谈祥柏

走南闯北，我发现中国的风景名胜区以“龙”命名的还真不少：大龙湫瀑布是浙江雁荡山的看家景点，杭州有黄龙洞，昆明有黑龙潭……不胜枚举.

龙常和皇权联系在一起. 有本笔记小说里提到宋朝（公元960年至1279年，共历时319年，是唐、宋、元、明、清5个朝代中统治年代最长的）始建都东京（今河南开封），当时繁华的程度，简直是世界第一，“国宝”级文物《清明上河图》就是描写其市井实景的. 据说，金兵南下，东京失守的前几年，朝廷里一位大臣曾经做过一个预兆性的恶梦，梦见玉皇大帝的灵霄宝殿外大树底下，有三个峨冠博带、气宇轩昂的人在下棋. 先由穿红衣者和穿黑衣者对局，前者大败，垂头丧气，后者洋洋得意. 接着，黑衣人又同黄衣人对弈，不一会儿就被屠掉一条大龙，输得惨不忍睹，推枰而起，连呼“惭愧”.后来有人解释道，穿红衣的王者是宋太祖赵匡胤，穿黑衣的枭雄乃是金太祖完颜阿骨打，而最后那位身穿黄衣的豪强却是起自大漠的元太祖铁木真（成吉思汗），他建立了一个横跨欧亚大陆、旷古未有的庞大帝国.

鉴于梁龙、雷龙、霸王龙等早已在地球上绝迹，现在不妨改用同属于爬行动物的蜥蜴代替它们，做一个数学推理.假设现有2 006条蜥蜴，其中红的7条，黄的410条，蓝的1 589条.每种颜色的蜥蜴与另一种颜色的蜥蜴狭路相逢时，就会展开一场你死我活的恶斗，结果两败俱伤，都变成了第三种颜色的蜥蜴.真像成语里头所说的“鹬蚌相争，渔翁得利”.

现在，让我们提一个有趣的问题：在无限长的时间里，它们最终会不会变成清一色的某种蜥蜴？

也许，前面所讲的下棋噩梦会向你作出暗示：游戏的结局正是如此.但你能通过数学手段来说明吗？

我们可以通过一个三维数组（它是坐标记号的一种推广）来表示开始时三种蜥蜴的数量：（7，410，1 589）.第一步先把黄的统统变掉，即410条黄蜥蜴同410条蓝蜥蜴大军相遇，恶斗了一场之后变成了820条红蜥蜴，我们把这一过程记为：

（7，410，1 589）→（827，0，1 179）.

接着，可由393条红色蜥蜴同393条蓝蜥蜴交锋，把它们变成786条黄蜥蜴，这一变换过程的结果是（434，786，786），于是，不难看出下一步结果必然是（2 006，0，0），所有的蜥蜴全部变成红色的了.

本游戏的奥妙之处在于：最终结果不受操作顺序的影响.例如我们可以另辟蹊径，干脆反其道而行之，先把红色的蜥蜴完全变掉，然后再使它“死灰复燃”.请看下列过程以省笔墨.

（7，410，1 589）→（0，403，1 603）→（806，0，1 200）→（406，800，800）→（2 006，0，0）.

还有其他形形色色的变化方法，简直太多了，同学们自己去试验吧！

最后，让我来指出问题的要害：无论哪一步，黄、蓝两种蜥蜴的数量被3去除时，余数是相同的；而红色蜥蜴的数量在被3除时却是另一个余数.

同余变换与不变量是数学中两个非常重要的概念，你们将来一步步学上去，必然会频繁地同它们打交道的.