基于Copula模型的多维地震动参数相关性分析

2024-04-01刘明旭姚国文彭刚辉姜云木喻宣瑞宋安祥靳红华

科学技术与工程 2024年8期

刘明旭, 姚国文, 彭刚辉, 姜云木, 喻宣瑞, 宋安祥, 靳红华

(1.重庆交通大学土木工程学院, 重庆 400074; 2.重庆市黔江区城市管理局, 重庆 409000;3.大连理工大学海岸和近海工程国家重点实验室, 大连 116024)

地震动是典型的多维运动,工程上将其划分为含两个水平向分量和一个竖向分量。地震动的多维特性易对地震作用下的结构动力响应和破坏机理产生显著影响,因此,细化研究地震动多维特性是合理开展结构抗震设计与设防的基础[1]。

诸多学者针对多维地震动参数相关性领域开展了研究。黄玉平等[2]研究发现,多维地震动水平向分量的相关性较高,且平均自功率谱的形状大致相同,互动率谱的形状也与自功率谱相近。刘章军等[3]基于实测记录给出了多维地震动各方向分量间的调制函数和功率谱参数比值。Bozorgnia等[4]提出了一种可以预测地震动竖向分量与水平向分量加速度反应谱比值的模型。薛素铎等[5]根据地震动波动理论总结了水平向分量与竖直向分量的场地卓越圆频率以及谱强度因子之间的关系。刘子心等[6]引入随机方法,实现了多维地震动的降维模拟。虽然现阶段关于多维地震动各向分量间的相关性研究结果较多,但少有考虑多维地震动数据的概率信息和特征。

Copula理论最早应用于金融界,近年来被逐渐应用于土木工程领域。姜云木等[7]通过Copula理论分析了主余震的地震动演变功率谱相关参数,推导了主余震参数间的计算公式,并构建了主余震型地震动的降维模型。陈建兵等[8]借助Vine Copula理论对99条混凝土受压本构试验曲线展开研究,分析了混凝土抗压强度、峰值应变、弹性模量的边缘分布情况和参数间的相关性,为混凝土结构非线性研究提供了重要基础。唐小松[9]将Copula函数应用于水利水电岩土工程,提出岩土体参数联合概率分布模型构建方法,建立了有限数据条件下相关非正态岩土体参数二维和多维分布模型。朱瑞广等[10]利用Copula函数对662条主余震序列地震动展开研究,建立了主余震地震动强度参数间的联合分布,得到Copula条件均值可以用来预测余震地震动强度参数取值的结论。陈将宏等[11]利用Copula函数研究了抗剪强度参数相关变量的相关性,并给出了联合概率模型。李幸钰等[12]提出一种新型的优化藤Copula,并用于桥梁结构系统易损性方法研究,避免了大量联合概率密度函数的求解以及信息判定准则的试算。孟祥成等[13]提出了高维 Gumbel Copula 参数的拟合估计公式,并将其嵌入推广的递推分解算法,形成大型生命线网络地震动力可靠度的计算方法。

基于此,为了在考虑随机特性和概率特性影响下,研究u-v(u、v为地震动两个水平向分量和一个竖向分量中的任意两个分量,u、v=x,y,z)向分量间地震动参数的相关性,首先从太平洋地震动工程研究中心筛选出1 500组实测地震动,并从强度、持时和频谱3个方面筛选出12组地震动参数;然后,通过计算12组地震动参数的Pearson线性相关系数、Kendall秩相关系数和Spearman秩相关系数,分析u-v(u、v=x,y,z)向分量间地震动参数的相关性。其次,以对数正态分布(LOGN)、耿贝尔分布(G)、广义极值分布(GEV)、威布尔分布(WEI)为备选概率模型,并借助柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫(Kolmogorov-Smirnov,K-S)检验和贝叶斯信息准则(the Bayesian information criteria,BIC准则),建立12组地震动参数在x、y、z向分量上的最优概率模型;最后,通过Copula理论和贝叶斯公式,确定u-v向分量间12组地震动参数的最优Copula函数,建立它们之间的联合概率函数,并在给定u向分量地震动参数条件下,得到v向分量地震动参数预测值。以期为地震动多维特性研究分析、结构抗震设防提供参考价值。

1 基于Copula模型的多维地震动参数相关性分析方法

1.1 归一化处理

在开展相关性分析前,为增强研究结果可靠性,先将1 500组实测地震动的12组地震动参数进行了归一化处理,如式(1)所示。

(1)

1.2 计算相关系数

选取Pearson线性相关系数、Kendall秩相关系数和Spearman秩相关系数用于判断u-v(u、v=x,y,z)向分量地震动参数间的强弱关系。所用的λ′u和λ′v分别为实测地震动u向分量和实测地震动v向分量的归一化地震动参数。

Pearson线性相关系数r又称积差相关[14],可反映两组变量λ′u和λ′v间的相关程度,如式(2)所示。

(2)

式(2)中：cov(λ′u,λ′v)为变量λ′u和λ′v之间的协方差;σλ′u、σλ′v分别为变量λ′u和λ′v的方差。

Kendall秩相关系数τ又称为等级相关系数[15],如式(3)所示。两组变量λ′u和λ′v的集合为D=[λ′uλ′v],当λ′u,i>λ′u,j且λ′v,i>λ′v,j或λ′u,i<λ′u,j且λ′v,i<λ′v,j时,称为同序对,其数量用A表示;当λ′u,i<λ′u,j且λ′v,i>λ′v,j或λ′u,i>λ′u,j且λ′v,i<λ′v,j时,称为异序对,其数量用B表示,其中,i,j=1,2,…,n。

(3)

式(3)中：n为样本数量,即n=1 500。

Spearman秩相关系数ρ是一个非参数性质(与分布无关)的秩统计参数[16],主要用于解决称名数据和顺序数据问题,如式(4)所示。

(4)

1.3 选取备选概率模型

得到u-v(u、v=x,y,z)向分量间地震动参数的相关系数后,为进一步分析多维地震动参数的概率信息和特征,选取对数正态分布(LOGN)、耿贝尔分布(G)、广义极值分布(GEV)、威布尔分布(WEI)作为备选概率模型。

对数正态分布在短期上与正态分布相似,对数正态分布具有更大向上波动的可能和更小向下波动的可能,其地震动参数概率密度函数为

(5)

式(5)中：x为地震动参数;μ1、λ1分别为对数正态分布下地震动参数的位置参数、尺度参数。

Gumbel分布可表示为极值I型分布[17],其地震动参数概率密度函数为

(6)

式(6)中：μ2、λ2分别为Gumbel分布下地震动参数的位置参数与尺度参数。

GEV分布是具有三参数的极值分布通式,对各种数据均有较强的适应能力[18],其地震动参数概率密度函数为

(7)

式(7)中：μ3、λ3、k3分别为广义极值分布下地震动参数的位置参数、尺度参数和形状参数。

Weibull分布最常用于可靠性数据建模[19],其地震动参数概率密度函数为

(8)

式(8)中：k4、λ4分别为Weibull分布下地震动参数的形状参数和尺度参数。

1.4 确定最优概率模型

为从上述4种备选概率模型中筛选出最优概率模型,将利用K-S检验对其进行验证。若有两种及两种以上备选概率模型通过K-S检验时,则采用BIC准则[20]选出最优概率模型,如式(9)所示。

BIC=ln(n)b-2lnL

(9)

式(9)中：BIC为备选概率模型的后验概率值,一般后验概率值越小,代表模型拟合度越好;b为分布模型中参数的个数;L为模型最大似然函数;n为样本容量。

1.5 建立联合分布函数

Copula理论最先由Sklar[21]提出,可用来描述任意两组随机变量间的相关性。假设有两组任意尺寸相等的一维随机变量X和Y,则X和Y的联合累积分布函数为

F(x,y)=C[FX(x),FY(y)]=C(u1,u2)

(10)

式(10)中：C(·)为Copula分布函数,其中u1=FX(x)、u2=FY(y);FX(x)、FY(y)分别为随机变量X和Y的边缘累积分布函数。

因此,X和Y的联合概率密度函数为

f(x,y)=c(u1,u2)fX(x)fY(y)

(11)

式(11)中：fX(x)、fY(y)分别为随机变量X和Y的边缘概率密度函数;c(·)为Copula密度函数,可表示为

(12)

1.6 选取Copula函数备选模型

采用Gumbel Copula、Clayton Copula、Frank Copula和Plackett Copula对u-v(u、v=x,y,z)向分量间的地震动参数进行分析。这4种阿基米德Copula函数均具有不同的尾部相关性。其中Gumbel Copula具有上尾相关性,适合描述两个变量同时上涨的情况;Clayton Copula具有下尾相关性,适合描述两个变量同时下降的情况;Frank Copula可以同时拟合上、下尾相关且可以同时描述变量正相关性与负相关性;Plackett Copula对变量间相关性的正负无要求。4种Copula函数备选模型如表1[22]所示。

表1 Copula函数备选模型[22]Table 1 Alternative model of Copula function[22]

表1中,对以上4种阿基米德Copula函数模型采用BIC准则检验,便可选出u-v(u、v=x,y,z)向分量间同一组参数的最优Copula模型。

1.7 得到Copula条件均值和条件随机数

在前文基础上,根据贝叶斯条件概率公式,若给定随机变量X的条件下,则可得到随机变量Y的条件概率密度函数为

(13)

条件均值可进一步表示为

(14)

同时,对式(13)进行积分,并对其进行概率反变换,便可得到给定X条件下Y的条件随机数。变换过程如式(15)所示。

(15)

式(15)中：θ为区间[0,1]的随机变量。

因此,Y的条件随机数如式(16)所示。

(16)

2 选取实测多维地震动和参数

2.1 实测多维地震动

以断层距离大于10 km和实测震级大于5为选取原则,从太平洋地震动工程研究中心筛选1 500组实测地震动,每一组地震动均有3个方向分量地震动。并根据《中国地震动参数区划图》(GB 18306—2015)[23]建议的5种场地类型(I0～IV),对实测地震动记录进行了分类。

《中国地震动参数区划图》(GB 18306—2015)[24]与Eurocode8：DesignofStructuresforEarthquakeResistance[25]、MinimumDesignLoadsforBuildingsandOtherStructures(ASCE/SEI 7-10)[26]的场地划分标准差异较大,为了将外国实测地震动与中国场地类型相匹配,结合文献[27-28]给出5种场地类型(I0～IV)与地下30 m平均剪切波速Vs30之间的对应关系和每类场地对应的实测地震动数量,如表2所示。在分析实测地震动前,对实测地震动进行四阶Butterworth滤波处理,并在1%～99%能量范围内截取,以增强研究可信度。

表2 场地分类与Vs30的对应关系Table 2 Corresponding relationship between site classification and Vs30

2.2 多维地震动参数

从强度、持时、频谱3个方面选取12组地震动参数,如表3[29]所示。

表3 多维地震动参数[29]Table 3 Multi-dimensional ground motion parameters[29]

3 结果与分析

3.1 不同向分量间地震动参数的相关系数

以II类场地为例,通过式(1)～式(4),得到u-v(u、v=x,y,z)向分量间12组地震动参数的3种相关系数变化趋势,如图1所示。

图1 不同向分量间地震动参数的相关系数变化趋势

由图1可知,除反应谱峰值对应周期地震动参数的相关系数约为0.5,其余u-v(u、v=x,y,z)向分量间地震动参数相关性均较好,基本维持在0.8～1.0。但x-z和y-z向分量间的阿里亚斯强度地震动参数相关系数较低,平均保持在0.5。

工程上常见的II类、III类场地不同向分量间地震动参数的相关系数计算结果,如表4所示。

表4 不同向分量间地震动参数的相关系数Table 4 Correlation coefficient of ground motion parameters between different directional components

由表4可知,III类场地与II类场地的地震动参数相关性结论基本保持一致。即u-v(u、v=x,y,z)向分量间地震动参数的相关性均较好;水平向分量间反应谱峰值对应周期地震动参数的相关性较差;竖直向分量间阿里亚斯强度和反应谱峰值对应周期地震动参数的相关性较差。

3.2 多维地震动参数概率模型

以II类场地峰值加速度(PGA)和5%～95%有效持时为例,通过式(5)～式(8),得到这两个地震动参数的概率密度函数(probability density function,PDF),如图2、图3所示。

图2 峰值加速度概率密度模型

图3 5%～95%有效持时概率密度模型

由图2、图3可知,从4种备选概率模型中无法直接筛选出最优概率模型。因此需采用K-S检验对其进行验证,若有多种备选概率模型通过K-S检验时,则采用BIC准则确定出最优概率模型。因此得到x、y、z向地震动参数最优概率模型的分布情况,如表5所示。鉴于数据结果较多,只给出了工程上常见的II类、III类场地的多维地震动参数最优概率模型分布情况。