APP下载

由08年高考安徽卷中的一道题引起的探究

2008-12-09

中学数学研究 2008年10期
关键词:二项式奇数偶数

王 峰

2008年高考安徽卷中有这样的一道选择题:设(1+x)8=a0+a1x+…+a8x8,则a0,a1,…,a8中奇数的个数为 .

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5.

由于a0,a1,…,a8都是二项式系数,故考生大都是将它们翻译成数学式子后通过计算而获解的,当然若利用组合数性质Cmn=Cn-m猲(m、n∈N+,且m≤n)去处理,则会更快一些.笔者认为本题难度不大,但是它容易使我们产生疑问:二项式展开式的二项式系数的奇偶个数有没有规律性?若有其规律是什么 ?带着这两个问题,笔者作了一番探究,发现有如下几个正确的结论:

结论1 若n=2k-1(k∈N+),则(a+b)n展开式的二项式系数皆为奇数,即Cr2k-1(0≤r≤2r-1)为奇数.

下面用数学归纳法证明此结论:

(1)当r=0时,结论显然成立.

(2)假设当r=t(0≤t<2k-1)时,结论成立,即Ct2k-1为奇数,则当r=t+1时,Ct+12k-1=(2k-1)!(t+1)!(2k-t-2)!=2k-t-1t+1•

(2k-1)!t!(2k-t-1)!=(2kt+1-1)Ct2k-1.

因为组合数Ct+12k-1、Ct2k-1为整数,所以2kt+1-1必为整数,又2k为偶数,则t+1必为偶数,故可设t+1=2u•k0(k0为奇数),所以Ct+12k-1=(2k2u•k0-1),Ct+12k-1=(2k-uk0-1)Ct2k-1.由2k-u为偶数,2k-u猭0为整数以及k0为奇数,故知2k-u猭0必含因数2,即2k-u猭0必为偶数,从而知2k-u猭0-1为奇数,又由归纳假设Ct2k-1为奇数,所以Ct+12k-1为奇数,即当r=t+1时,结论成立.综合(1)(2)知,Cr2k-1(0≤r≤2r-1)为奇数成立.

结论2 若n=2k(k∈N+),则(a+b)n展开式的二项式系数中除了C0n和Cnn两个数外,其余各数皆为偶数,即Ct2k(1≤r≤2k-1)为偶数.

由结论1知Cr2k-1及Cr-12k-1均为奇数,所以Cr2k=Cr2k-1+Cr-12k-1为偶数.

注:当k=3时,即为08年安徽高考题,由结论2易知选A.

结论3 若n=2k-2(k≥2,k∈N),则(a+b)n展开式的二项式系数的奇偶数相互交错出现,易知奇数个数为2k-1,偶数个数为2k-1-1.

因为Cr2k-1=Cr2k-2+Cr-12k-2,又由上述结论2知Cr2k-1为奇数,所以Cr2k-2和Cr-12k-2中一奇一偶,从而说明(a+b)2k-2展开式的二项式系数的奇偶数是交错出现的.

结论4 若n=2k-3(k≥3,k∈N),则(a+b)n展开式的二项式系数按奇、奇与偶、偶的规律交错出现,其中奇数个数为2k-1,偶数个数为2k-1-2.

因Cr2k-1=Cr2k-2+Cr-12k-2=(Cr2k-3+Cr-12k-3)+(Cr-12k-3+Cr-22k-3)=Cr2k-3+2Cr-12k-3+Cr-22k-3,及由结论2知Cr2k-1为奇数,故Cr2k-3和Cr-22k-3必为一奇一偶,又C02k-3,C12k-3都为奇数,因此知结论4成立.

值得注意的是07年高考湖南卷理第15题同本文开头提供的真是如出一辙,若利用上述结论,此道考题就变得如此简单,读者不妨一试.

猜你喜欢

二项式奇数偶数
奇数凑20
例谈二项式定理的应用技巧
谈“奇数与偶数”的教学处理
二项式定理的“另类”应用
盘点二项式定理的基本应用
自主招生与数学竞赛中的计数与二项式定理(二)
抓住数的特点求解
有多少个“好数”?
奇偶性 问题