史玉英 (商丘师范学院数学系,河南 商丘 476000)

不确定非线性时滞系统的正实控制分析

史玉英 (商丘师范学院数学系,河南 商丘 476000)

通过构造 Lyapunov 泛函,利用矩阵不等式方法对非线性时滞系统的正实性进行分析和研究,得到系统严格正实的充分条件。这些条件最终都可以转化为线性矩阵不等式(LMI，linear matrix inequaty)的形式, 可用MATLAB中的LMI工具箱求解。

时滞系统;不确定性; 正实控制；LMI

正实控制是电路和系统理论中一个基本性质，它在系统和控制理论中有关稳定性分析、超稳定性、二次型最优、系统的稳定实现等方面都有重要的应用。所谓正实控制问题是指对于一个给定的对象，构造内稳控制器使闭环系统正实[1～4]。文献[5,6]讨论了线性连续系统的正实性。文献[7,8]研究了线性离散系统的正实控制。而对于非线性时滞系统的正实控制目前研究还不多。笔者就非线性系统的正实性进行研究，给出其具有正实性的充分条件。

1 预备知识

记号说明如下：Alt;0表示为A负定矩阵；BT表示矩阵B的转置；*表示对称矩阵的主对角线以上块矩阵的转置矩阵；I表示适当维数的单位矩阵；‖·‖为欧式范数；L2[0,+∞)表示[0,∞)上平方可积空间。考虑以下非线性不确定时滞系统：

(1)

式中，x(t)∈Rn是状态向量；w(t)∈Rp是控制输入；z(t)∈Rq是被调输出；A,Ad，B,Bw,C,Cd,D,Dw是已知适当维数的矩阵；φ(t)是连续初始向量值函数；d(t)是滞后时间函数且满足:

(2)

式中，τ，μ是常数；f(x(t),t),g(x(t-d(t)),t)是未知时变非线性函数，表示系统的不确定性，且分别满足:

‖f(x(t),t)‖≤α‖x(t)‖

(3)

‖g(x(t-d(t)),t)‖≤β‖x(t-d(t))‖

(4)

定义1[9]u(t)=0时系统Σ0称为正实的，如果以下条件成立:

定义2[9]u(t)=0时系统Σ0称为严格正实的，如果它是正实的，且以下条件成立:

引理1[10]对给定的常数αgt;0,βgt;0，如果存在标量ε1gt;0,ε2gt;0,ξgt;0,ηgt;0和对称正定矩阵P,Q,Q1,Q2，则有：

其中：

L1=[τPAd,τPAd,τPAd,τPAd]L2=[P,P]

J1=diag{Q1,Q2,ξI,ηI}J2=diag{ε1I,ε2I}

则系统(1)鲁棒渐近稳定。

引理2[11]对于向量x,y∈Rn及对称正定矩阵P∈Rn×n有:

2xTy≤xTPx+yTPy

特别地

2xTy≤ε-1xTx+εyTy

2 主要结论及其证明

(5)

L1=[τPAd,τPAd,τPAd,τPAd,τPAd]L2=[P,P,P]

J1=diag{Q1,Q2,Q3,ξI,ηI}J2=diag{ε1I,ε2I,R}

则在u(t)≡0时系统Σ0渐近稳定且严格正实。

证明根据式(5)，由引理1知系统Σ0在u(t)≡0时稳定。构造Lyapunov函数:

其中，P1，P2，Q3为待定的对称正定矩阵。

由牛顿-莱布尼兹公式知：

将式(6)代入式(1)得:

则沿式(7) 的任意轨线，有:

由引理2，进一步可得:

其中：

令：

从而:

其中：

设Hamiltonian方程为:

则:

其中:

用Q1,Q2,Q3,ξ,η分别代替τQ1,τQ2,τQ3,τξ,τη，由矩阵的Shur-补性质知:

等价于式(5)成立，且由此得:

所以在u(t)≡0时系统Σ0严格正实。

下面对系统Σ0设计状态反馈控制器u(t)≡Kx(t)，使其闭环系统Σ1严格正实。

关于系统Σ1的严格正实性，有如下结论。

(8)

则系统Σ1渐近稳定且严格正实。

[1]Xie L, Soh Y C.Positive real control problem for uncertain linear time-invariant systems[J].Systems Control Letters, 1995, 24(4): 265～271.

[2]Xie L, Soh Y C.Robust control of linear system with generalized positive real uncertainty[J].Automatica,1997,33(5): 963～967.

[3]Mahmoud M S, Soh Y C, Xie L.Observer-based positive real control of uncertain linear systems[J].Automat-ica, 1999,35(4):749～754.

[4]Mahmoud M S, Soh Y C, Xie L.Positive real analysis and synthesis of uncertain discrete time systems[J].IEEE Trans.on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications,2000,47(3) :403～406.

[5]邵汉永，冯纯伯.严格正实线性多变量系统的鲁棒性分析及其输出反馈控制[J].控制与决策，2004, (3):277～280.

[6]李秀英，邢伟，张庆灵.严格正实广义系统的鲁棒性分析与输出反馈控制[J].东北师大学报(自然科学版), 2007, 39(4): 33～37.

[7]邵汉永，冯纯伯.一类不确定离散系统的严格正实分析与设计[J].控制理论与应用, 2005,22(1): 7～10.

[8]靖新，刘厦，张峰.离散广义系统的正实性分析[J].沈阳建筑大学学报(自然科学版)，2006, 22(4):657～660.

[9]Magdi S.Mahoud, Mohamed Zribi.Passive control synthesis for uncertain systems with muitiple-state delays[J].Computers and Electrical Engineering, 2002, 28:195～216.

[10]俞立.鲁棒控制——线性矩阵不等式处理方法[M].北京：清华大学出版社, 2002.174～177.

[11] CAO Y Y, SUN Y X, LAM J.Delay-dependent robust control for uncertain systems with time varying delays[J].IEE proceedings, Control Theory and Applications, 1998, 143:338～334.

[编辑] 洪云飞

O231.2

A

1673-1409(2009)02-N010-04

2009-03-27

史玉英(1980-)，女，2004年大学毕业，硕士，助教，现主要从事控制理论方面的研究工作。