刘新昌

(新疆农一师塔里木高级中学843300)

最近看到有许多学生在网上提出有关对勾函数的问题。有人说：对勾函数的图像就是双曲线。也用人说：它不是双曲线。还有人问：对勾函数到底怎样用？针对这一问题，结合我在教学中的经验，来谈一谈我自己的一些认识。

一、首先我们来研究对勾函数 的性质

1、

2、 对勾函数的定义域为：

3、 对勾函数 的奇偶性为：奇函数。

4、 单调性： 在 上是增函数

在 上是减函数在 上是减函数在 上是增函数

4、对勾函数的图像：

二、对勾函数的一些基本的运用：

在了解了对勾函数的性质之后，我们通过几个例子来了解它在解决函数最值中的应用。

例1：求函数 的单调区间，并求当 时函数的最小值。

解：令t=sinx,对号函数 在（0， ）上是减函数，故当 时sinx是增函数，所以 在 上是减函数。同理， 在 上是增函数，由于函数 是奇函数，所以函数 在 上是减函数，在 上是增函数，由周期性，函数 在每一个区间 上是减函数，在每一个区间 上是减函数；函数 在每一个区间 上是增函数，在每一个区间 上是增函数。当 时 ，当t=1时即 时y有最小值3。

例2、求函数 的单调区间，并用函数单调性定义证明之。

解：利用对号函数性质，容易得出函数 的单调递增区间是

（-∞，- ），（ ，+∞），函数的单调递减区间是（- ，0），

（0， ）。下面只证明在区间上（0， ）是减函数的情形：

设任意的 （0， ）,且 ，

= =

因为 （0， ）,且 ，所以

即f(x1)-f(x2)>0

所以f(x1)>f(x2)，f(x) 在区间上（0， ）是减函数.

评析：本例利用对号函数求出函数的单调区间后，再用常规法证明，简单明了。

例题变形：

求函数当自变量在 的最小值。

解析：如果利用均值不等式时，我们可以发现，时取到等号。可见此时，等号是不成立的。

遇到以上情况，我们就要想到利用对勾函数加以解决。（解略）

收稿日期：2009-03-10