陈明娟

在解题的过程中，有意识地将生疏、复杂的问题转化为熟悉的、简单的问题来处理的思维方式就是化归思想，它是一种重要的数学思想，下面例说化归思想在解题过程中的应用.

一、正逆转换

数学中不少概念、运算和符号、思维方式是互逆的.如加减、乘除、乘方与开方、指数与对数、原函数定义域与反函数的值域、直接法和间接法、正向思维和逆向思维等等.例1 已知a,b,c为实数，A=a+2-2b+π2,B=b+2-2c+π3,C=c+2-2a+π6,试证A、B、C中至少有一个值大于0.(2000年北京初中竞赛题)

析解：若按A、B、C中有1个、2个、3个大于0分类求解十分繁杂，为此，须改证其等价命题A+B+C>0，则知原命题必成立.因为A+B+C=(a-1)+2+(b-1)+2+(c-1)+2+π-3>0，所以A、B、C中至少有一个值大于0.

二、类似转换

数学中有许多概念和公式或形状类似或意义类似，如方程与方程组、方程与函数、相似与全等，等等.这些关系总有着千丝万缕的联系，可利用题设特征进行转化.例2 已知：m1=a+ba-b,m2=c+dc-d,m3=ac-bdad+bc,求证：m1+m2+m3=m1m2m3.

分析：将表达式适当变形，m1=a+ba-b=1+(ba)1-(ba),m2=1+(dc)1-(dc),m3=1-(bdac)(dc)+(ba),发现其外形与三角正切公式神似，通过换元，促其转换.

证明：令tanα=ba,tanβ=dc,则m1=1+(ba)1-(ba)=tan(45°+α),同理：m2=tan(45°+β),m3=1-tanα5tanβtanα+tanβ=cot(α+β)=tan［90°-(α+β)］,又∵(45°+α)+(45°+β)+［90°-(α+β)］=180°，∴tan(45°+α)+tan(45°+β)+tan［90°-(α+β)］=tan(45°+α)tan(45°+β)tan［90°-(α+β)］,即：m1+m2+m3=m1m2m3.

三、特殊与一般转换

探求一般性问题，往往先从简单情形或特殊情况入手，先解决特殊性，通过联想，以求得一般性解答方案或途径.但有时某些特殊性问题由于条件隐蔽且计算量大，于是不妨先将其抽象成一般的命题，证明其正确性，然后再返回到特殊命题中.

例3 计算1995+3-2×1995+2-19931995+3+1995+2-1996.

(2000年北京市初中竞赛题)

解：设1995=a，则原式=a+3-2a+2-(a-2)a+3+a+2-(a+1)=(a-2)(a+2-1)(a+1)(a+2-1)=19931996.例4 如图1，△ABC中，AB=AC=2,BC上有100个不同的点Pi(i=1,2,……，100)，记mi=AP+2i+BPi5PiC，求m1+m2+…+m{100}的值.(1990年全国初中数学联赛试题)

析解：取特殊点探索，当Pi为点B或C或BC中点