王泽学 陈维

【摘  要】  本文基于心理学家希思兄弟所揭示的具有黏性的六条路径——简单、意外、具体、可信、情感和故事，以高中数学“函数的单调性”教学为例，进行具有黏性的教学设计.从而总结出具有黏性的教学策略：精炼设计，明确目标；吸引学生注意，提升学习兴趣；提高共情力，打破“知识的诅咒”.

【关键词】  黏性的六条路径；函数单调性；高中数学

1  引言

所谓“黏性”，是指教师的教学内容能让学生听懂，能被学生记住，并对他们形成持久的影响[1].而这也是教师所期望的，在多年以后，虽然学生已经记不清在学习时所涉及某些具体的知识点，但那些核心概念和思维方式还能被记住.对于学生来说，黏性的教学也正是他们所所渴望的，因为这样的教学是富有感染力和吸引力的.那如何让自己的教学富有“黏性”？国际知名行为心理学家希思兄弟根据大量的社会心理学研究案例，揭示了让创意或观点具有黏性的六条路径——简单、意外、具体、可信、情感和故事[1].沿着这六个原则，以高中数学“函数的单调性”内容为例，进行具有黏性的教学设计.

2  教学过程设计

2.1  情境导入

同学们，提到新疆你们会想到什么？“葡萄甜”“风景美”“美食多”……而新疆让老师印象最深刻地是气温变化快，昼夜温差大，也正是这样，新疆的葡萄甜.为了让你们能直观感受到新疆气温的变化规律，老师绘制了新疆伊宁市某一天的气温曲线图.

问题  观察气温曲线图，你能获得什么信息？

学生可以很容易得出当天的最高气温是16°，最低气温是0°，在0-8时、14-15时以及20-24时气温下降，在8-14时气温上升，但在15-20时会有些争议，而教师不用迫切给出答案，以悬念形式留给学生.教师可以继续引导学生，气温“上升”和“下降”这种变化趋势以及有没有最大值或最小值，这些都是函数的性质，而我们今天首先研究是“上升”和“下降”这种变化趋势.

【黏性原则】（1）具体：气温随时间变化的情境是具体的，在他们理解过程中不会造成困难，并且比较容易观察发现出气温上升和下降趋势以及最高、最低气温，能快速切入到本节课的核心内容.（2）情感：从学生的生活出发，在新疆生活的人对于气温是敏感的，所以能让学生产生共鸣，引起他们的关心，不会一开始就因为晦涩难懂而排斥教学.（3）意外：对于情境中15-20时的气温变化到底是不变还是下降，此处设计悬念，能让学生有些意外，继而引起学生兴趣，也为后面“为什么用符号语言刻画函数单调性”埋下伏笔.而将数学与生活关联起来，能培养学生“三会”的核心素养，对学生形成持久的影响.

追问1  在我们初中阶段还学过哪些函数图象？你能绘制它们的图象并描述其变化趋势吗？

一次函数，二次函数，反比例函数.第1张图从左往右呈上升趋势；第2张图在（−∞，0]呈下降趋势，在[0，+∞）呈上升趋势；第3张图在（−∞，0）和（0，+∞）都是呈下降趋势.

追问2  如何从函数值和自变量的变化来描述上升、下降趋势的呢？

“上升”意味着函数值随着自变量的增大而增大；“下降”意味着函数值随着自变量的增大而减小.

【黏性原则】简单.通过生活情境迁移到学生初中所学的函数图象中来，以学生所熟悉的函数图象以及性质为认知起点，引出函数单调性的描述性定义，符合学生的认知规律，并在图形语言和自然语言的基础上对函数单调性符号语言进行建构.

2.2  建构定义

我们将“函数值随着自变量的增大而增大或减小”的性质称为函数的单调性，下面进一步用符号语言刻画这种性质.

2.2.1  建构前准备

问题  为什么要用符号语言刻画这种性质呢？

可以引导学生回顾刚刚气温曲线图中所遇到的问题，通过图象我们并不能准确描述出函数性质，因此通过图象观察是存在局限性的，而用符号语言刻画函数单调性是必要之举.

追问  你能说出函数的单调性吗？

学生会发现有时连函数图象都难绘出，更谈不上描述函数的单调性.

【黏性原则】（1）情感：建构定义时应该开始引导学生怎么用符号语言刻画函数的单调性，但在此之前，要站在学生的角度去思考，在初中他们已经习惯用函数图象来研究性质，不免会产生疑问：“为什么还要用符号语言刻画这种性质？”因此强调用符号语言表征的必要性，符合学生情感的需要.（2）意外：追问中的函数也是后面例题中会展现的，提前亮出会让学生感到“意外”，从而制造“知识缺口”，当人们觉得自己的知识出现缺口时，好奇心就会产生.

2.3  聚焦建构

问题1  以二次函数为例，如何用符号语言描述“在[0，+∞），函数值f（x）随着自变量x的增大而增大呢”？

问题1.1  如何用符号语言表示“x增大和f（x）增大呢”？

教师引导学生增大是一种变化状态，假设我们在函数图象中取一个点，显然不能说明x增大，那我们再取一个点，从到就能说明x在增大，那我们用什么符号表示和关系呢？学生不难想到用＜和＜表示x增大和f（x）增大.

问题1.2  如何将“随”符号化？

引导学生如何将＜和＜串起来，学生会想到很多连词，但只要合理就是正确的，為了统一书写规范，我们用“当...时，有....”.

追问1  那和取值有什么要求？

学生能想到[0，+∞）.

问题2  “若[0，+∞），当＜时，＜.”这句话能准确地描述y=f（x）在区间[0，+∞）时，f（x）随x增大而增大吗？

学生通过画图发现“若[0，+∞），当＜时，＜ ”时，图象可以先上升再下降，也可以先下降后上升，中间会有很多的变化趋势，而取三个点，无数个点也依然如此.

追问  那怎样能保证在区间[0，+∞）时，f（x）一直随x增大而增大？

学生发现只有当区间内所有的点都满足当＜时，＜ ，就能说明在区间[0，+∞）时，f（x）一直随x增大而增大.而“所有”又可以用全称量词“任意”二字说明，即[0，+∞），当＜时，都有＜ ，就能准确说明在区间[0，+∞）时，f（x）一直随x增大而增大，也称函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增.

问题3 如何用符号语言描述在（−∞，0]，f（x）随x的增大而减小？

（−∞，0]，当＜时，都有＞ ，我们就称函数f（x）在区间（−∞，0]上单调递减.

【黏性原则】（1）可信：通过问题串的方式逐步建构出函数单调性的符号语言，让学生充分参与到概念的建构过程中，切身体验数学概念如何从直观到抽象、从文字到符号、逐步严谨的过程，让单调性形式化的定义不再是一座“空中楼阁”.（2）情感：学生在建构过程中，更能加深他们对于函数单调性概念的记忆.如果教师没有通过问题进行引导，而是直接给出形式化的定义，学生只能死记硬背且不能灵活的应用.而这时教师通常也会疑惑，这个定义明明很简单，课上也讲得很清楚明白，为什么学生还是没有理解，而这就是“知识的诅咒”.因为教师没有从学生的认知出发，没有从学生的角度去看问题.

2.4  形成概念

问题1  用符号语言描述函数y=kx+b（k≠0）和y=-x2各有怎样的单调性？完成下列表1.

函数 定义域I 单调递增 单调递减

y=x2 R [0，+∞），当＜时，都有＜ ，函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增 -∞，，当＜时，都有 ，函数f（x）在区间-∞，上单调递减

y=-x2

y=kx+b（k≠0）

问题2  你能根据表2中的内容，用符号语言归纳出定义域为I的函数y=f（x），在区间D上单调递增和单调递减的定义吗？

函数 定义域I 单调递增 单调递减

y=x2 R [0，+∞），当＜时，都有＜ ，函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增 -∞，，当＜时，都有 ，函数f（x）在区间-∞，上单调递减

y=-x2 R -∞，，当＜时，都有＜ ，函数f（x）在区间-∞，上单调递增 ，当＜时，都有 ，函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减

y=kx+b（k≠0） R R，当＜时，都有＜ ，函数f（x）在区间R上单调递增 ，当＜时，都有 ，函数f（x）在区间R上单调递减

设函数f（x）的定义域为I，如果∈D，当＜时，都有＜ （＞，那么就称函数f（x）在区间D上是单调递增（单调递减）.

追问  区间D和定义域I的关系是什么？

D，即D=I，也可以是定义域I的一部分，当D=I时，即函数f（x）在它的定义域上单调递增（或单调递减）时，我们就称它是增函数（或减函数）.

【黏性原则】（1）具体：函数单调性的一般定义是极具抽象性的，通过学生自己归纳是有难度的，这时教师应该给学生搭“脚手架”，通过一些具体的函数进行对比分析，找出其共同点和区别，从而总结出一般函数单调性的定义，体验从特殊到一般的过程.（2）情感：通过学生自己总结出的定义肯定是不完善的，通过表格形式，能提示学生不能忘掉定义域，还能清晰知道区间D与定义域I的关系，从而引出增函数和减函数的概念，逐步引导学生将其完善.

2.5  巩固运用，加深理解

例1  判断函数的单调性.

问题1  你能说出函数的单调区间吗？

学生通过画图很容易知道函数在（−∞，0）和（0，+∞）单调递减.

问题2  函数在上（−∞，0][0，+∞）是减函数吗？

引导学生从图象（形）和取值（数）两方面进行辨析，如一1＜ 1，f（-1）＜f（1） ，由此说明该函数不满足减函数的定义.

问题3  证明函数在（−∞，0）和（0，+∞）单调递减.

给学生示范运用单调性定义规范表达、证明单调性的完整过程，并概括出证明的一般步骤：取值一作差一变形一判号一定论.

【黏性原则】（1）具体：完成概念的意义建构和形式化定义后，要让学生进一步理解其本质，通过反比例函数能学生明白單调区间为何不能用“∪”连接，进一步理解单调性是一个局部性质.（2）可信：在学生通过函数图象进行判断以后，紧接着使用定义证明，能让学生从数与形两方面理解函数的单调性.对于单调性的证明是学生在函数学习时运用数学概念进行形式化推理的重要论证内容，对学生推理论证要求比较高.通过例题示范，让学生掌握证明函数单调性的基本程序，形成基本的表达规范，提升逻辑推理和数学运算的素养.

例2  判断函数在（0，+∞）的单调性.

学生无从下手，教师可以引导学生从“数与形”两方面进行函数图象的猜想.

首先，让学生分别画出和的图象，可以观察到两图象相交于（1，1）点.在（0，区间，位于的上方，即的函数值始终大于，所以在（0，区间，的函数图象变化趋势主要受的控制.在，+∞）区间，恰好相反，的函数图象变化趋势主要受的控制.所以在（0，区间，函数的变化趋势是下降的，在，+∞）区间，函数呈上升趋势.

其次，对于“”这个式子，学生并不陌生，在学习基本不等式时曾求过其最值，学生容易知道在x＞0时，的最小值是2.虽然学生还未学习最值部分的知识，但是可以引导学生观察二次函数的图象，当开口向上时，图象存在最小值，而存在最小值时，图象变化趋势就是先下降后上升.最后再对上述的猜想运用函数的单调性的定义展开证明.

【黏性原则】（1）意外：函数是上面所制造的“知识缺口”，而教师现在就是在填补之前的“知识缺口”；如果直接告诉学生函数在（0，区间单调递减，在，+∞）区间是单调递增，再要求他们去证明，这样会让这道题的价值大打折扣，首先降低了学生的好奇心，其次猜想函数的图象是学生应该去掌握的能力，或许现在对于他们有些困难，但同时也在制造新的“知识缺口”.（2）可信：进行猜想以后再进行证明，也是认识事物的一般路径，而且这道题在证明过程中对学生的数学运算，逻辑推理，直观想象有一定的要求，因此也能发展这方面的核心素养.

2.6  回顾小结

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容.

1.函数单调性定义的3种语言转换：

图形语言 在区间上“上升” 在区间上“下降”

自然语言 f（x）在区间上随x的增大而增大 f（x）在區间上随x的增大而减小

符号语言 设函数f（x）的定义域为I，区间D；如果∈D，当＜时，都有＜ ，那么就称函数f（x）在区间D上是单调递增 设函数f（x）的定义域为I，区间D；如果∈D，当＜时，都有＞ ，那么就称函数f（x）在区间D上是单调递减

2.归纳函数单调性的定义以及判断函数单调性时，我们运用数形结合、类比、从特殊到一般等思想方法.

3.用定义证明函数单调性的一般步骤：取值一作差一变形一判号一定论.

【黏性原则】情感.写一辈子教案，成不了名师，写三年反思，就会成为专家，同样反思总结对于学生也很重要.而现实中大多数老师是疏于反思总结的，那学生也不会重视反思总结.因此只有教师在每堂课都做好反思总结，才能让学生提高其反思总结的能力.

2.7  布置作业

必做：

1.根据课上所展示的新疆某天气温曲线图，描述气温和时间的关系.

2.练习中的第2题和第3题.

3.下列函数中，满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），都有的是（  ）

（A）.                                （B）.

（C）                       （D）.

选做：

1.查阅资料，简单描述玻意耳定律的发现过程，并用代数的方法严格证明物理学中的玻意耳定律，即对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强P增大.

2.已知函数在区间[-∞，6]上是减函数，求实数a的取值范围.

【黏性原则】情感.每个学生都是独立的个体，每个学生的发展也各不相同.因此要分层布置作业，让不同层次的学生都能得到发展.必做作业是针对全体学生，即每位学生都必须掌握.第1题意在学生能用图形语言，自然语言以及符号语言描述气温和时间的关系；练习中的第2题和第3题是强化学生能用定义证明函数的单调性；练习中的第3题意在让学生理解函数单调性定义的一种变形形式，题目难度也是由易到难.

选做作业是知识的延伸和拓展，对学生的要求较高.第1题是结合物理背景，用函数单调性给予证明，而且通过了解定律的发现过程，能培养学生的创新意识；第2题是将函数与方程结合起来，要融会贯通之前所学的知识，能培养学生函数与方程的思想.

3  黏性策略

3.1  精炼设计，明确目标

“简单”通常比“复杂”更具有黏性.行为心理学的研究认为：表达中含有的信息量越少，就越容易增加黏性，这是个“带宽问题”[1].所以我们需要精炼设计，但如何精炼，精炼到什么程度，则需要有方向进行指导.因此，我们首先需要明确教学目标.几乎所有的教学理论都会强调目标的重要性，但现实中还是不乏抄袭的案例.如果没有目标，就不能抓住教学的核心.而确定目标就在于提醒教师们所有的教学设计都是围绕目标展开，而和目标毫无关系的内容就可以舍弃.正如奥卡姆剃刀原理所说“如无必要，勿增实体”，比如情境导入教学中，如果一至两个情境已经能达到引入课题的目的，那即使第三个情境再好再妙也不建议使用，因为“导”是辅助，“入”才是根本.其次，善用现成知识.教师不能将学生当作用来填满知识的容器，以学生已有的认知作为新知识的生长点.比如用符号语言刻画函数的单调性，就是要通过学生在此之前用图形语言和自然语言来描述这种规律的经验来建立联系.最后，巧用生成性类比，好的类比具有“生成性”.一个著名的“生成性”案例就是迪士尼称自己的员工为“演员”，将乐园比作剧场，员工把自己的日常工作想象成舞台演出[1].比如在《二分法求方程的近似解》中，利用汤加海底火山爆发导致汤加与外界唯一联系的光缆被切断这一现实场景，让学生以小组合作的方式，承接在较短时间内找到长达数百公里的光缆的故障处这一救援任务.这会让学生充满热情、积极参与、主动思维并乐此不疲.

3.2  吸引学生注意，提升学习兴趣

希思兄弟认为，天生具有黏性的观点通常能激起两种情绪：惊讶和兴趣[1].而前者目的是吸引他人注意，但维持他们的注意力才是最终目的，也就是要提升学生的学习兴趣.在数学教学中可以运用以下方法：（1）利用信息技术，比如GeoGebra等软件；在函数图象或者几何的教学中，可以借助GeoGebra制作动画.不仅在视觉上给学生带来冲击，而且能使学生的学习更加直观，化抽象为具体，帮助学生理解，提高其学习的积极性；（2）融入数学史；数学史的价值不仅仅是以讲故事的形式来吸引学生的注意力，它能创设情境激发学生的学习动机，比如在空间直线与平面垂直教学中，引入克莱罗对线面垂直中的定义：“直线不向平面的任意一方向倾斜.”在上课起立时，让学生通过站得“直”和“不直”来感知定义；（3）问题驱动；一个好的问题能抓住学生的注意力，引发学生思考.比如讲到排列组合的知识时，可以提出问题：在我们班至少有两个人生日相同的概率约为多少？通常学生们都会认为概率是很低的，当教师告诉如果人数达到41人，概率就超过90%，这时就会引起学生的惊讶.但吸引学生的注意力往往是不够的，洛温施坦针认为，当我们觉得自己的知识出现缺口时，好奇心就会产生，这便是好奇心的“缺口理论”[2].缺口理论用在课堂教学上，就是让我们的思考方式从“我想传达什么信息”转换为“我希望学生提什么问题”.而上述的“生日悖论”也是打开了学生的“知识缺口”，让学生抱有好奇心耐心地听讲，提升学生的学习兴趣.

3.3  提高共情力，打破“知识的诅咒”

知识的诅咒[3]也叫“知识偏差”，是指因信息不对称而造成的一种认知偏差，最先由C. Camerer 等人提出.而这种现象在教学中是时常发生的，我们会经常听到教师抱怨：“为什么这么简单的知识，学生理解不了呢？”往往教师都将其归咎于学生太“笨”，但其实只是因为教师的知识水平明显高于学生，导致这种认知偏差，换句话说，教师没有站在学生的角度思考问题.因此要打破“知识的诅咒”，教师可以从以下三个方面提高其共情力：第一，教师要进行学情分析.充分地了解学生已有的知识储备和已具备的能力，分析学生在学习新知识的过程中会遇到什么困难，从而制定教学策略去突破重难点.而不同学生的学习起点是不一样的，所以教师还要根据学生的差异性进行教学分层设计，比如学习目标和作业设置要有层次性.第二，教师要让知识与学生的现实世界连接起来，创建真实的情境.学生从真实情景中发现和提出问题，并应用数学知识分析和解决现实中的问题，这样学生才能体会到数学是具有生活价值的学习.而凡是与自身利益相关的，才能唤起学生学习的热情，从而促发学生的学习行为.第三，教师要重视建构并让学生参与进来.传统教学大多都是按照教师自己所想去设计，学生一旦跟不上教师的思路，知识的生成也会断开.而进行知识的建构，是让学生真正成为主体，站在学生的角度去设计课堂，在學生有困难的地方搭好“脚手架”.苏霍姆林斯基也说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者、研究者和探索者.”所以学生是乐于参与知识建构中来，亲身经历的过程也会让学生印象深刻.

4  结语

总之，具有黏性的数学教学能有效展现数学本身的魅力，进而受到学生真正的喜爱，促使学生对学习内容产生真正的关注，激发学生的学习兴趣，帮助学生掌握进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法，从而落实核心素养.

参考文献：

[1] 奇普·希思，丹·希思，姜奕晖译.让创意具有黏性[M].中信出版社， 2014.

[2] GEORGE L. The Psychology of Curiosity： A Review and Reinterpretation [J]. Psychological Bulletin， 1994（116）： 75-98.

[3] CAMERER C， LOEWENSTEIN G， WEBER M. The Curse of Knowledge in Economic Settings： An Experimental Analysis [J]. Journal of Political Economy， 1989， 97（5）： 1232-54.