三线八角中的主线——截线

2009-10-27李疆

新课程·中旬 2009年16期

李　疆

学习“三线八角”时,有的同学常常会因三线八角的图形稍微复杂一点就分辨不清哪两个是同位角,哪两个是内错角,哪两个角是同旁内角。然而,同位角、内错角、同旁内角的判定恰恰是学习平行线的性质与判定的关键。其实,在学习时我们只要抓住三线中的主线——截线,就能判定某两个角是同位角,还是内错角,还是同旁内角。

如图1,在平面中的两条直线AB、CD被第三条直线EF所截,共得八个角,其中,∠1和∠2、∠3和∠4、∠5和∠6、∠7和∠8,分别由直线AB和EF,直线CD和EF相交构成,两组各有四个角。现在,研究没有公共顶点但有一条边在同一直线上的两个角,如图1中的∠1和∠5,∠4和∠6、∠4和∠5等等。

这些顶点不同又各有一条边在同一条直线上的每一对角,根据它们所处的方位给以分类。如∠1和∠5在截线EF的同旁(同左或同右),又处于被截两直线的同方向的“同”位置,即同在右上方、左上方、右下方或左下方,因此∠1和∠5这两个角叫做同位角。∠2和∠6,∠3和∠7,∠4和∠8也是同位角,故共有4对。∠4和∠6分别在截线EF的两侧(交错),又处于被截两直线之间(内部),因此∠4和∠6这两个角叫做内错角,∠3和∠5也是内错角,共有2对。∠4和∠5在截线EF的同旁,又处于被截两直线之间(内部),这两个角叫做同旁内角,因此∠3和∠6也是同旁内角。由此可见,三线八角的图形中的主线是截线,抓住了截线,问题就迎刃而解了。

因而,不论是由三线八角图形判断同位角、内错角和同旁内角,或是由同位角、内错角和同旁内角找出构成它们的“三线”,都要进行这样的三步骤:一看角的顶点,二看角的边,三看角的方位。这三步又都离不开主线——截线的确定。

例1.在图2中,∠1的同位角是( );∠2的内错角是

( );∠3的同旁内角是( )。

分析:∠1的同位角的一条边必须与∠1的一条边在同一直线上,即截线上。由图知∠1的两边为AD和AE,其中只有AD(也就是BD)同时是∠3和∠B的一条边。又知∠3的位置不符合同位角的概念,所以∠1的同位角是∠B,同理分析另两问。(答案:∠1的同位角是∠B,∠2的内错角是∠C,∠3的同旁内角是∠B与∠C)。

例2.如图3,(1)∠BAD与∠CDA是直线( )被直线

( )所截构成的同旁内角。(2)∠1与∠2是直线( )被( )所截构成的内错角。(3)直线AB、CD被AC所截构成的内错角是()。

分析:(1)∵∠BAD与∠CDA顶点是不同的,都有一边同在直线AD(截线)上,且在截线AD的同旁,又处于被截两直线AB、CD之间,∴∠BAD与∠CDA是两条直线AB、CD被直线AD所截构成的同旁内角。(2)、(3)请同学们按所讲方法进行判断。