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三角形的内角与外角

2008-06-10刘明玉

关键词:外角过点平分线

刘明玉

三角形是最基本的几何图形之一,是研究复杂几何图形的基础,许多几何问题都可以转化为三角形问题来解决.三角形内角和定理及外角的性质是“三角形”这一章的重要内容.学习这部分内容仅记住定理和推论是不够的,要能准确地叙述定理,规范地作出图形,用数学符号和数学语言进行证明,这样才能对定理深刻理解,熟练掌握,灵活运用.

1. 理解定理及性质

三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°.

三角形外角的性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和;三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.

课本参照图1对三角形内角和定理进行了说明,这里我们参照图2对三角形内角和定理及外角的性质进行说明.

如图2,延长线段BC至点E,过点C作CF∥AB.

根据平行线的性质,可得∠ACF=∠A,∠FCE=∠B.

∵∠BCE=180°,

∴∠ACF+∠FCE+∠ACB =180°,即∠A+∠B+∠ACB=180°.

由∠ACF=∠A,∠FCE=∠B,可得∠ACF+∠FCE=∠A+∠B. 故∠ACE=∠A+∠B.所以∠ACE>∠A,∠ACE>∠B.

2. 范例分析

例1如图3,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小.

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析:]图3中的这5个角是分散的,如果能将分散的角集中到某一个三角形中,问题就能轻松获解.

解:如图3,∠1=∠C+∠E,∠2=∠B+∠D .

∠1、∠2、∠A是同一个三角形的3个内角,所以∠1+∠2+∠A=180°. 故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.

[说明:]利用三角形外角的性质,将分散的角集中到一个三角形或一个多边形中,利用三角形内角和定理或多边形内角和公式进行计算,这是计算复杂多边形中几个内角之和的常用方法.

实践探究题1:如图4,已知∠3=∠1+∠2,试说明∠A+∠B+∠C+∠D=180°.

(提示:过点F作FH∥EC,说明FH∥GB,应用平行线的性质及三角形外角的性质,可使问题获解.)

例2(“希望杯”竞赛题) 如图5,已知DO平分∠ADC,BO平分∠ABC,且∠A=27°, ∠O=30°,求∠C的大小.

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析:]根据角平分线的性质,设∠ODC=∠ODA =x°,∠OBA=∠OBC=y°.以∠1和∠2为桥梁,列出等式,用代数方法进行计算.

解:∵∠1=∠C+2x°,∠1=∠A+2y°,

∴∠C+2x°=∠A+2y°.

∴∠C=∠A+2y°-2x°. ①

又∠2=30°+x°,∠2=27°+y°,

∴30°+x°=27°+y°.

∴y°-x°=30°-27°=3°.②

由①②可得

∠C=∠A+2(y°-x°) =27°+2 × 3° =33°.

[说明:]解这道题时,根据角平分线的性质,将两组相等的角分别设出,应用三角形外角的性质,使∠1、∠2成为联系已知量和未知量的桥梁,再用代数的方法进行计算即可.

实践探究题2:如图6,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点,且∠D=40°,求∠A的大小.

(答案:∠A=80°.)

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