周　桅

“有理数”这一章的主要内容是有理数的概念和有理数的运算.正确理解概念,熟练掌握运算是学好这一章的关键和主要标志,是进一步学习代数式､方程等知识的基础.下面就有理数的有关概念和有理数的加减运算总结于下.

一､概念辨析

1. 正数和负数:大于0的数叫正数;小于0的数叫负数;0既不是正数也不是负数,是唯一的中性数.

注 对于正数和负数的概念,不能简单理解为:带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数.例如:-a可能是正数,+a可能是负数,它们可能既不是正数也不是负数,是0.

2. 有理数:整数和分数统称为有理数.整数包括正整数､零､负整数;分数包括正分数和负分数.

有理数的分类:

① 按负数的引入来分

数并不比别的数更“有道理”.有理数一词是从西方传来的,在英语中是rational number,而rational通常的意义是“理性的”.中国近代翻译西方科学著作时,依据日语中的翻译方法,以讹传讹,把它译成了“有理数”.但是,这个词来源于古希腊,其英文词根为ratio,就是比率的意思(有的把形如的数叫有理数,p､q是互质整数,且p≠0).

② 通常把正数和0统称为非负数,负数和0统称为非正数,正整数和0称为非负整数(也叫做自然数),负整数和0统称为非正整数.如果用字母表示数,则a>0表明a是正数;a<0表明a是负数;a≥0表明a是非负数;a≤0表明a是非正数.

3. 数轴:规定了原点､正方向和单位长度的直线.

数轴上的点与有理数的关系:所有的有理数都可以用数轴上的点表示.正有理数可以用原点右边的点表示,负有理数可以用原点左边的点表示,0用原点表示.

利用数轴比较有理数的大小:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.

注 数轴的定义包含三层含义:(1)数轴是一条直线,可以向两端无限延伸;(2)数轴有三要素——原点､正方向､单位长度,三者缺一不可;(3)原点的选定､正方向的取向､单位长度大小的确定,都是根据实际需要“规定”的(通常取向右为正方向).

4. 相反数:几何定义——在数轴上原点的两旁,到原点距离相等的两个点所表示的数,叫做互为相反数.代数定义——只有符号不同的两个数(除了符号不同以外完全相同),我们说其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0.

相反数的表示方法:一般地,数a的相反数是-a.这里a表示任意的一个数,可以是正数､负数或者0.

多重符号的化简:(1)在一个数的前面添上一个“+”号,仍然与原数相同,如+5 = 5,+(-5) = -5.(2)在一个数的前面添上一个“-”号,就成为原数的相反数.如-(-3)就是-3的相反数,因此,-(-3) = 3.

5. 绝对值:几何定义—— 一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,数a的绝对值记作“a”.代数定义—— 一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即

有理数大小的比较法则:正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数;两个负数,绝对值大的反而小.

注 比较两个负数大小的方法是:(1)先分别求出这两个负数的绝对值;(2)比较这两个绝对值的大小;(3)根据“两个负数,绝对值大的反而小”作出正确的判断.

二､法则与运算律

1. 有理数的加法运算法则.

(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.

若a > 0且 b > 0,则a + b = + (| a | + | b |);

若a < 0且 b < 0,则a + b = - (| a | + | b |).

(2)异号两数相加.

①绝对值不相等,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.

若a > 0 ,b < 0且 | a |>| b |,则a + b = +(| a |-| b |),

若a > 0 ,b < 0且 | a |<| b |,则a + b = -(| b |-| a |).

②绝对值相同,和为0,也就是互为相反数的两个数的和为0.

若a > 0,b < 0, 且 |a| = |b|,则a + b = 0.

(3)一个数与0的和仍得这个数,即a + 0 = a.

2. 有理数的减法法则.

减去一个数,等于加上这个数的相反数.用字母算式表示减法法则为:a - b = a + (-b).

3.加法运算律.

(1)加法交换律:a + b = b + a.

(2)加法结合律:(a + b) + c = a + (b + c).

三､典型例题

例1 把下列各数填在相应的集合内:

-3,2,-1,,-0.58,0,-3.141 592 6,0.618,.

整数集合:{ …};

分数集合:{ …};

负数集合:{ …};

非负数集合:{ …}.

集合是指具有某一特征的一类事物的全体,大家要特别注意0这个数,在考虑问题时千万不要漏掉对0的考虑.题目中只是具体地填出几个符合条件的数,只是一部分,所以通常最后要加省略号.

解:整数集合:{-3,2,-1,0,…};

分数集合:{-,-0.58,-3.141 592 6,0.618,,…};

负数集合:{-3,-1,-,-0.58,-3.141 592 6,…};

非负数集合:{2,0,0.618,,…}.

例2 化简下列各数:

(1)-[+(-17)];

(2)--+-3;

(3)-[-(a-b)];

(4)-+[-(-a)].

化简一个数前面的“多重符号”的规则是:当这个数前面的“-”号的个数是奇数时,化简结果的符号为“-”,当“-”号的个数为偶数时,化简结果的符号为“+”.

解:(1)-[+ ( -17)] = -(-17) = 17.

(2)--+-3=---3=-+3=-3.

(3)-[-(a-b)]=+(a-b)=a-b.

(4)-+[-(-a)]=-[+(+a)]=-a.

例3 画一个数轴,在数轴上表示出下列各数,并用“<”号把下面的数连接起来.

1,-3,-1,0,2.

(1)画数轴必须具备数轴三要素:原点､单位长度和正方向.

(2)用“<”号连接这些数,需要将这些数从小到大排列.而在数轴上右边的数总是大于左边的数,所以只要将数轴上的数从左到右用“<”号连接即可.

解:(1)如图1.

图1

(2)-3<-1<0<1<2.

例4 计算:

(1)11-39.5+10-2.5-4+19;

(2)+2-(-10)--2+(-10).

有理数的运算应先确定符号,再进行绝对值的计算,同时灵活运用运算律进行简便计算.

解:(1)11-39.5+10-2.5-4+19

=11+10+19-39.5-2.5-4

=[(11+19)+10]+[(-39.5-2.5)-4]

=40-46

=-6.

(2)+2 - (-10) - -2 + (-10)

=2 + 10 + 2 - 10

=2 + 2 + (10 - 10)

=4.

例4 计算:-6+2+-8+-3-.

此题不仅有加减法,还有绝对值,计算的时候,先算出绝对值符号内的值,再进行加减法的运算.

解: -6+2+-8+-3-

= -3+-8+-3

= 3+-8+3

=-5+3

=-1.

例5 有理数a､b､c在数轴上对应的点分别为A､B､C,其位置如图2.试化简:c -c+b+a-c+b+a.

有理数a､b､c,在数轴上对应的点分别为A､B､C,在数轴上A点在原点的右边,它表示的数a>0,B､C两点在原点左边且C点在B点的右边,b<0,c<0,它表示的数c大于B点表示的数b,所以b>c.利用上述条件去绝对值符号,原绝对值符号内的数是正的,去掉绝对值符号,符号保持不变;原绝对值符号内的数是负的,去掉绝对值符号后原数改为它的相反数.

解:|c|-|c+b|+|a-c|+|b+a|

=-c-[-(c+b)]+(a-c)+[-(b+a)]

=-c+(c+b)+(a-c)-(b+a)

=-c+c+b+a-c-b-a

=-c.

例6 已知a､b是有理数,且|2a+1|+|2-b|=0,求a+2b的值.

非负数之和等于0,则每个非负数为0.

解:因为|2a+1|+|2-b|=0,所以 |2a+1|=0,|2-b|=0.因而2a+1=0,2-b=0.所以a=-,b=2.故a+2b=-+2×2=.

例7 化简:|x+2|-|3x-4|.

化去绝对值,首先令每个绝对值为0,再把所得到的字母的值标在数轴上分段讨论.

解:由x+2=0,3x-4=0,得x=-2, x=,-2､把数轴分成3段,x≤-2,-2.

当x≤-2时,原式=-(x+ 2)+(3x- 4)=2x-6;

当-2

当x>时,原式=x+2-3x+4=-2x+6.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文