■石汉荣

2023 年高考对充要条件的考查主要围绕“充要条件与等式或不等式、充要条件与三角函数”的交汇,凸显充要条件的工具性。充要条件主要用来区分命题的条件和结论之间的关系,下面聚焦2023年高考中的充要条件问题,供大家学习与参考。

聚焦1:充要条件与等式或不等式的交汇问题

例1 (2023年新高考天津卷)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的( )。

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解:由a2=b2,即(a+b)(a-b)=0,解得a=-b或a=b。由a2+b2=2ab,即(ab)2=0,解得a=b。由a2=b2不能推出a2+b2=2ab,即充分性不成立。

由a2+b2=2ab能推出a2=b2,即必要性成立。

故“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要而不充分条件。应选B。

体验:判断充要条件时,先看由条件能否推出结论,再看由结论能否推出条件,能推出一定要说明原因,推不出一定要举出反例,只有这样才能避免出错。充要条件与等式或不等式的交汇,既考查充要条件的意义,又考查等式或不等式的性质。变式1:若xy≠0,则“x+y=0”是的( )。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

提示:(方法1)因为xy≠0,且-2,所以x2+y2=-2xy,即x2+y2+2xy=0,也即(x+y)2=0,所以x+y=0,即必要性成立。反之,由x+y=0,即x=-y,容易得到,即充分性成立。

故“x+y=0”是的充要条件。应选C。

(方法2)因为xy≠0,且x+y=0,所以x=-y,所以1=-2,所以充分性成立。因为xy≠0,且,所以x2+y2=-2xy,即x2+y2+2xy=0,也即(x+y)2=0,所以x+y=0,所以必要性成立。

故“x+y=0”是的充要条件。应选C。

聚焦2:充要条件与三角函数的交汇问题

例2 (2023 年 高 考 全 国 卷)“sin2α+sin2β=1”是“sinα+cosβ=0”的( )。

A.充分条件但不是必要条件

B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

解:充分性不成立,举反例,当sin2α+sin2β=1 时,如但sinα+cosβ≠0,可知sin2α+sin2β=1 推不出sinα+cosβ=0,即充分性不成立。

当sinα+cosβ=0 时,sin2α+sin2β=(-cosβ)2+sin2β=1,可知sinα+cosβ=0能推出sin2α+sin2β=1,即必要性成立。

综上 可 知,sin2α+sin2β=1 是sinα+cosβ=0成立的必要不充分条件。应选B。

体验:判断充要条件常用的两种方法是定义法和集合法。若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇒q且q⇒/p,则p是q的充分不必要条件;若p⇒/q且q⇒p,则p是q的必要不充分条件;若p⇔q,则p是q的充要条件;若p⇒/q且q⇒/p,则p是q的既不充分也不必要条件。

变式2:设x∈R,则“sinx=1”是“cosx=0”的( )。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

提示:因为sin2x+cos2x=1,所以当sinx=1时,可得cosx=0,即充分性成立。

当cosx=0时,可得sinx=±1,即必要性不成立。故当x∈R 时,sinx=1是cosx=0的充分不必要条件。应选A。

1.已知α,β∈R,则“存在k∈Z 使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的( )。

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

提示:当存在k∈Z,使得α=kπ+(-1)kβ时,若k为偶数,则sinα=sin(kπ+β)=sinβ,若k为奇数,则sinα=sin(kπ-β)=sin[(k-1)π+π-β]=sin(π-β)=sinβ。

当sinα=sinβ时,α=β+2mπ,m∈Z 或α=π-β+2mπ,m∈Z,即α=kπ+(-1)kβ(k=2m)或α=kπ+(-1)kβ(k=2m+1),亦即存在k∈Z,使得α=kπ+(-1)kβ。故“存在k∈Z 使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的充要条件。应选C。

2.设函数f(x)=cosx+bsinx(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的( )。

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

提示:当b=0 时,由f(x)=cosx+bsinx=cosx,可知f(x)为偶函数,即充分性成立。

当f(x)为偶函数时,可得f(-x)=f(x)对任意的x恒成立,即cosx+bsinx=cosx-bsinx对任意的x恒成立,也即bsinx=0对任意的x恒成立,所以b=0,即必要性成立。故“b=0”是“f(x)为偶函数”的充要条件。应选C。

3.“x为整数”是“2x+1为整数”的( )。

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

提示:当x为整数时,2x+1 必为整数。当2x+1 为整数时,x不一定为整数,如当2x+1=2时,。故“x为整数”是“2x+1为整数”的充分而不必要条件。应选A。

4.已知a∈R,则“a>6”是“a2>36”的( )。

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

提示:若a>6,则a2>36,即充分性成立。若a2>36,则a>6或a<-6,这时不一定推出a>6,即必要性不成立。故“a>6”是“a2>36”的充分而不必要条件。应选A。