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勾股定理典型题举例

2008-06-19朱元生

关键词:逆定理因式勾股定理

朱元生

勾股定理及其逆定理是初中数学中极为重要的定理,揭示了直角三角形三边之间的数量关系,也给出了直角三角形的判别方法,有着十分广泛的应用.现就其在解题中的常见应用举例如下.

[一][求边长]

例1如图1,已知在△ABC中,AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6,试求BC的长.

解析:延长AD到E,使DE=AD,连接BE,如图2,则AE=2AD=12.由SAS易得到 △DBE≌△DCA.

所以BE=AC=13.在△ABE中,AB=5,AE=12,BE=13,由 52+122=132,即AB2+AE2=BE2,根据勾股定理的逆定理知△ABE为直角三角形,∠BAE=90°.在Rt△ABD中,BD===.所以BC=2BD=2.

想一想:三角形中若给出中线,常设法将中线延长一倍,构造全等三角形.同时,这样做也可把分散的条件集中在一个三角形中.

[二][求角度]

例2如图3,四边形ABCD中,已知AB⊥BC,AB=BC=4,AD=2,CD=6,试求∠BAD的大小.

解析:连接AC,如图4.因为AB⊥BC,AB=BC,所以∠BAC=45°.在Rt△ABC中,由勾股定理得到AC2=32.在△ACD中,AD=2,CD=6,AC2=32,由AD2+AC2=22+32=36=CD2,根据勾股定理的逆定理,可知△ACD为直角三角形,∠DAC=90°.所以∠BAD=∠BAC +∠DAC =45°+90°=135°.

想一想:对那些仅给出边长的题目,往往需要利用勾股定理的逆定理判断出一些直角.

[三][求面积]

例3如图5,在△ABC中,AB=15,AC=13,D为边BC上一点,且AD=12,BD=9.试求△ABC的面积.

解析:在△ABD中,AB=15,BD=9,AD=12,由92+122=152,即BD2+AD2=AB2,根据勾股定理的逆定理知△ABD为直角三角形.则△ACD也为直角三角形.在Rt△ACD中,CD===5,所以S△ABC=(BD+CD)·AD=84.

想一想:若去掉“如图5”,将“D为边BC上一点”改为“D为直线BC上一点”,则△ABC的面积又有何变化?有没有钝角三角形的情况?

[四][求周长]

例4直角三角形的一条直角边长为7,另两边长均为自然数,则此三角形周长是().

A. 49B. 50C. 56D. 不确定

解析:直角三角形的三边长应满足勾股定理,而题设条件中仅知一条边的长,这给解题带来了一定的困难.但由于另两条边既满足勾股定理,又均为自然数,故可以构造不定方程,求出直角三角形另外两边的长,三角形的周长也就可以求出了.

设直角三角形的斜边长为x,另一条直角边长为y,则x2-y2=72,即(x+y)(x-y)=49.由x+y>x-y,又x+y、x-y都为自然数,由(x+y)(x-y)=49×1,得到x+y=49,

x-y=1.解得x=25,y=24.

所以三角形三边长分别为7、24、25,则三角形的周长为56,故应选C.

想一想:当题目中出现不定方程时,常常要将方程两边分解因式和分解因数,得出有关的方程组.分解因式后,要注意分析各个因式的大小关系,以简化判断过程.

[五][判断三角形的形状]

例5如图6,在△ABC中,AD是高,且AD2=BD·CD,试判断△ABC的形状.

解析:在△ABC中,AD是高,所以AB2=BD2+AD2,AC2=AD2+CD2,则AB2+AC2=BD2+2AD2+CD2.而AD2=BD·CD,所以AB2+AC2=BD2+2BD·CD+CD2=(BD+CD)2=BC2.

根据勾股定理的逆定理可知,△ABC为直角三角形.

想一想:本题还可通过把乘积BD·CD化为“和”的形式来解.BD·CD=[(BD+CD)2-BD2-CD2]=(BC2-BD2-CD2).同学们不妨试试.

[六][证明两线垂直]

例6如图7,在正方形ABCD中,E为边AB的中点,AF∶FD=1∶3,求证:CE⊥EF.

解析:连接FC,如图8.设AF=a,则FD=3a,AE=EB=(a+3a)=2a,BC=CD=4a.在Rt△AEF,Rt△BCE,Rt△CDF中:

EF2=AE2+AF2=(2a)2+a2=5a2;EC2=BE2+BC2=(2a)2+(4a)2=20a2;CF2=FD2+CD2=(3a)2+(4a)2=25a2.由5a2+20a2=25a2,即 EF2+EC2=CF2,根据勾股定理的逆定理,可得△CEF为直角三角形,∠CEF=90°,所以CE⊥EF.

想一想:证明两线垂直,首先要想到利用勾股定理逆定理构造直角三角形.本题也可以延长FE与CB,使它们交于G.则△AEF≌△BEG(ASA).BG=AF.可计算出EG.在△EGC中利用勾股定理逆定理证出EG⊥CE.

[七][证明线段的平方关系]

例7如图9,已知△ABC为等腰直角三角形,D为斜边BC上一点.求证:BD2+DC2=2AD2.

解析:要证明的式子与勾股定理相似,可考虑将其变形为BD2+DC2=(AD)2,由此可联想到以BD、DC、AD为边构造一个直角三角形.过点C作CE⊥BC,并截取CE=BD.连接AE、DE,如图10,则∠ACE=∠ABD=45°.又AB=AC,BD=CE,所以△ABD≌△ACE,从而∠BAD=∠CAE,AD=AE,则∠DAE=∠DAC+∠CAE=∠DAC+∠BAD=∠BAC=90°.

所以△ADE是等腰直角三角形,则DE2=2AD2.

在Rt△CDE中,CE2+DC2=DE2,而CE=BD,DE2=2AD2,所以BD2+DC2=2AD2.

想一想:本题也可以这样想,把△ABD绕A点逆时针方向旋转90°到△ACE.本题还有一个更简单的解法:过A点作AF⊥BC于F,设AF=x,DF=y,则BF=CF=x,BD2=(x-y)2,DC2=(x+y)2,AD2=x2+y2.

下面有几道练习题,同学们不妨试一试:

1. 如图11,在△ABC中,∠C=135°,a=,b=2,求c.

2. 如图12,点P是等边△ABC内一点,且PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB.

3. 如图13,四边形ABCD中,已知AB⊥BC,AB=3,BC=4,CD=12,DA=13.求四边形ABCD的面积.

4. 在△ABC中,BC=2n+1,AC=2n2+2n,AB=2n2+2n+1,n为正数,试判断△ABC的形状.

注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。

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