作者简介 陈德前，中学高级教师，江苏省中学数学特级教师，泰州市有突出贡献的中青年专家，兴化市教育局教研室副主任，中国管理科学研究院学术委员会特约研究员，江苏省考试研究会会员，江苏省教育学会中学数学教育专业委员会会员，泰州市教育学会数学教育委员会会员，泰州市教育局教研室兼职教研员，兴化市人民政府兼职督学，兴化市教育学会副秘书长．

我们已经知道，要使两个三角形全等，至少需要三个条件，而且其中至少要有一条边对应相等.那么，如果满足“有两边及其中一边的对角对应相等（即SSA）”的条件，能判定两个三角形全等吗？

答案是：不一定！如图1，在△ABC中，AB>AC.以A点为圆心，AC为半径画弧，交BC于点E．可以看到，在△ABC和△ABE中，虽然有∠B=∠B，AB=AB，AC=AE，但显然△ABC和△ABE并不全等.这说明，满足“有两边及其中一边的对角对应相等”条件的两个三角形并不一定全等．

例在图2中，∠BAC是钝角，AB=AC.D、E分别在AB、AC上，CD=BE.试证明∠ADC=∠AEB．

错解：在△ADC和△AEB中，因为AC=AB，CD=BE，∠BAE＝∠CAD（公共角），所以△ADC≌△AEB，所以∠ADC=∠AEB．

分析：这里的△ADC和△AEB满足“有两边及其中一边的对角对应相等”的条件，属于SSA的情况，我们不能直接判定它们全等．必须通过添加辅助线将条件进行转化，再应用全等三角形的判定方法来解决．

正解：如图3，因为∠BAC是钝角，所以过B、C两点分别作CA、BA的垂线，垂足分别为F、G．

易知有△ABF≌△ACG（AAS），所以BF=CG．又在Rt△BEF和Rt△CDG中，由BE=CD，所以Rt△BEF≌Rt△CDG（HL）．所以∠GDC=∠BEF，即∠ADC=∠AEB．

那么，是不是满足“有两边及其中一边的对角对应相等”的条件的两个三角形一定不全等呢？也不是.如图4，在△ABD和△ACD中，AB=AC，AD=AD，∠ADB=∠ADC=90°，它们满足“有两边及其中一边的对角对应相等”的条件，由等腰三角形的轴对称性可知，△ABD和△ACD全等．因此，我们只能说，满足“有两边及其中一边的对角对应相等”条件的两个三角形不一定全等．

现在我们感兴趣的是，如果已知两个三角形有两边及一角对应相等，如何处理和安排这三个条件，才能使这两个三角形全等呢？ 对于满足条件“两边和一角对应相等”的三角形，实际上可以分为两种情况：（1）两边和夹角对应相等，即满足SAS的条件，这时能判定它们全等；（2）两边及其中一边的对角对应相等，即满足SSA的条件，则这两个三角形不一定全等．对于（2），若加强其中的某个条件，就可以使这两个三角形全等.这种情况下有众多的方案.

方案1：若两个三角形有两边及其中一边的对角对应相等，当这个角是直角时，则这两个三角形全等．

方案1是说，在两个直角三角形中，有两边对应相等，则这两个三角形全等．这是很明显的，因为：若已知两边是直角边，则根据SAS可知，这两个三角形全等；若已知两边是一条直角边和斜边，则根据HL可知，这两个三角形全等．因此无论哪种情况，这两个三角形都全等．

方案2：若两个三角形有两边及其中一边的对角对应相等，当这个角是钝角时，则这两个三角形全等．

方案2是说，在两个钝角三角形中，有两边对应相等，则这两个三角形全等．如图5，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，∠ACB=∠DFE>90°，则△ABC≌△DEF．事实上，如图5，过B、E分别作AC、DF的垂线，垂足为M、N，由∠ACB=∠DFE，得∠BCM=∠EFN.又BC=EF，所以Rt△BCM≌Rt△EFN（AAS）．所以，BM=EN．再由HL可以证明Rt△ABM≌Rt△DEN，得∠A=∠D.再证明△ABC≌△DEF就容易了．

方案3：若两个三角形有两边及其中一边的对角对应相等，当这个角的对边恰好是公共边时，则这两个三角形全等．

方案3的正确性可以由图6来证明．在△ABC和△ADC中，AB=AD，AC=AC，∠B=∠D.连接BD，则∠ABD=∠ADB．又∠ABC=∠ADC，所以∠CBD=∠CDB，所以BC=DC.再由SSS证明△ABC≌△ADC．

方案4：若两个三角形有两边及其中一边的对角对应相等，当这个角的对边恰好是这两边中的大边时，则这两个三角形全等．

方案4的正确性可以这样来证明：将两个三角形的大边重叠，使两个三角形位于公共边的两侧，如图6，同上即可证明这两个三角形全等．

方案5：若两个三角形有两边及其中一边的对角对应相等，当这两边的夹角是钝角时，则这两个三角形全等．

方案5是说，在两个钝角三角形中，夹钝角的两边对应相等，另有一对对应角相等，则这两个三角形全等．如图7，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠ACB>90°，∠DFE>90°，∠A=∠D，则△ABC≌△DEF．事实上，分别过C、F作AB、DE的垂线，垂足分别为M、N，由∠A=∠D，AC=DF，可得Rt△ACM≌Rt△DFN（AAS），有CM=FN.再由BC=EF，根据HL可得Rt△BCM≌Rt△EFN，有∠B=∠E.再证明△ABC≌△DEF就容易了．