闵　轶

:有理数的混合运算

考点说明:中考要求同学们掌握有理数的加减乘除混合运算,但并不是刻意“求难求繁”.有理数的混合运算的基础是有理数的加减乘除运算法则,掌握混合运算的运算顺序是解决问题的前提条件.

1. 有理数的加法法则:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得0;一个数与0相加,仍得这个数.

2. 有理数的减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数.

3. 有理数的乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘,任何数与0相乘都得0.

4. 有理数的除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘以这个数的倒数;两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;0除以任何一个不等于0的数都得0.

5. 有理数的加减乘除混合运算的顺序:先乘除,后加减,如果有括号,一般先进行括号中的运算.

例1 计算:

- × - + - ÷÷ (-2).

解:原式= + - ÷ (-2)

=0.

有括号的混合运算一般优先进行括号中的运算.在进行乘法运算和除法运算时都应先确定符号,再确定数值.

:倒数

考点说明:乘积为1的两个数互为倒数,即若a､b互为倒数,则ab=1.倒数是比较基础的知识,求一个有理数的倒数是中考中的一个重要考点.

例2 倒数是其本身的数是.

解:填±1.

求倒数要掌握倒数的概念.

:有理数的运算律

考点说明:掌握有理数的运算律可以使计算简化,能选择适当的运算律进行计算是大家必须具备的能力.

1.有理数的加法运算律.

交换律:a + b = b + a.

结合律:(a + b) + c = a + (b + c).

2.有理数的乘法运算律.

交换律:ab = ba.

结合律:(ab)c = a(bc).

分配律:a(b + c) = ab + ac.

例3 计算:(-84) ÷ 2 × (-3) ÷ (-6).

解:原式=[(-84)÷2] × (-3) × -

=(-42) ×

=-21.

除法是乘法的逆运算,乘除运算可以转化为单纯的乘法运算,因此可以将前两项(-84与2)､后两项(-3与-6)分别结合起来进行运算,达到简化计算的目的.

:运用有理数的乘除法解决实际问题

考点说明:运用有理数的乘除法可以解决生活中的实际问题,这也是我们学习这部分知识的目的.

例4 一天,小明和小华利用温差测量山峰的高度,小明在山顶测得温度是-1 ℃,此时小华在山脚测得温度是5 ℃.已知该地区高度每增加100 m,气温就下降0.8 ℃,那么这个山峰的高度大约是多少?

解:[5 - (-1)] ÷ 0.8 × 100

=6 ÷ 0.8 × 100

=750(m).

答:这个山峰的高度大约是750 m.

题目中的条件“该地区高度每增加100 m,气温就下降0.8 ℃”是解题的关键,根据这句话,我们只需知道山脚与山顶的温度差中有几个0.8 ℃,就可得到从山脚到山顶有多少个100 m,从而求得山峰的大致高度.这是典型的运用有理数乘除法来解决实际问题的例子.

:对含有较大数字的信息进行合理的解释和推断

考点说明:有理数的乘法运算有时会带来一些有规律的数据,我们要掌握这些规律,并能对所得到的结论加以分析和判断.当然,处理较大数字的时候经常要借助计算器.

例5 按照下面的步骤做一做:

(1)任选1､2､3､4､5､6､7､8､9中的一个数字;

(2)将这个数字乘以9;

(3)将上面的结果乘以123 456 789.

多选几个数字试一试,你发现了什么规律?

解:若选5,则5 × 9 × 123 456 789 = 5 555 555 505;

若选7,则7 × 9 × 123 456 789 = 7 777 777 707;

……

所以,如果选择数字a(1≤a≤9,且a为整数),最后得到的数除了十位上的数字是0外,其他数字都是a.

这个规律很有趣,实际上,因为9×123 456 789= 1 111 111 101,所以你选取一个符合要求的数字,最后都会出现上面所说的规律.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文