建立如图5所示的混沌电路模型,滞回函数H(z)的设计见图6,经仿真如不满足设计要求,则修改数字积分器中的采样时间ΔT,直到满足要求为止。

图5 四翼系统(5)的实验电路Fig.5 Circuit of implementing of chaotic system(5)

图6 实现滞回函数的电路Fig.6 Circuit of implementing of hysteretic function

利用信号编译器将模型文件转换成Quatus II 9.0工程文件,并进行分析、综合、编译后,通过JTAG端口将代码下载到主控芯片为EP2C20Q240QC8N的FPGA开发板上,经过高速D/A模块DAC904进行模数转换后在示波器上获得的四翼混沌吸引子见图7。从图7可以看出,实验结果与仿真结果完全一致。

图7 在示波器上观察到系统(5)的混沌吸引子Fig.7 Experimental observation the chaotic attractor of system(5)

4 结语

本文在双翼吸引子混沌系统的基础上,采用对z轴双极性化的方法,获得了1个四翼混沌系统,对四翼混沌系统的基本动力学特性进行了分析,并设计了1个数字电路对四翼系统进行了实验验证,实验结果验证了理论分析和计算机仿真的正确性,为四翼混沌系统应用于保密通信和信息加密等领域提供了进一步的技术支持。

[1] Lorenz E N.Deterministic non-perodic flows[J].A toms Sci,1963,20:130.

[2] Chen Guang-rong,UETA T.Yet another chaotic attractor[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,1999,9(7):1465-1466.

[3] Lv Jin-hu,Chen Guang-rong.Anew chaotic attractor coined[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2002,12(3):659-661.

[4] 王杰智,陈增强,袁著祉.一个新的混沌系统及其性质研究[J].物理学报,2006,55(8):3956-3963.

[5] Grassi G.Severance FL,Miller D A.M ulti-wing hyperchaotic attractors from coup led Lorenz systems[J].Chaos solitons and fractals,2009,41(1):284-291.

[6] 乔晓华,包伯成.三维四翼广义增广Lü系统[J].物理学报,2009,58(12):8152-8159.

[7] Dong En-zeng,Chen Zai-ping,Chen Zeng-qiang,et al.Anovel four-wing chaotic attractor generated from a three-dimensional quadratic autonomous system[J].Chinese Physics B,2009,18(07):2680-2689.

[8] 胡国四.一类具有四翼吸引子的超混沌系统[J].物理学报,2009,58(06):3734-3741.

[9] 胡国四.超混沌吸引子的翼倍增方案[J].物理学报,2009,58(12):8139-8145.

[10] 王繁珍,齐国元,陈增强,等.一个四翼混沌吸引子[J].物理学报,2007,56(6):3137-3145.

[11] Chen Zeng-qiang,Yang Yong,Yuan Zhuzhi.A single three-wing or four-wing chaotic attractor generated from athree-dimensional smooth quadratic autonomous system[J].Chaos Solitons and Fractals,2008,38(4):1187-1196.

[12] 王忠林,黄娜.一个自动切换混沌系统的设计与FPGA实现[J].中国海洋大学学报:自然科学版,2010,40(4):111-114.

[13] 王忠林,姚福安,李祥峰.基于FPGA的一个超混沌系统的设计与实现[J].山东大学学报:理学版,2008,43(12):89-91.

[14] 王忠林,胡波.一个切换混沌系统的设计与FPGA实现[J].重庆邮电大学学报:自然科学版,2010,22(1):75-79.

Design and FPGA Realization of a Three-Dimension Four-Wings Chaotic System

WANG Zhong-Lin1,HUANG Na2
(1.Department of Physics and Electronics,Binzhou University,Binzhou 256603,China;2.Department of Computer Science,Xiamen University,Xiamen 360000,China)

In order to generate comp lex chaotic attractor,a novel chaotic system w hich is changed from two-wings to four wings of attractor is built based on making z axis double polarities.Theoretical analyses and numerical simulation are carried out to the novel chaotic system;it hasone positive Lyapunov exponents by calculation.Other mo re,an electro circuit is designed and experimented by EDA technology based on FPGA.The experiments show that the system has a four-wings attractor as numerical simulation also p roves that theoretical analyses and numerical simulation are right.

hyperchaotic system;four-wings attractors;Lyapunov exponent

TN914.42

A

1672-5174(2010)12-131-05

山东省科技发展计划项目(2009GG10001030)资助

2010-04-26;

2010-06-26

王忠林(1970-),男,硕士。E-mail:bzcong@126.com

AMS Subject Classifications: 35B27,35B40

责任编辑 陈呈超