高考数学命题系统的构建与运用

2023-12-28何小亚张艳虹罗静陈友芳

中学数学研究(广东) 2023年23期

何小亚张艳虹罗静陈友芳

1.华南师范大学数学科学学院(510631) 2.韶关学院数学与统计学院(512005)3.华南师范大学科学技术与社会研究院(510006)

一、引言

中国教育部于2016 年9 月13 日正式发布了《中国学生发展核心素养》总体框架[1].这一框架明确了各个学科教育的最终目标是学生发展的核心素养,即: 学生在接受相应学段的教育过程中,逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力.

中国教育部考试中心于2020 年1 月6 日正式发布《中国高考评价体系》和《中国高考评价体系说明》.这一评价体系最大的创新表现在: 一是充分发挥高考“指挥棒”的作用,引领基础教育践行“立德树人”的素质教育; 二是由传统的“知识立意”“能力立意”向“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的综合评价理念的转变;三是由基于“考查内容”的一维评价模式向“考查内容、考查要求、考查载体”三位一体评价模式的转变[2].那么,如何具体落实上述三个创新是各个学科必须解决的问题.华南师范大学的陈友芳教授就政治学科的测评做出了开拓性的探索[3-7].教育部考试中心的任子朝研究员及其团队则就数学学科的高考测评做了基础性和开创性的研究[8-13].

于涵等人(2018)提出:“新一轮高考改革提出了必备知识、关键能力、学科素养、核心价值四层考核目标,使高考的考试目标更加丰富、更加科学.高考数学科在考查过程中要体现基础性、综合性、应用性和创新性.”[14]

在“一核四层四翼”评价模型中,“学科素养”的考查,要求学生能够在不同情境下综合利用所学知识和技能处理复杂任务,具有扎实的学科观念和宽阔的学科视野,并体现出自身的实践能力、创新精神等内化的综合学科素养.

笔者认为,学科素养是指满足学生自身发展和社会发展所必备的学科方面的品格和能力,是学科的知识、能力和情感态度价值观的综合体.

任子朝、陈昂、赵轩(2018)指出:“数学科高考要研究和确定核心素养的考核目标.对数学核心素养的测量要以知识为基础,以数学思想方法为引领,以情境为载体,注重综合性和层次性.”[12]

笔者认为,通过高考评价来选拔学生,满足高校的需要和国家的需要,这件事必须上通核心素养,实现“立德树人”的核心价值要求;下达一线教学,解决教育教学中存在的问题,实现引领教学的目的.要实现这一“立德树人、服务选才、导向教学”的目标,需要构建具备科学性、操作性、有效性以及能测量的学科高考命题系统.

2022 年11 月12 日,笔者对某市某区13 份数学高考命题多维细目表做了评价,发现存在着以下共同的硬伤: (1)用六条高中数学核心素养“数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模、数据分析”作为测量的关键能力,不具备科学性和操作性; (2)数学的学科素养的内涵、外延不清楚,操作时出现与关键能力重叠交叉;(3)必备知识的能力层次不符合划分的标准;(4)未能区分高考中能考察的核心素养与学科教育中的核心素养;(5)未能对“基础性、综合性、应用性、创新性”“理性思维、数学应用、数学探索、数学文化”做出科学性和操作性的细分;(6)缺乏分析数学试题结构的专业标准.

为解决上述问题,笔者运用质性研究方法,就数学学科的高考命题研究以下五个问题: (1)高考数学素养的内涵、外延是什么? (2)数学必备知识系统由哪些知识模块和知识组块构成? (3)高考数学核心素养的理论框架是什么? (4)有效地分析数学试题结构的评价模型是什么,运用效果如何? (5)数学试题命制的创新策略有哪些?

二、研究结果

(一)高考数学素养的内涵与外延

数学核心素养是学生发展核心素养在数学学习领域的具体化,是学生学习数学之后所形成的、具有数学特点的关键成就,是数学育人价值的集中体现,它是重要的、关键的数学素养.

何小亚(2015) 梳理全球各个国家的数学素养后提出:“数学素养是指满足学生自身发展和社会发展所必备的数学方面的品格和能力,是数学的知识、能力和情感态度价值观的综合体.其构成要素包括数学运算、数学推理、数学意识、数学思想方法和数学情感态度价值观.”[15]

数学素养是个体在面对纯数学问题情境或实际问题情境时,能够综合运用数学的知识能力、思维方法和探究技能去发现提出问题与分析解决问题的综合品质, 是知识和能力、观念与方法、情感态度价值观的综合.综合文献[8,15-16]的研究结论,笔者认为,高考数学素养是考生面对数学活动情境时,能够运用数学的知识、能力和思想方法,正确合理地理解问题、分析问题和解决问题的综合品格.它是学生在数学活动中积累和构建起来的,是知识、能力、思想方法、情感态度价值观的综合.高考数学素养主要包括数学必备知识和数学核心素养.

(二)数学必备知识系统的构建

根据《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订)》[17],确定数学必备知识系统由18 个知识模块和68 个知识组块构成;每个知识组块由若干概念、原理、事实等知识点构成;一个知识点就是一个概念或者一个原理或者一个事实.

数学必备知识的认知要求分为心理意义和操作运用两类.[18]数学必备知识的心理意义有两个层次,了解: 能回忆出知识的言语信息;能辨认出知识的常见例证;会举例说明知识的相关属性.理解: 能把握知识的本质属性;能与相关知识建立联系;能区别知识的例证与反例.数学必备知识的操作运用有两个层次,掌握: 在理解的基础上,能直接把知识运用于新的情境.综合运用: 能综合运用知识解决问题.

以必备知识中的知识组块或者是其中的概念、原理知识点为列的内容,以了解、理解、掌握、综合运用为行的内容,就可以得到数学必备知识考察要求双向细目表.利用此双向细目表,可以为试卷的命制提供考查知识点和层次要求的依据,达到明确测验目标,合理分配内容及其份量,提高命制试卷的效率和质量.多年的高考命题经验表明,如上修订过后的双向细目表仍然解决不了数学核心素养考查目标和试题的难度判断问题,需要构建更科学、更具体、更具操作性的高考数学核心素养系统以及数学试题结构评价模型.

(三)高考数学核心素养系统的构建

综合文献[8,15-16]的研究结论,结合可操作性和能考查测量的要求,确定高考数学核心素养包括关键能力和数学思想.关键能力主要包括: 数学运算、数学推理、空间观念、数据分析、数学应用、数学创新(见表2).数学思想主要包括: 化归、数形结合、分类讨论、函数与方程、特殊与一般、随机与推断(见表3).综上得到高考数学核心素养框架(见表4).

表1 数学必备知识的模块与组块

表3 数学思想

表4 高考数学核心素养框架

(四)数学试题结构评价系统的构建与运用

评价数学试题、试卷的难度是考试测评的重要内容.关于试题的难度,有两个判断标准.一是相对难度,即从考生的角度,计算考生的平均分得分率.一般来说,小于0.4 是难题,大于0.7 是容易题,在0.4 和0.7 之间属于中等题;二是绝对难度,即从试题本身、从数学解题思维的角度考虑.目前绝对难度的完全量化还做不到,但何小亚(2008)提出了一个评价数学试题难度的三维标准: 一看知识点的多少,二看从已知到答案需要的步骤多少,三看步骤间跨度的大小[19]P21.前面两个指标是可以量化的,但第三个指标只能定性分析,像辅助线的连接、函数的构造、无法具体化只能凭想象进行思维操作的对象、思路的选择多但只有一条奏效、甚至是无功而返,都是跨度大的表现.[20]根据评价数学试题难度的三维标准得出,数学试题评价模型由题型、赋分、知识点数、问题理解、解题步数、步间跨度和难易程度构成(见表5).

表5 数学试题结构评价模型

几点说明

1.知识点数: 一个概念或者一个原理(定理、性质、推论、公式、法则)或者一个事实就叫做一个知识点.需要给出知识点的总数,并罗列出具体的知识点.

2.问题理解: 即是问题空间(problem space)的建构.是解题者阅读问题,明确题设和目标的过程.问题理解受制于问题情境的复杂程度.情境简单、题干简短、概念清晰、题设和目标明确为“易”;情境复杂、题干冗长、概念模糊、题设和目标及其关系不明确为“难”;介于“难”“易”之间的为“中”.有时候需要画图或者画示意图或者只能凭借想象来帮助理解问题,这时候的问题理解不容易.

3.解题步数: 由题设到结论的解题步骤总数,即推理步骤总数,也就是产生式总数.一步推理就是一个产生式[21].

4.步间跨度: 在推理过程中由一个产生式转向下一个产生式的流畅程度,可分为三级: 流畅为“小”,不太流畅为“中”,不流畅为“大”.步间跨度大就是产生式之间的联系困难,也就是难以想到.比如, ①理想化眼光(把实体简化假设为几何模式和代数模式); ②共性化眼光(对共同属性的敏感、直觉与发现).例如,构造函数模型比大小、利用单调性确认值域、最值; ③数学思想, 比如, 化归、数形结合、分类讨论、特殊与一般,等等; ④构造基本图形(比如,基本图形的识别、想象、连辅助线而构造基本图形); ⑤选择性障碍: 从多个目标中选择正确目标,这是一种符合乘法原理,几何级数般放大难度的障碍.

5.难易程度: 由知识点数、问题理解、解题步数和步间跨度综合考虑确定.运用上述数学试题评价模型,笔者对2022年数学高考全国I 卷的8 道选择题进行分析.

A.{x|0 ≤x<2} B.

C.{x|3 ≤x<16} D.

解,所以,.

知识点数: 5——二次根式、不等式的性质、乘法、除法、求交集;理解问题: 易;解题步数: 4 个产生式;步间跨度: 小;难易程度: 易.

(2)若i(1-z)=1,则z+=( )

解由于,所以故z+=1+i+(1-i)=2.

知识点数: 6——复数加法、乘法、除法、i2=-1、共轭复数、移项;理解问题: 易;解题步数: 9 个产生式(1 除,2 移,3交换,4 乘i,5 算i2,6 负负得正,7 代入,8 去括号,9 合并);基本功扎实,具备“追求简单化”灵魂的解题者只需5 步心算,秒杀! 步间跨度: 小;难易程度: 小.

(3) 在∆ABC中, 点D在边AB上,BD= 2DA, 记,则

A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

解.

知识点数: 4——向量的加法、减法、乘法、三角形法则;理解问题: 中,需要画图理解;解题步数: 产生式6 个;步间跨度: 中(第1 步和第2 步都是二选一);难易程度: 中.

(4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时, 相应水面的面积为140.0 km2; 水位为海拔157.7m 时,相应水面的面积为180.0 km2, 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.7m 时,增加的水量约为( )

A.1.0×109m3B.1.2×109m3

C.1.4×109m3D.1.6×109m3

解

知识点数: 11——海拔高度、水面面积、棱台、增加水量、棱台体积公式、加、减、乘、除、乘方、开方; 理解问题: 难(背景复杂,需要画图理解);解题步数: 产生式11 个;步间跨度:大——第1 步问题理解困难,第2 步公式记忆不容易; 难易程度: 难.

(5)从2 至8 的7 个整数中随机选取2 个不同的数,则这两个数互质的概率为( )

解基本事件总数为,两个数互质的基本事件为(2,3),(2,5),(2,7),(3,4),(3,5),(3,7),(3,8),(4,5),(4,7),(5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(7,8)共14 个,所以两个数互质的概率为.

知识点数: 8——整数、随机、互质、概率、组合数公式、加、乘、除法;理解问题: 中(随机、互质、概率);解题步数: 产生式18 个;步间跨度: 中——互质数对的计数并不简单;难易程度: 中.

解由题设知b= 2,由,及,k∈Z,求得.所以,

知识点数: 11——弦振动函数、纵向平移、最小正周期、不等式、中心对称、周期公式、零点是中心对称点、加、减、乘、除;理解问题: 难(画示意图理解问题)解题步数: 产生式17个(1+11+5);步间跨度: 大——零点是中心对称、求b;难易程度: 难.

(7)设a=0.1e0.1,,c=-ln 0.9,则( )

A.a

解令a=xex,,c=-ln(1-x).

①lna- lnb=x+ lnx- (lnx- ln(1 -x));y=x+ln(1-x),x∈(0,0.1],,所以y<0,所以lna-lnb<0,故b>a;

②a-c=xex+ln(1-x),x∈(0,0.1],

令k(x) = (1 +x)(1 -x)ex- 1, 所以k′(x) =(1-x2-2x)ex> 0, 所以k(x) >k(0) > 0,y′> 0.所以a-c>0,故a>c.

知识点数: 14——指数函数、对数函数、对数运算、不等式、4 个求导公式、用导数判断单调性、加、减、乘、除、分式通分;理解问题: 易;解题步数: 产生式43 个(13+13+17);步间跨度: 大——构造前三个函数、构造函数k(x);难易程度: 难.

(8)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上,若该球的体积为36π且,则该正四棱锥体积的取值范围是( )

解根据题意易求球的半径为R= 3.设正四棱锥的高为h,底面边长为a(如图所示),于是根据勾股定理可构建如下方程组:

图1

知识点数: 18——正四棱锥概念、棱锥体积公式、球概念、球体积公式、勾股定理、二元二次方程组求解、换元法、两个求导公式、用导数判断单调性、最大值、最小值、加、减、乘、除、乘方、开方;理解问题: 难(球心的位置有三种可能,画图困难);解题步数: 产生式62 个(求半径6+求体积式16+取值范围40=2+3+7+4+8+7+8+1);步间跨度: 大——画图困难、选择性障碍、换元构造函数;难易程度: 难.

这8 道选择题考查的数学核心素养情况见表6

表6 数学核心素养考查表

(五)数学试题命制的创新策略

结合多年的数学高考命题或命题组长工作经验,要想命制出从未问世的中上难度以上的数学创新试题,首先,命题者必须具备数学创新思维“十字诀”: 假(假设)、列(列举)、比(比较)、替(替代)、除(突破常规想法),可(可能性推测)、想(想象)、组(组合)、六(六W 问题)、类(类比推广)[22];其次,命题者要掌握以下五种基本的数学试题创新策略.

(1)简单变复杂

①增加知识点; 增加解题步骤; 设置跨度大的解题步骤; ②弱化、减少条件;类比;变换;构建一个同构问题;一般化;系统转换.

例1(Ⅰ) 写出并证明勾股定理;(Ⅱ) 请将勾股定理推广到三维空间,并判断所推广的命题的真假.若真,请给予证明;若假,请举出反例.

例2(Ⅰ)试证明定理P:平行四边形两条对角线的平方之和等于其四条边的平方之和;(Ⅱ)请将定理P 推广到三维空间,并判断所推广的命题的真假.若真,请给予证明;若假,请举出反例.

例3由图2 有面积关系,则由图3 有体积关系

图2

图3

例4在平面几何里,有勾股定理“:设三角形ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2”,拓展到空间类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可得出正确的结论是“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC,ACD,ADB两两垂直,则____.

例5等差数列{an} 具有如下性质:an-an-1=d;; 等比数列{an}具有如下性质: ,.类比出等比数列{an}前n项之积为____.

(2)复杂变简单

以难题、大学问题、竞赛题为基础,使用以下使复杂变简单的策略进行试题创新: 增加条件;降维;变换;特殊化(具体化、赋值、特例).

例6数学分析中Lipschitz 函数的初等化.

A是定义在[2.4]上且满足如下条件的函数φ(x)组成的集合:

①对任意的x∈[1,2] , 都有φ(2x) ∈(1,2); ②存在常数L(0

(II) 设φ(x) ∈A, 如果存在x0∈(1,2), 使得x0=φ(2x0),那么这样的x0是唯一的;

(III) 设φ(x) ∈A, 任取x1∈ (1,2), 令xn-1=φ(2xn),n= 1,2,··· , 证明: 给定正整数k, 对任意的正整数p,成立不等式.

例7函数的Maclaurin 级数展开式.

(II)证明:an=n!e-[n!e],这里[x]表示实数x的整数部分;

(III)证明: e 是无理数.

(3)命题自身结构的重构

根据原命题构造逆命题、否命题、逆否命题、偏逆命题.正确就证明,错误就举出反例,开放性得到体现.

例8(Ⅰ)试证明定理P:平行四边形两条对角线的平方之和等于其四条边的平方之和.

(Ⅱ)请写出定理P 的逆命题,并判断其真假.若真,请给予证明;若假,请举出反例.

(4)命题之间的组合

把命题A和命题B并列组合、交叉组合(A∩B=C将C弱化或去除部分因素)构造创新试题;通过知识点组合或者知识之间的联系组合,或者图形组合来构造新试题.

例9(图形组合)如图4 所示,AF、DE分别是圆O、圆O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD= 8.BC是圆O的直径,AB=AC=6,OE//AD.

图4

(I)求二面角B-AD-F的大小;

(II)求直线BD与EF所成的角.

例10(函数与立体几何组合)如图5 所示,等腰△ABC的底边, 高CD= 3, 点E是线段BD上异于B、D的动点.点F在边BC上,且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AE.记BE=x,V(x)表示四棱雉P-ACFE的体积.

图5

(I)求V(x)的表达式;

(II)当x为何值时,V(x)取得最大值?

(III)当V(x)取得最大值时,求异面直线AC与PF所成角的余弦值.

例11(图形组合,动静组合)如图6 所示, 已知曲线C:y=x2与直线l:x-y+2 = 0 交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB),且xA

(I)若点Q是线段AB的中点,试求线段PQ的中点M的轨迹方程;

例12(集合与不等式组的组合) 若集合E={(p,q,r,s) | 0 ≤p

A.200 B.150 C.100 D.50

(5)试题形式创新

试题的形式要求表述新、背景新、设问新.联系实际(生活、生产、自然、跨学科);数学建模; 数学探究; 开放性问题;存在性问题;新的定义(定义新概念、定义新运算、定义新性质)

例13(背景创新,数学探究)

在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱雉”形的展品,其中第1 堆只有1 层,就一个球;第2,3,4,··· 堆,最底层(第一层)分别按图7 所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球总数,则f(3) =____;f(n)=____.(答案用n表示).

图7

例14(新概念、新运算)设S是至少含有两个元素的集合.在S上定义了一个二元运算“∗”(即对任意的a,b∈S,对于有序元素对(a,b), 在S中有唯一确定的元素a∗b与之对应).若对于a,b∈S, 有a∗(b∗a) =b, 则对任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是( )

A.(a∗b)∗a=aB.[a∗(b∗a)]∗(a∗b)=a

C.(b∗b)∗b=bD.(a∗b)∗[b∗(a∗b)]=b

例15(数学探究,分类讨论)已知双曲线的左、右顶点分别为A1,A2, 点P(x1,y1),Q(x1,-y1) 是双曲线上不同的两个动点.

(I)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程;

(II)若过点H(0,h)(h> 1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且l1⊥l2,求h的值.

例16(新定义, 数学探究)设A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系xOy上的两点,现定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A,B)为ρ(A,B) = |x2-x1|+|y2-y1|.对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)

(I)若点C(x,y)是平面xOy上的点,试证明:ρ(A,C)+ρ(C,B)≥ρ(A,B);

(II)在平面xOy上是否存在点C(x,y),同时满足

①ρ(A,C) +ρ(C,B) =ρ(A,B); ②ρ(A,C) =ρ(C,B).若存在, 请求出所有符合条件的点; 若不存在,请予以证明.

三、研究结论

(一)高考数学素养是考生面对数学活动情境时,能够运用数学的知识、能力和思想方法,正确合理地理解问题、分析问题和解决问题的综合品格.它主要包括数学必备知识和数学核心素养.

(二)数学必备知识系统由高中数学18 个知识模块和68个知识组块构成.

(三)高考数学核心素养的理论框架由两个一级指标关键能力和数学思想构成,关键能力主要包括: 数学运算、数学推理、空间观念、数据分析、数学应用、数学创新;数学思想主要包括: 化归、数形结合、分类讨论、函数与方程、特殊与一般、随机与推断.

(四)有效地分析数学试题结构的评价模型见表5.运用此模型, 对2022 年数学高考全国I 卷的8 道选择题进行分析,其结果与最终的试题相对难度完全一致.这一结果验证了文献[23]的研究结论.

(五)数学试题命制的创新策略有简单变复杂;复杂变简单;命题自身结构的重构;命题之间的组合;试题形式的创新.

四、问题讨论

(一)数学特点问题

数学自身独有的、有别于其余学科的特点是: 精确、严谨、简洁、概括和联系统一[24].这是命制高质量的数学试题和试卷的数学标准.考查不同知识模块之间的联系统一是创新题、难题的主要任务,由此体现综合性、应用性和创新性的命题要求.

(二)数学思想问题

数学的灵魂是“追求简单化! ”而化归则是这一灵魂实现的思想.公理化思想是数学所特有的思想,它是数学思维和数学理论系统发展的重要基础.笔者将其归入“数学创新”指标中来考查.而统计思想、随机思想则归入“随机与推断”指标.

(三)中国高中六条数学核心素养问题

数学抽象实际上属于数学化, 其操作性定义是从数学世界或真实世界中提出数学问题、数学概念、数学原理.笔者将其归入“数学创新”中考查.逻辑推理归入“数学推理”指标中考查, 并按照数学教育的国际标准, 划分为演绎推理(deductive reasoning)——必然性推理;合情推理(plausible reasoning)——或然性推理[16].直观想象归入“空间观念”和“数形结合”指标中考查.数学建模则归入“数学应用”中考查.由于数学考试时间的限制,现有的高考并不能真正考查完整的数学建模过程,尤其是数学建模中体现理想化的“小循环”和“大循环”过程.

(四)试卷结构、难度和题型问题

为了突出数学的“强国”地位,扩大选拔考生分数区间,解决分数扎堆、选拔性不好的问题,以及解决语文、英语和数学三科“文重理轻”的结构不平衡问题, 建议调整这三科的总分为: 语文150 分,英语100 分,数学200 分.数学考试时间调整为和语文一样(150 分钟)[23].考虑到文理合卷的现实,比较好的难度分数比例结构是易20%、中30%、中上30%、难20%; 五道填空题, 可以选择三道分别按照易、中; 中、中上;中上、难来设置两空: 六道解答题都设置三问,前三道题的三问按照“易、中、中上”的难度设置,后三道题的三问按照“中、中上、难”的难度设置.不能把很多选择题和填空题小题当着解答大题来出.确定好创新题和难题后,一定要运用双向细目表来保证那些重要知识点的覆盖率,避免再出现重复内容、重复方法的考查[23].

目前,多选题的计分原则是: 4 道题,每题5 分,共计20分.全部选对得5 分,部分选对无错得2 分,选错得0 分.由此看出,多项选择题本质上就是用考生的一个错误否定了考生的多个正确,根据笔者多年命题的经验以及广大一线教师反馈的意见,建议学习上海卷简化题型的趋势,取消多项选择题.

(五)数学高考试题的情境问题

《中国高考评价体系说明》中指出,高考评价体系中的情境分为“生活实践情境”和“学习探索情境”,并分成简单情境与复杂情境两个层次.考虑到数学学科的独特性,根据荷兰著名的数学家、数学教育家Hans.Freudenthal 的水平数学化与垂直数学化理论[25],笔者确定数学学科的情境分为真实世界的情境(社会生活情境、自然科学情境)和出纯数学世界的情境.简单的情境易于考生理解问题,复杂的情境是考生理解问题的障碍.