林娟,谢碧华

(1.福建商业高等专科学校基础部,福建福州 350012; 2.福建师范大学数学与计算机科学学院,福建福州 350007)

双解析函数的一般复合边值问题关于边界曲线的稳定性

林娟1,谢碧华2

(1.福建商业高等专科学校基础部,福建福州 350012; 2.福建师范大学数学与计算机科学学院,福建福州 350007)

开口弧段Γ上的双解析函数的Riemann边值问题与单位圆周L上双解析函数的Hilbert边值问题复合而成的一般复合边值问题,当L与Γ发生微小的光滑摄动后,借助于推广的拉甫伦捷夫近似于圆的共形映射,将星形域映为单位圆域,从而得出摄动后的问题的解的表达式,同时讨论了解的稳定性情况,并给出误差估计.

双解析函数;复合边值问题;光滑摄动;共形映射;稳定性

1 引言

解析函数边值问题不仅在理论上有着重要意义,而且在实际应用中也有着重要意义,自以Muskhelishvili为首的前苏联学派在这一领域做出大量杰出的开创性工作以来,得到了许多重要结果,国内尤为突出的是文[1],不少研究者还把经典的解析函数边值问题理论向各种函数类上推广[24].当边界曲线发生微小的光滑摄动,解析函数的边值问题的解的稳定性问题,近年来得到许多学者关注.文[5-8]也研究了相关摄动稳定性的问题,文[9]研究了双解析函数一般复合边值问题(简称为B-RH问题)的解的情况,本文将讨论当G1(z)=G2(z)时,它的解关于边界摄动的稳定性.

设L是复平面C中的单位圆周,D为L所界定的单位圆域,Γ=ˆab是一条开口的光滑弧段,且Γ⊂D,记C2(L+Γ)为L+Γ上具有二阶连续导数的函数类,定义

其中ω∈C2(L+Γ).对于充分小的ρ＞0,记B(ρ)={ω∈C2(L+Γ):‖ω‖2＜ρ}.L经过扰动ω∈B(ρ)后得到曲线

设曲线Lω是Lyapunov曲线,它所界定的区域关于原点是星形域Dω(近似于单位圆盘).Γ经过扰动ω∈B(ρ)后得到曲线

记E1为从a沿Γ至b的左侧与从a沿Γω至b的右侧所形成的区域,E2为从a沿Γ至b的右侧与从a沿Γω至b的左侧所形成的区域,D(D)为Lω所围成的内(外)部区域.

2 B-RH问题的提出

3 B-RH问题的解的稳定性

3.1 当K1≥0且K2≥0时,B-RH问题的解的稳定性

3.2 当K1＜0且K2＜0时,B-RH问题的解的稳定性

3.3 当K1≥0且K2＜0或K1＜0且K2≥0时,B-RH问题的解的稳定性

讨论同3.1,3.2.

[1]Lu Jianke.Boundary Value Problems for Analytic Functions[M].Singapore:World Scientific,1993.

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[4]李玉成,兰文华.广义解析函数的带位移的非线性边值问题[J].纯粹数学与应用数学,2008,24(1):34-40.

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[7]Lin Juan,Wang Chuanrong.The stability of a kind of Cauchy type integral with respect to perturbation of integral curve and its application[C]//Yoichi Imayoshi,Yohei Komori,Masaharu Nishio,et al.Complex Analysis and its Applications.Osaka:Osaka Municipal Universities Press,2008.

[8]Lin Juan,Wang Chuanrong.Riemann boundary value problem with respect to the perturbation of boundary curve to be an open Arc[J].Acta.Math.Sci.,2009,29B(5):1481-1488.

[9]谢碧华,林娟.双解析函数的一般复合边值问题[J].福建师范大学学报:自然科学版,2009,25(4):22-25.

[10]王传荣.复变函数方法[M].厦门:厦门大学出版社,1999.

The stability of the general compound boundary value problem for bianalytic functions about boundary curve

LIN Juan1,XIE Bi-hua2

(1.Department of Foundation,Fujian Commercial College,Fuzhou350012,China;
2.College of Mathematics and Computer Science,Fujian Normal University,Fuzhou350007,China)

For the general compound boundary value problems combining Riemann boundary value problem for bianalytic functions on an open arc Γ and Hilbert boundary value problem for bianalytic functions on a unit circle L,when smooth perturbation happens for Γ and L,by extending Lavrentjev’s conformal mapping on a region approximating to a unit disc from a star-like domain onto a unit disc,the authors show the solutions of the perturbed problem.They also discuss the stability of the solutions and give error estimates.

bianalytic functions,compound boundary value problem,smooth perturbation,conformal mapping,stability

O175.8

A

1008-5513(2009)04-0816-06

2008-09-14.

福建省自然科学基金(2008J0187),福建省教育厅科技项目(JA08255).

林娟(1965-),硕士,研究方向：边值问题与积分方程.

2000MSC:30E20,30E25