丁学明

幻方，在我国也称纵横图，它的神奇特点吸引了无数人.从我国古代的“河出图，洛出书，圣人则之”的传说起，系统地对幻方进行研究的第一人，当数我国宋代数学家杨辉.

杨辉，字谦光，钱塘（今杭州）人，我国南宋时期杰出的数学家，与秦九韶、李冶、朱世杰并称宋元数学四大家.杨辉在我国古代数学史和数学教育史上占有十分重要的地位.

杨辉一生的数学著作很多，共有五种二十一卷，《详解九章算法》（1261年）十二卷，《日用算法》（1262年）二卷，《乘除通变本末》（1274年）三卷，《田亩比类乘除捷法》（1275年）二卷，《续古摘奇算法》（1275年）二卷等.在今天看来，杨辉在数学方面的主要成就有：发现了“杨辉三角形”；系统研究纵横图（幻方）并得出重要结论；研究出三角垛、四隅垛等的求和公式；对《九章算术》进行重新分类等.

杨辉对幻方的研究源于一个小故事.当时杨辉是台州的地方官，一次外出巡游，碰到一小孩子挡道，杨辉问明原因才知道是一小孩子在地上做一道数学题.杨辉一听有了兴趣，下轿来到小孩子旁问是什么题.原来，这个小孩子在算一位老先生给他出的一道趣题：把1到9的数字分三行三列排列，不论竖着加，横着加，还是斜着加，结果都等于15.

杨辉看到这个算题，想起他在西汉学者戴德编纂的《大戴礼记》书中也见过.杨辉想到这儿，和这个小孩子一起算了起来，直到午后，两人终于摆出了结果（如图1）.

后来，杨辉随这个小孩子来到老先生的住处，与老先生谈论起数学问题来，老先生说：“北周甄鸾所注《数术记遗》一书中写过‘九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央.”杨辉听了，与小孩子摆出来的完全一样.

杨辉回家后，反复琢磨，终于研究出了三阶幻方（也叫洛书或九宫图）的构造方法，然后他又系统地研究了四阶幻方至十阶幻方.在这几种幻方中，杨辉只给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法.但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误，可见他已经掌握了高阶幻方的构成规律.

下面是杨辉研究和总结出的四阶幻方（花十六图）的构造方法：以十六子依次作四行排列，先以外四角对换，一换十六、四换十三，后以内四角对换，六换十一、七换十，横直上下斜角，皆三十四数.如图2.

杨辉给出的正方形幻方共有十三幅，它们是：洛书数（三阶幻方）一幅，花十六图（四阶幻方）两幅，五五图（五阶幻方）两幅，六六图（六阶幻方）两幅，衍数图（七阶幻方）两幅，易数图（八阶幻方）两幅，九九图（九阶幻方）一幅，百子图（十阶幻方）一幅.他把这些研究成果写进了《续古摘奇算法》一书中.同时，书中还有六幅幻圆，为中国幻方、幻圆组合技术作出了重大贡献.

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