张瑾

(西安文理学院初等教育学院,陕西西安 710001)

一个包含伪Smarandache函数及其对偶函数的方程

张瑾

(西安文理学院初等教育学院,陕西西安 710001)

研究一个包含伪Smarandache函数及其对偶函数方程的可解性,利用初等及组合方法给出了该方程的一系列正整数解,并证明了该方程的所有奇数解必为奇素数p(≥5)的方幂.

伪Smarandache函数;对偶函数;方程;正整数解;初等方法

1 引言及结论

(B)方程(2)的所有奇数解必为奇素数p(≥5)的方幂.

本文利用初等及组合方法研究了这一问题,并部分的解决了张文鹏教授的猜测.具体地说也就是证明了下面的:

定理设n为任意正奇数,则n满足方程(2)当且仅当n为素数p(≥5)的方幂.即就是n=pk,其中p≥5为素数,k为任意正整数.

显然我们的定理彻底解决了上面的猜测(B).猜测(A)是否成立仍然是一个公开的问题,有待于我们进一步研究!

2 定理的证明

这节利用初等及组合方法直接给出定理的证明.事实上由伪Smarandache函数Z(n)的性质知对于任意奇素数p及正整数k,我们有Z(pk)=pk−1.而当素数p≥5时,Z∗(pk)=1,所以Z(pk)+Z∗(pk)=pk.从而n=pk是方程(2)的正整数解,其中p≥5为素数,k为任意正整数.但是Z(3k)=3k−1,Z∗(3k)=2,所以Z(3k)+Z∗(3k)=3k+1/=3k.所以n=3k不是方程(2)的解.现在我们证明方程(2)除了以上正整数解之外,再没有其它正奇数解.显然n=1不满足方程(2).于是如果方程(2)有其它大于1的奇数解n,则n至少含有两个不同的奇素因子.

结合以上几种情况我们立刻推出奇数n为方程(2)的解当且仅当n=pk,其中p≥5为素数,k为任意正整数.于是完成了定理的证明.

显然n=6是方程(2)的一个偶数解,但是要彻底解决猜测(A)我们目前还没有想到有效的办法,建议有兴趣的读者与我们一起研究.

[1]Smarandache F.Only Problems,Not Solutions[M].Chicago:Xiquan Publishing House,1993.

[2]David Gorski.The pseudo Smarandache function[J].Smarandache Notions Journal,2002,13:140-149.

[3]Kenichiro Kashihara.Comments and Topics on Smarandache Notions and Problems[M].USA:Erhus University Press,1996.

[4]Lou Yuanbing.On the pseudo Smarandache function[J].Scientia Magna.,2007,3(4):48-50.

[5]Zheng Yanni.On the Pseudo Smarandache function and its two conjectures[J].Scientia Magna.,2007,3(4):50-53.

[6]Sandor J.On a dual of the pseudo Smarandache function[J].Smarandache Notions Journal,2002,13:18-23.

[7]张文鹏.初等数论[M].西安:陕西师范大学出版社,2007.

[8]闵嗣鹤,严士健.初等数论[M].北京:高等教育出版社,1982.

An equation involving the pseudo Smarandache function and its dual function

ZHANG Jin

(Department of Elemengtary Education Xi’an University of Arts and Science,Xi’an710001,China)

To study the positive integer solutions of an equation involving the pseudo Smarandache function and its dual function by using the elementary and combinational method.A series positive integer solutions are given for the equation.Finally,we proved that the odd number n satisfying the equation if and only if n=pk, where p≥5 be a prime,and k be any positive integer.

the pseudo Smarandache function,dual function,equation,positive integer solution,elementary method

O156.4

A

1008-5513(2009)04-0786-03

2008-05-09.

国家自然科学基金(10671155),陕西省教育厅科研专项基金(08JK433).

张瑾(1980-),讲师,研究方向：基础数学.

2000MSC:11B83