彭 伟 （中铁上海设计院集团有限公司，上海 200070）

0 引言

根据结构力学[1-5]中的基本知识，绘制结构的影响线可应用静力法和机动法。超静定结构的影响线可用机动法[6]快速确定影响线轮廓，其基本步骤：首先去掉所求量值对应的约束，并沿其正方向代之以未知力Z，形成基本结构；然后，使此基本结构沿未知力Z 的方向发生单位广义虚位移，绘制出量值的影响线轮廓。当需要确定所求量值影响线的纵标时，将基本结构虚位移视为由未知力Z 引起的，根据位移条件应用力法确定未知力Z的大小，再根据未知力Z的大小得到在此位移状态下基本结构的弯矩表达式。由弯矩-变形关系，将弯矩表达式进行两次积分求得变形表达式，再结合位移边界条件，得到位移曲线的表达式，从而得到影响线的纵标。

机动法在求解量值影响线的纵标时，计算较复杂。本文从求解多余约束支座反力入手，将多余约束支座反力视为外荷载，并作用于结构上。这样原超静定结构量值的求解问题就等价于在外荷载和支座反力作用下静定结构量值的求解。

1 基本原理与步骤

本文基于虚功原理，求解多跨连续梁量值的影响线表达式。首先利用杨迪雄[7]的超静定结构支座反力计算的单位支座位移法来求解随外荷载移动多余约束支座反力，然后将超静定结构转化为在支座反力和外荷载共同作用下的静定结构，用虚功原理求静定结构的影响线的表达式，以简单明确的步骤求出超静定结构影响线的纵标。

求解过程共分两步：①把多余约束支座反力视为外荷载，以多跨连续梁在外荷载和多余约束支座反力共同作用下的状态视为力状态。依次在多余约束位置发生广义单位虚位移，其他多余约束发生符合约束条件的位移，以此为位移状态。根据力状态和不同的位移状态依次列出虚功方程，求解多余约束支座反力的表达式。②将多余约束支座反力视为外荷载作用于结构上，这样原超静定结构量值的求解问题就转化为在外荷载和支座反力作用下静定结构量值的求解问题，此时可应用机动法列出该量值影响线的方程（即量值与多余约束支座反力的表达式）。

2 以两跨连续梁为例进行公式推导

2.1 求解超静定结构的多余约束支座反力

以两跨超静定连续梁（如图1）为例，求解AB跨中D截面的弯矩影响线的表达式。此线弹性结构的力状态所作用的力有单位荷载和支座B的支座反力FRB（方向向上）；位移状态（如图2）为结构在支座B处发生单位虚位移δB'=1（方向同FRB）。根据孙训方的《材料力学Ⅰ》[8]附录Ⅳ以及由力法确定的支座B单位位移所需要的力，能够确定挠曲线方程，从而得到外荷载的横坐标为x时对应的虚位移δP'的表达式：

图1 两跨超静定连续梁图

图2 B支座单位虚位移图

该结构的体系为刚体体系，结构体系的总虚变形功为0。各个微段的应力合力在变形上的内虚功Wi恒等于外力在位移上下所做的外虚功We。利用功的互等定理，推导超静定结构支座反力FRB影响线的表达式：

2.2 求解量值影响线的表达式

求解弯矩MD的影响线时，首先去掉D截面处的约束，并以一对大小相等方向相反的力偶MD代替，将B支座处的支座反力FRB视为外荷载。此线弹性结构的力状态所作用的力有单位荷载、支座B的支座反力FRB以及D界面处力偶MD。沿MD正方向发生单位广义虚位移，此状态为结构的位移状态，如图3 所示。MD、FRB、位置处的位移用δZ、δB、δP表示。各外力所做虚功的总和为0，根据虚功原理可得：

图3 MD的单位虚位移图

由虚设的位移状态可知，在D位置发生单位转角δZ，AA1=δZl∕2，根据相似三角形原理，D点的竖向位移为3∕8l（此时应注意结构长度为2l），同时得到虚设位移图的方程：

在B 支座发生的虚位移δB=l/4。将式（3）与式（4）代入到式（5）中可得，

3 求解多跨连续梁量值的影响线

杨迪雄[7]根据已知的挠曲线方程求解超静定结构的单个支座反力的表达式,当需要求解多个多余约束反力的表达式时，应用单位支座位移法逐个求解，过程较为复杂。本文将多余约束支座反力视为外荷载，以多跨连续梁在外荷载和多余约束支座反力共同作用下的状态为力状态。然后，在多余约束位置上依次发生广义单位虚位移，其他多余约束发生符合约束条件的位移，以此为位移状态。根据力状态和不同的位移状态依次列出虚功方程，可求多余约束支座反力的表达式。

以三跨超静定连续梁（如图4）为例，对多余约束支座反力FRB和FRC进行求解。此线弹性结构的力状态所作用的力有单位荷载和支座反力FRB、FRC。位移状态Ⅰ（如图5 所示）为结构在支座B处发生单位虚位移δBB（下标左字母表示位置，右字母表示位移引起的原因，以下位移表示同理），支座C发生符合约束条件的位移。同理，位移状态Ⅱ（如图6所示）为结构在支座C处发生单位虚位移δC，支座B发生符合约束条件的位移。以a表示多余约束支座到原点A的距离（用下标区别不同支座），则由支座单位虚位移引起的x位置处的挠度yR可表示为：

图4 三跨超静定连续梁

图5 B支座单位虚位移图

图6 C支座单位虚位移图

将B支座的坐标aB代入到式（7）中，即可得到在位移状态Ⅰ（如图5 所示）中单位外荷载FP在移动过程的位移δPB以及此状态下C支座的位移δCB。同理，将C支座的坐标aC代入到式（7）中，可得位移状态Ⅱ中的δPC和δBC。根据力状态和位移状态Ⅰ与力状态和位移状态Ⅱ（如图6所示）分别列出虚功方程：

联立式（7）、式（8）、式（9），可得到多余约束支座反力FRB和FRC的表达式。将多余约束支座反力FRB和FRC视为外荷载作用于结构上，这样三跨连续梁量值的求解问题就转化为在外荷载和多余约束支座反力FRB和FRC作用下简支梁量值的求解问题，此时可应用机动法列出该量值影响线的方程，具体过程可类比2.2 节中求解量值影响线表达式的方法。

4 多跨高架车站轨道梁的不利位置确定

4.1 高架车站结构形式

高架车站的类型分为桥建分离和桥建合一，按照《地铁设计规范》（GB 50157-2013）规定，桥建分离车站的设计计算按照建规计算即可；桥建合一结构的计算需要结合建规和铁轨两种规范进行包络设计，在桥建合一的结构形式中，轨道梁和横梁框架是刚接的，而且是多跨连续的。轨道梁的截面是保持一致的，刚度参数可以保持一致。

4.2 高架车站轨道梁上部移动荷载类型

高架车站轨道梁上部移动荷载在铁轨规定中称为列车荷载，不同的轨道交通方式对应不同的铁路荷载图示。一般地铁设计采用的是《地铁设计规范》（GB 50157-2013）的列车荷载图示，根据不同的车型来确定相应的荷载图示；市域铁路按照最新的市域铁路列车荷载图示，市域铁路荷载图示是由王丽等研究人员根据我国的市域铁路运输特征和地铁规范的主要运营列车和参数，做相应的比较，得出采用ZS荷载图示。

4.3 轨道梁在列车移动荷载组作用下的情况

我国的列车主要参数一般如图7 所示。列车的长度分为三部分，即两倍的轴距、邻轴距、车辆定距。现在按照最不利的荷载图示（即ZS 荷载图示），轴重采用190kN，邻轴距4.5m、轴距2.5m、车辆定距7.0m。按照第三节部分虚功原理求得影响线如图8 所示，为五跨连续轨道梁，图示为中间跨跨中位置的弯矩影响线。如图9 所示为五跨连续轨道梁，跨中位置的剪力影响线。

图7 列车轴距示意图

图8 跨中弯矩影响线

图9 跨中剪力影响线

图10 跨列车载荷模型

五跨连续轨道梁，每一跨的跨度均为12m，总跨度为60m。现将列车荷载的最右端作用在第三个支座处，列车从左到右移动视为工况一；再将列车荷载的最左端作用在第四个支座，列车从右向左行驶视为工况二。朱慈勉[4]在荷载组移动时，采用临界荷载法，分别让荷载从左到右行驶和从右到左行驶，将影响线与每个支座的切线夹角设为 ，根据公式S=∑jFRjyj分别求得荷载在往右移动和往左移动时的内力值，如果两次的计算结果是异号，则可以说明荷载为临界荷载，根据公式即可求得跨中位置的最大剪力和最大弯矩，同样也可以求出其余计算目标位置的剪力和弯矩。如果列车的载荷形式不一样，还可以根据荷载的类型不同，同样按照这种极限方法求得最不利的位置以及最不利位置的弯矩和剪力。

5 结语

5.1 单位位移法求量值影响线

本文基于单位位移法进行理论推导，基本思路是现根据原有的挠曲线方程，列出不用工况下的挠曲线方程，并且定义相应的边界条件；再根据曲线方程求得相应做鱼支座处的虚位移，再根据虚功原理求得支座反力；最后根据反力再求量值影响线。本文的推导不同于其他论文的地方是利用虚功原理求得最终的影响线量值，相对于机动法更加准确。

5.2 高架车站轨道的影响线量值分析

本文根据单位支座位移法原理，利用已知的挠曲线方程求解了超静定结构在移动外荷载作用下的多余约束反力，再推导了量值影响线纵标的表达式。在这个基础上再根据列车荷载图示的情况，按照结构力学的临界法求得最不利位置以及不利位置的最大剪力和最大弯矩，对之后的结构施工图绘制有一定的参考意义。