潘亦宁

在初等数学的教学当中，无理数是一个非常重要的内容. 从数学发展的历史来看，无理数的发现也具有极其重大的意义. 因此，在教学中适当介绍无理数的发展历史是十分必要的.

1 毕达哥拉斯学派与无理数的发现

无理数最早是由古希腊的毕达哥拉斯学派发现的. 毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前580—前497)是希腊演绎数学的鼻祖之一，生于靠近小亚细亚海岸的萨摩岛. 据说他曾跟随著名的泰勒斯(Thales of Miletus， 约公元前625—前547)学习过，青年时还到埃及和巴比伦游历，回到希腊后定居于今天意大利南部沿海的克洛托内，并在那里建立了一个秘密会社，也就是今天所说的毕达哥拉斯学派. 这是一个宗教、科学和哲学性质的会社，会员人数是限定的，由领导人传授知识，会员必须对学派中所传授的知识保密. 后来，毕达哥拉斯本人由于参与政治斗争而于公元前497年被害，但是学派的其他成员仍然活跃在希腊的各个学术中心.

毕达哥拉斯本人没有著作传世，今天所说的毕达哥拉斯学派的数学成就是该学派成员的共同成果. 这些成果的大部分后来都收录在欧几里得(Euclid of Alexandria， 约公元前300)的《几何原本》. 尽管我们今天把很多几何成就归功于毕达哥拉斯学派，但这个学派最基本的信条却是“万物皆数”. 他们认为人们所知道的一切事物都包含数，如果没有数就既不可能表达也不可能理解任何事物. 事实上，毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数，分数则被看成两个整数之比. 他们相信任何量都可以表示成两个整数的比，这在几何上相当于说，对任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段可以将给定的两条线段划分为整数段. 这样的两条给定线段被称为可公度量，意即相比两量可用公共度量单位量尽，相应的，不能这样表达的量被称为不可公度量. 后来毕达哥拉斯学派发现并不是任何两条线段都是可公度的，例如单位正方形的对角线与边长就不可公度，即与1不能公度. 据说不可公度量最早是由学派成员希帕苏斯(Hippasus， 公元前470年左右)发现的. 当时学派成员正在海上集会，因为这一发现而将希帕苏斯投到海里，因为他在宇宙间搞出这样一个东西，否定了毕达哥拉斯学派万物皆数的信条.

2与1不能公度的证明也是毕达哥拉斯学派给出的. 据亚里士多德记载，他们用的是反证法. 假设2是有理数，那么2可以表示为a∶b，a、b为互素的整数. 又由2a2=b2輇为偶数，设b=2c2a2=4c2輆2=2c2輆为偶数. 这与a、b互素矛盾!这与今天的证明是一致的.

很快人们就发现了除2以外的其它一些无理数，这些发现动摇了古希腊数学信仰的基础，因此有时也被称为第一次数学危机. 这一危机因为欧多克斯重新定义比例论而得到暂时的缓解.

2 欧多克斯比例论

公元前408年，欧多克斯(Eudoxus，约公元前408～前347)出生于小亚细亚的奈达斯，跟随毕达哥拉斯学派的阿契塔斯(Archytas， 约公元前375)学习过，曾到埃及游历过，回到希腊后创立了自己的学派，即今天所说的欧多克斯学派. 公元前368年他带领自己的门徒一起加入了著名的柏拉图学派. 欧多克斯是古希腊时代伟大的天文学家、几何学家、医生和地理学家. 他在数学上的重大贡献是引入了关于比例的一个新理论.

越来越多无理数的发现迫使希腊数学家不得不研究这些数. 它们确实是数吗?以前用于可公度的长度、面积和体积的证明怎样才能推广到不可公度的这些量呢?为了解决这些问题，欧多克斯首先引入了“量”的概念. 这里的量不是数，而是代表诸如线段、角、面积、体积、时间等. 量与数的不同在于，数是离散的，即可数的，而量可以是连续的. 欧多克斯由量的概念出发给出了一种新的比例论. 欧几里得《几何原本》第五卷中引用了这种比例论. 其定义为：设A，B，C，D是任意四个量，其中A和B同类(即均为线段、角或面积等)，C和D同类. 如果对于任何两个正整数m和n，mA大于、等于、小于nB是否成立，相应地取决于mC大于、等于、小于nD是否成立，则称A与B之比等于C与D之比，即A，B，C，D四量成比例.

通过这一新的比例论，希腊数学家可以严格地将可公度量的证明推广到不可公度的量，从而解决了不可公度带来的逻辑上的矛盾，但这样做也带来了一些其它的后果. 欧多克斯比例论实际上是为了避免把无理数当作数. 这个理论给不可公度量的比例提供了逻辑依据，但是也将数同几何截然分开，而且使希腊数学的重点从数转向了几何，因为几何可以处理无理数. 在此后的几千年间，几何学成为几乎是全部严密数学的基础，而算术和代数则没有取得独立的地位. 我们可以看出，欧多克斯的比例论实际上并没有给无理数提供可靠的算术理论基础，在很长的时间里，西方数学家都必须用几何来严格处理连续量.

3 东方数学中的无理数

与希腊人不同，中国古代数学家是在开方(即解方程)的过程中遭遇无理数的. 最早记录无理数发现的是《九章算术》. 这是中国古典数学中最重要的一部数学著作，至迟在公元前1世纪已经成书. 该书由西汉张苍、耿寿昌等人对当时流传的自先秦以来的数学知识进行删补而成. 全书采用问题集的形式，共246个问题，分为九章，依次为：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股. 其中“少广”章中的“开方术”和“开立方术”给出了开平方和开立方的算法. 在这种对整数开方的过程中必然会遇到开方不尽的情况. 《九章算术》对开方不尽的数起了一个新的名字，叫做“面”. 例如面积为2的正方形求边长时，应对2开平方，而结果是开不尽的，于是称面积为2的正方形的边长为2“面”. 这是中国传统数学中对无理数的最早记载.

古希腊数学家从不可公度性发现了无理数，欧多克斯为了解决不可公度在逻辑上的矛盾而重新定义了比例，但是这样做的结果是避免承认无理数是真正的数. 中国人则从一开始就很坦然地接受了这种新的数，并且在计算中也很随意地使用它们. 在无理数的表示方面做出重大贡献的是中国古代数学泰斗刘徽. 刘徽是三国时期魏国人，他在数学上的主要成就是对《九章算术》做注释. 《九章算术注》包含了刘徽本人的许多创造，完全可以看成是独立的著作，它奠定了刘徽在中国数学史上的不朽地位. 刘徽在注释《九章算术》少广章中的开方术时提出了用十进分数求无理数近似值的方法. 当某一整数单位(例如尺)开方不尽时，可以用该单位的110，1100等为新单位继续开方. 这种方法被称为求微数. 正是使用求微数的方法，刘徽才将圆周率精确到3.1416的较好结果. 唐代以后，十进小数获得了广泛的应用，到宋元时期秦九韶等人已经可以用十进小数求高次方程无理根的近似值. 中国古代数学家正是通过无理数的近似表示来对其进行各种运算的. 印度和阿拉伯的数学家也认为无理数是真正的数，并且用有理数的运算法则来计算无理数.

4 无理数的发展与定义

中世纪过后，欧洲数学逐渐复苏. 受到东方数学的影响，算术和代数的发展首先取得了突出成就. 到16、17世纪，欧洲人对无理数的使用已经越来越广泛了，但对无理数究竟是不是真正的数却产生了分歧. 德国数学家斯蒂弗尔(M. Stifel， 1487—1567)在其著作《整数算术》中讨论用十进小数的记号表示无理数的问题时，认为无理数不能被准确掌握，因而不是真正的数. 其后的帕斯卡和牛顿等人仍持这一观点. 其他一些人则肯定认为无理数是独立存在的数. 荷兰数学家史蒂文(S. Stevin， 1548—1620)承认无理数是数，并用有理数来逼进它们. 笛卡儿也承认无理数是能够代表连续量的抽象的数. 然而直到18世纪数学家们都没有弄清楚无理数的概念，无理数理论的真正建立要到19世纪才完成.

在19世纪，最早对无理数进行处理的是爱尔兰数学家哈密顿(W. R. Hamilton， 1805—1865). 他在1833—1835年发表《代数学作为纯时间的科学》，把有理数和无理数的全体一起放在时间概念的基础上. 他还提出用划分有理数的方法来定义无理数，遗憾的是最终没能完成. 在魏尔斯特拉斯(K. Weierstrass， 1815—1897)建立完善的无理数理论以前，柯西(Cauchy， 1789—1851)关于无理数是有理数列极限的概念被广泛采用. 然而，除非无理数已经有了定义，否则这样一个数列的极限在逻辑上是不存在的. 1859年魏尔斯特拉斯在柏林的授课中建立了无理数的理论，但是长期以来并没有发表. 1869年法国数学家梅雷(H. C. R. Meray， 1835—1911)在有理数的基础上给出了无理数的一个定义，这个定义与康托尔(G. Cantor， 1845—1918)所给的定义相同. 目前为大家广泛接受的是德国数学家戴德金(R. Dedekind， 1831—1916)1872年在《连续性与无理数》中给出的无理数定义.

无理数的各种定义在实质上是十分相似的，这里仅介绍戴德金的定义. 戴德金是在直线划分的启发下来定义无理数的，其核心是“分割”的概念. 一个分割把所有的有理数分成两类，使得第一类中的每一个数都小于第二类中的每一个数. 若干用A1与A2表示这两类，则(A1，A2)表示这个分割. 在一些分割中，或者A1中有最大数，或者A2中有最小数，这样的分割是由有理数确定的. 但是存在着不是由有理数确定的分割. 例如，把所有平方小于2的有理数放在第一类，其它放在第二类，这个分割就不是由有理数确定的. 从而每一个这样的分割对应于唯一的一个无理数. 接着戴德金又定义了两个分割的大小关系及其运算. 除了这种定义外，史托尔茨(Otto Stolz， 1842～1905)在《一般算术教程》中证明了每一个无理数可以表达成无限不循环小数. 这也是我们今天定义无理数的常用方法.

至此，在古希腊时期就被发现的无理数终于有了严格的定义. 从上述定义我们可以看出，无理数的逻辑定义是颇有些不自然的. 逻辑地定义出来的无理数是一个智慧的怪物. 这也正是长期以来数学家们觉得无理数难以掌握的真正原因. 事实上，直到19世纪一些保守的数学家仍然不接受这样的无理数理论，例如克洛耐克和汉克尔就持反对意见. 虽然如此，严格的无理数理论的建立仍然是现代分析学和几何学发展的基础，是数学发展史上一次重大的进步.

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