庄兴钊

现实中有很多问题涉及到求最大最小值问题，初中数学竞赛也有这类问题.解决这类问题可以用最优化方法.即首先构造一个目标函数，然后在限制条件下求目标函数的最大最小值，下面举例说明.

【例1】 某厂有甲，乙两个车间同时生产A，B两种型号的零件.假设每生产1个A型零件甲车间获利32(单位：百元，下同)，乙车间获利27，而每生产1个B型零件甲车间获利40，乙车间获利36．现有A型零件35个，B型零件25个，要求每个车间都生产30个，并且都生产有A，B两种型号的零件，问怎样分配才能使在保证乙车间获利不小于980的情形下工厂获利最大?

解：设分配给甲车间A型零件x个，由于生产总数是30个，故甲车间生产B型零件为(30-x)个.同样设乙车间生产A型零件y个，则乙车间生产B型零件为(30-y)个.于是可以建立工厂获利的目标函数为

M(x,y)=32x+40（30-x）+27y+36(30-y). ①

我们的目的是要求27y+36(30-y)≥980，即在1≤y≤11的限制条件下目标函数M(x,y)的最大值.由于A型零件总共有35个，因此可以利用关系式x+y=35来化简①式，得到

M(x，y)=2000-y. ②

又注意到B型零件总共有25个，而要求每个车间都要生产有A，B两种型号的零件.故y只能取6，此时甲车间生产A型零件29个，B型零件1个.乙车间生产A型零件6个，B型零件24个.工厂获利最大为1944.

注：如果把上述限制条件“假设每生产1个A型零件甲车间获利32”改为“假设每生产1个A型零件甲车间获利30”，其他条件不变，则可以得到下述目标函数

M(x,y)=30x+40(30-x)+27y+36(30-y)=1930+y. ③

此时我们可以取y=11，甲车间生产A型零件24个，B型零件6个.乙车间生产A型零件11个，B型零件19个.工厂获利最大为1944.

【例2】 某厂有甲，乙两个车间同时生产A，B两种型号的零件.假设每生产1个A型零件甲车间获利32(单位：百元，下同)，乙车间获利27，而每生产1个B型零件甲车间获利40，乙车间获利36．现有A型零件35个，B型零件25个，要求每个车间都生产30个，并且都生产有A，B两种型号的零件，问怎样分配才能使甲，乙两个车间所获利润之差为最小?

解：设分配给甲车间A型零件x个，由于生产总数是30个，故甲车间生产B型零件为(30-x)个，甲车间所获利润为32x+40(30-x)=1200-8x.同样设乙车间生产A型零件y个，则乙车间生产B型零件为(30-y)个，乙车间所获利润为27y+36(30-y)=1080-9y.于是可以建立两工厂获利之差的目标函数为

M(x,y)=1200-8x-(1080-9y)=120-8x+9y. ④

我们的目的是要求x和y都取整数值且满足x+y=35时M(x,y)取得最小值.很容易得到x=26，y=9，此时甲车间所获利润为992，乙车间所获利润为999.上述方法可以推广到3个变元乃至n个变元的情形.

【例3】 某厂有甲，乙，丙三个车间同时生产A，B两种型号的零件.假设每生产1个A型零件甲车间获利32(单位：百元，下同)，乙车间获利27，丙车间获利28，而每生产1个B型零件甲车间获利40，乙车间获利36，丙车间获利38.现有A型零件48个，B型零件42个，要求每个车间都生产30个，并且都生产有A，B两种型号的零件，问怎样分配才能使在保证乙车间获利不小于980的情形下工厂获利最大?

解：设分配给甲车间A型零件x个，由于生产总数是30个，故甲车间生产B型零件为(30-x)个.设乙车间生产A型零件y个，则乙车间生产B型零件为(30-y)个.同样设丙车间生产A型零件z个，则丙车间生产B型零件为(30-z)个.于是可以建立工厂获利的目标函数为

M(x,y,z)=32x+40(30-x)+27y+36(30-y)+28z+38(30-z). ⑤

限制条件仍然是1≤y≤11，利用关系式x+y+z=48来化简⑤式，得到

M(x,y,z)=2940+2x+y. ⑥

现在的问题归结为寻求x,y的取值使2x+y的值为最大，注意y的取值范围是1≤y≤11，因此就取y的值为11，x取值为29时，目标函数M(x，y，z)取

得最大值3009，此时甲车间生产A型零件29个，B型零件1个.乙车间生产A型零件11个，B型零件19个.丙车间生产A型零件8个，B型零件22个.

注：如果把上述条件改为每生产1个B型零件丙车间获利35，其他条件不变，则目标函数为

M(x,y,z)=32x+40(30-x)+27y+36(30-y)+28z+35(30-z). ⑦

同样利用关系式x+y+z=48来化简⑦式，得到

M(x，y，z)=2994-x-2y. ⑧

此时我们可以取y=1，由于B型零件总共有42个，因此x的取值最小可以为18，此时甲车间生产A型零件1个，B型零件29个.乙车间生产A型零件18个，B型零件12个.丙车间生产A型零件29个，B型零件1个.工厂获利最大为2974.

【例4】 某厂有甲，乙，丙三个车间同时生产A，B两种型号的零件.假设每生产1个A型零件甲车间获利32(单位：百元，下同)，乙车间获利27，丙车间获利28，而每生产1个B型零件甲车间获利40，乙车间获利36，丙车间获利37.现有A型零件48个，B型零件42个，要求每个车间都生产30个，并且都生产有A，B两种型号的零件，问怎样分配才能使三个车间获利最均匀?

解：仍按例3的假设，则甲车间获利为32x+40(30-x)=1200-10x，乙车间获利为27y+36(30-y)=1080-9y，丙车间获利为28z+38(30-z)，利用关系式x+y+z=48可以把丙车间获利表示为660+10x+10y,于是甲车间获利与乙车间获利的差为

M(x,y)=1200-10x-1080+9y=120-10x+9y. ⑨

乙车间获利与丙车间获利的差为

N(x,y)=1080-9y-660-10x-10y=420-10x-19y. ⑩

由题意三个车间获利最均匀就是要寻求x,y的取值使目标函数⑨和⑩与零最接近.因此可以令M(x,y)=0，N(x,y)=0，通过解方程组

求得x,y的取值.解方程组B11５脁=21.6，y=10.7，于是z=48-21.6-10.7=15.7，但由于零件数不能取小数，故取x=21，y=11，z=16，此时甲车间生产A型零件21个，B型零件9个.乙车间生产A型零件11个，B型零件19个.丙车间生产A型零件16个，B型零件14个.而甲，乙，丙三个车间获利分别为990，981，980.