沈新权　刘　舸

1． 若x2+6的二项展开式中x3项的系数为，则a=（用数字作答）.

2. 一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下表所示：

则样本在（10，50］上的频率为.

３． 古代“五行”学说认为：物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.现将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A出现的概率是

（结果用数值表示）.

４. 给出下列四个命题：

①函数f（x）＝ｘ｜ｘ｜+ｂｘ+ｃ为奇函数的充要条件是ｃ＝0；

②函数ｙ＝2-ｘ（ｘ＞0）的反函数是ｙ＝-ｌｏｇ 2 ｘ（0＜ｘ＜1）；

③若函数f（x）＝ｌｇ（ｘ2+ａｘ-ａ）的值域为R，则ａ＜-4或ａ＞0；

④若函数ｙ＝ｆ（ｘ-1）是偶函数，则函数ｙ＝f（x）的图像关于直线ｘ＝0对称．

其中所有正确命题的序号是.

５. 已知ｓｉｎθ＝，ｃｏｓθ＝，＜θ＜π，则tan=.

６． 设函数f（x）=为奇函数，则ａ＝．

７． 如图１所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝ｍ，＝ｎ，则ｍ+ｎ的值为.

８. 直线ｌ过抛物线ｙ2＝ａ（ｘ+1）（ａ＞0）的焦点，并且与ｘ轴垂直，若ｌ被抛物线截得的线段长为4，则ａ＝.

９. 已知f（x）=，ｇ（x）=，则f（1）ｇ（3）+ｇ（1）f（3）-ｇ（4）=

，f（3）ｇ（2）+ｇ（3）f（2）-ｇ（5）=.由此概括出关于函数f（x）和ｇ（x）的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例，这个等式是.

１０． 若数列｛ａｎ｝的通项公式ａｎ＝，记f（ｎ）＝2（1-ａ1）（1-ａ2）·…·（1-ａｎ），试推测出f（ｎ）＝.

１１. 在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成的如图２（ａ）所示的六边形（图中圆圈表示珠宝），第三件首饰如图2（ｂ）所示，第四件首饰如图２（ｃ）所示，第五件首饰如图２（ｄ）所示.以后每件首饰都在前一件的基础上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，构成更大的六边形.依此推断第6件首饰上应有

颗珠宝，第ｎ件首饰所用的珠宝数为.

１２. 已知函数f（x）＝ａｘ3+ｂｘ+4（ｘ∈R），若f（-2）＝5，则f（2）＝.

１３． 若a=1，b=2，ａ⊥（ａ-ｂ），则向量ａ与ｂ的夹角为.

１４. 若曲线ｙ2＝ｘ+1与直线ｙ＝ｋｘ+ｂ没有公共点，则ｋ，ｂ分别应满足的条件是.

１５． 已知ｘ，ｙ满足ｘ-ｙ≤1，2ｘ+ｙ≤4ｘ≥1；，则函数ｚ＝ｘ+3ｙ的最大值是.

１６. 对ａ，ｂ∈R，记ｍａｘ｛ａ，ｂ｝＝ａ（ａ≥ｂ），ｂ（ａ＜ｂ）；则函数f（x）＝ｍａｘ｛ｘ+1，ｘ-2｝（ｘ∈R）的最小值是.

１７． 在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上的任意一点到角两边的距离之比为定值.类比上述性质，请叙述在立体几何中相应的特性（不必证明）.类比性质叙述如下：.

１８. 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB与AC垂直，则AB2+AC 2＝BC 2”.拓展到空间，类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出正确的结论是“设三棱锥A-BCD的三个侧面 ABC，ACD，ADB两两互相垂直，则 .”

【参考答案】

1． 2 （直接展开计算）

2．（直接计算）

3．（直接计算：把“金、木、土、水、火”依次编号为1,2，3,4，5进行排序，排法总数为＝120种，满足条件的排序为＝10种，可得事件A出现的概率是）

4． ①②③ （特征分析：对于④，函数ｙ＝ｆ（ｘ-1）是偶函数，则其图像关于直线ｘ＝0对称．由于函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像可以由函数ｙ＝ｆ（ｘ-1）的图像向左平移1个单位得到，所以函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝-1对称）

5． 5 （特征分析：利用ｓｉｎ2θ+cos2θ=1的特征，将条件代入可求得m=0或m=8， ∴ cosθ=（舍去）或cosθ=-， ∴ tan==5）

6． -1 （取特殊值： ∵ ｆ（1） +ｆ（-1）=0， ∴ 2（1+ａ）+0＝0，即ａ＝-1）

7． 2 （取特殊位置：令点M与点B重合，点N与点C重合，则ｍ＝ｎ＝1，故ｍ+ｎ＝2）

8． 4 （取特殊函数：抛物线ｙ2＝ａ（ｘ+1）与抛物线ｙ2＝ａｘ具有相同通径长，故可用标准方程ｙ2＝ａｘ替换一般方程ｙ2＝ａ（ｘ+1）求解，故由通径长公式得ａ＝4）

9． 0，0， ｆ（ｍ）ｇ（ｎ）+ｇ（ｎ）ｆ（ｍ）-ｇ（ｍ+ｎ）＝0 （计算后发现规律）

10．（发现规律：计算得ｆ（1）＝，ｆ（2）＝，ｆ（3）＝，…，推测ｆ（ｎ）＝）

11． 66，2ｎ2-ｎ （发现规律：记第ｎ件首饰的珠宝数为ａｎ.由ａ1＝1，ａ2＝ａ1+5，ａ3＝ａ2+5+4，ａ4＝ａ3+5+2×4，ａ5＝ａ4+5+3×4，…，得ａｎ＝ａｎ-1+5+（ｎ-2）×4，即ａｎ-ａｎ-1＝4ｎ-3，易得ａｎ＝2ｎ2-ｎ）

12． 3 （构造新模型：令ｇ（ｘ）＝ａｘ3+ｂｘ，则ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）+4.易知ｇ（ｘ）为奇函数，则 ｆ（-2）＝ｇ（-2）+4＝-ｇ（2）+4＝5， ∴ g（2）=-1， ∴ ｆ（2）=g（2）+4=-1+4=3）

13．（构造新模型：根据ａ⊥（ａ-ｂ）构造直角三角形，ｂ对应斜边，ａ与ａ-ｂ 对应直角边）

14． ｋ＝0，ｂ∈（-1，1） （数形结合：作函数ｙ2＝ｘ+1＝ｘ+1（ｘ≥0），-ｘ+1（ｘ＜0）的图像（见图3），得ｋ＝0，ｂ∈（-1，1））

15． 7 （数形结合：根据条件画出可行域，可知当直线过点（1，2）时，ｚｍａｘ＝1+6＝7 ）

16． （数形结合：作出函数f（x）＝ｍａｘ｛ｘ+1，ｘ-2｝（ｘ∈R）的图像（见图4实线部分），从图像上观察可得，在ｘ＝处取得最小值）

17． （答案不唯一，下列答案中任一皆可）从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个面的距离之比为定值；或从二面角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二面角的两个面的距离之比为定值；或在空间，从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值；或在空间，射线OD上任意一点P到任意射线OA，OB，OC的距离之比为定值；或在空间，射线OD上任意一点P到任意平面AOB，BOC，COA的距离之比为定值. （类比转化）

18． ++= （类比转化）

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