李厚明　陈伯平

勾股定理是直角三角形中特有的定理．它的应用非常广泛，是几何中最重要的计算依据之一．尤其是在新的课程标准下，原有的计算公式及定理少了许多，所以不少问题都要靠勾股定理来解决.对于斜三角形，我们不能直接用它来解决问题，这时就需化斜为直，具体说就是用作高来构造直角三角形．这方面的例子很多，复习中尤其要重视．下面举例加以讲解.

例１ 等腰△ＡＢＣ中，ＡＢ = ＡＣ = １０，ＢＣ = １２，求ＡＣ边上的高.

分析：等腰三角形最重要的性质是“三线合一”，所以我们可以作底边上的高，求出三角形的面积，再用面积公式求ＡＣ边上的高.也可以直接作ＡＣ边上的高，利用方程求解．

解法１：过Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ．如图１．

由ＡＢ = ＡＣ和ＡＤ⊥ＢＣ知，点Ｄ是ＢＣ的中点，所以ＢＤ = ＣＤ = ６．

在Ｒｔ△ＡＢＤ中，

ＡＤ ＝＝＝ ８．

设ＡＣ边上的高为ｈ，则

Ｓ△ＡＢＣ＝ＢＣ·ＡＤ＝ＡＣ·ｈ．

代入数据可求得ｈ ＝ ９．６，即为所求．

解法２：过点Ｂ作ＢＤ⊥ＡＣ，垂足为Ｄ．如图２．

设ＣＤ ＝ ｘ ，则ＡＤ ＝ １０ － ｘ．

在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＢＤ２ ＝ ＡＢ２ － ＡＤ２．

同理，ＢＤ２ ＝ ＢＣ２ － ＣＤ２．

从而得到方程１０２ － （１０ － ｘ）２ ＝ １２２ － ｘ２．

解得ｘ ＝ ７．２．

所以ＢＤ ＝ ＝ ９．６，即为所求．

点评：解法１，间接求高，巧妙地利用了等腰三角形的性质以及面积公式，运算简单；解法２，直接作高，但由于高不能直接求得，我们可用列方程的方法，先求ＣＤ，再用勾股定理求高，思路简单，但运算较复杂.这两种方法在解题中均经常使用，应给予重视.

例2 △ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ １０，ＡＣ ＝ ８，∠Ａ ＝ ６０°，求边ＢＣ的长．

分析： 由于∠Ａ ＝ ６０°，ＡＢ ＝ １０，我们可考虑作ＡＣ边上的高ＢＤ，求出ＡＤ、ＢＤ，再求出ＣＤ，最后利用勾股定理求ＢＣ.

解：如图３，过点Ｂ作ＢＤ⊥ＡＣ，垂足为Ｄ．

在Ｒｔ△ＡＢＤ中，∠ＡＤＢ ＝ ９０°，∠Ａ ＝ ６０°，

∴∠ＡＢＤ ＝ ３０°．

∴ＡＤ ＝ＡＢ ＝ ５，ＣＤ ＝ ３．

在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＢＤ２ ＝ ＡＢ２ － ＡＤ２ ＝ １０２ － ５２＝ ７５．

同理，ＢＣ２ ＝ ＢＤ２ ＋ ＣＤ２．

∴ＢＣ２ ＝ ７５ ＋ ９ ＝ ８４．

∴ＢＣ ＝ ＝ ２ ．

点评：若三角形中有６０°、３０°或４５°的角，但无直角，我们通常都是作高，把这些角放到直角三角形中去.这样可以利用有关的特殊性质（如等腰、直角边是斜边的……