彭光琴

如果我们能多思考、多总结，就会发现数学中很多有趣的内在关系.我们要会求同存异，透过现象看本质.这样我们才能灵活运用知识.下面请彭老师给我们举例分析吧.

问题如图1，在△ABC中，I分别为∠ABC、∠ACB的平分线的交点.

（1）若∠ABC=40°，∠ACB=60°，你能求出∠BIC的度数吗？

（2）若∠A=80°，你能求出∠BIC的度数吗？

（3）若∠A=n°，你能求出∠BIC的度数吗？

（4）由以上结果你发现了什么？

分析：这道题并不难，对（1）、（2）两问，同学们很容易求得∠BIC为130°.下面我们来看如何解答第（3）问.

因为I为∠ABC、∠ACB的平分线的交点，所以∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，则∠BIC=180°-（∠IBC＋∠ICB）=180°－（∠ABC＋∠ACB）=180°－（180°－∠A）=90°＋∠A=90°＋×n°.

由以上结果，可以发现这个恒等关系：∠BIC=90°＋∠A.根据一个三角形中两个内角平分线的夹角与第三个角的关系，你能大胆猜想一个三角形的两个外角平分线的夹角与第三个角是否也有该关系呢？如果没有该关系，它们之间有其他关系吗？

如图2，△ABC的两外角平分线交于点I，那么∠BIC与∠A是否还具有以上关系？请同学们自己动手试试！

通过计算我们发现，这时∠BIC=90°－∠A.

以上两个分别是内角平分线、外角平分线的夹角，同学们有没有再考虑：如果是一个内角平分线和一个外角平分线的夹角，它与第三个角是否也有一定的关系？如果有，又是什么关系呢？

如图3，在△ABC中，BI为∠ABC的平分线，CI为△ABC的外角∠ACD的平分线，则∠A与∠BIC之间有何关系？

解决这个问题的方法与上面有所不同.因为I为∠ABC的平分线和∠ACD的平分线的交点，所以∠IBC=∠ABC，∠ICD=∠ACD，则∠BIC=∠ICD－∠IBC=（∠ACD－∠ABC）=∠A.

学数学要学会举一反三，只有这样才能触类旁通.下面请同学们结合以上的探索过程，解决这个问题.

如图4，在△ABC中，∠A=50°，延长BC到D，∠ABC的平分线和∠ACD的平分线交于点I1，∠I1BC的平分线和∠I1CD的平分线交于点I2……依此类推，∠I4BC的平分线和∠I4CD的平分线交于点I5，则∠BI5C=.

同学们，这道题你会处理吗？在数学的王国里，只要多思考，你一定会感受到数学的奥妙无穷.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。