民族院校工科民族班“线性代数”教学建议

2023-12-27董连春

教育教学论坛 2023年47期

杨慧，董连春，冯杰

（中央民族大学理学院，北京 100081）

引言

“线性代数”是国内外高等教育院校理工科经管类专业学生的必修课程，具有较强的抽象性与逻辑性，是培养学生基本数学素养的重要课程。同时，它又是实用性特别强的课程，广泛应用于自然科学、社会科学与工程技术等各个领域。但国内高校使用的教材在内容上大多重理论、轻实践，同时不同专业使用的教材在内容上无太大差别，缺少和专业相结合的内容知识。这就导致学生认为这门课晦涩难懂，不知道其在所学专业领域的用处，大大削减了学生的学习兴趣和积极性。这种现象在民族院校民族班中尤为突出。民族院校民族班的学生主要来自青海、西藏等地区的藏族聚居区，学生的数学基础较差，有些学生的入学数学成绩在及格线以下，其数学思维能力、理解能力、计算能力相比东部地区学生有一定的差距。如果没有合适的教材，加之教师教学方式死板，教学内容重理论和证明，而轻实践应用，对于绝大多数学生来说，很难理解掌握这门课，这也就导致学生既没有学懂理论知识，又不懂实践应用。因此，我们急需对“线性代数”在教材、教学方式以及教学评价上进行改革，编写适合工科民族班的线性代数教材，同时改革教学方式方法，让学生通过本课程的学习真正能获取一定的线性代数知识和能力。本文通过比较中外线性代数教材，明确我国使用教材的优缺点，同时借鉴国外教材的优点，为编写适合民族院校民族班学生使用的教材提出建议以及在教学方式和教学评价上进行一些思考。

一、教材比较

美国著名数学教育家David C.Lay教授编写的《线性代数及其应用》［1］在美国被广泛使用。我们将其与国内高校使用的吴赣昌编著的《线性代数》（理工类·第五版）［2］做比较。

（一）主要理论知识

国内外教材相差无几，都包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、特征值与特征向量、二次型方面的理论内容［3］。

（二）难易程度

国内教材偏重理论证明，按照先给抽象概念，再给定理与性质，最后给出证明的过程编写。重点是数学的逻辑推理和严谨性，所以结构上较紧凑，没有重复的内容，连贯性好，但这也导致知识点较分散，前后联系少，无法突出重点，使学生分不清目标和工具，导致学生学习过程中感到抽象难懂。此外，例题及课后习题主要围绕概念和定理内容展开，很少有实际应用方面的例子，这就导致学生在学习过程中失去了学习兴趣和学习动力。

（三）内容设计

相较国内教材David C.Lay编写的教材引入了几何直观、计算机技术的应用以及数学建模的方法，显著的特点是理论联系实际，实践内容较多［4］。以介绍性实例引出每章主题，用具体简单的例子说明要考虑的问题以及得出的结论，淡化数学方面的理论和证明。各章之间有很多知识的交叉和重合，所有内容都是围绕本章的主题。例如第一章《线性方程组》，以经济学与工程中的线性模型引入本章主题，用二元一次方程组的解的情况说明事实结论，在证明结论时也是以具体实例说明问题，由此弱化了理论证明，着重强调线性方程组的求解过程，同时加入了与线性方程组相关的内容：矩阵、向量组、线性变换，这样有助于学生建立各个知识之间的关系。作者使用大量几何意义来直观地解释知识点，让学生更容易接受所学知识。例如，二元一次线性方程组的解可以看作平面坐标系中两条直线的交点。第二章《矩阵代数》，用飞机设计中的计算机模型解释矩阵的重要性。图像的旋转是通过矩阵的乘法运算实现的，矩阵的LU分解被用在流体动力学中。对于矩阵的运算以及各类性质通过简单的例子进行解释，有关逆矩阵和矩阵的秩着重讲解了如何计算。最后介绍了矩阵代数在列昂惕夫投入产出模型以及计算机图像处理中的应用，从实际中来，回到实践中去，由此培养学生理论联系实际、学以致用的能力。

（四）例题和课后习题

国外教材中所用的例题都很简单，只为引出要讲解的内容，不会出现多道同类型的题目，点到为止，有时甚至用非常简单的例子来给出某个定义或性质。教材用实际应用案例来提高学生数学建模和实践的能力。对于非数学专业的学生，数学知识是用来理解与解决本专业的知识和问题。用各种陷阱、各种计算难度高的题目来训练学生对知识点本身的掌握程度有些本末倒置。同时，如果用同类型的例题让学生反复对所学知识点进行练习，会让学生感到枯燥乏味。这方面笔者在教学过程中深有体会，用简单的例子和习题讲解所学知识点反而可以有效提高教学效果。同时，国外教材课后习题量大，习题类型多，涵盖的知识点广，大多是用简单的、不需要太复杂的计算或证明的问题来引导学生思考，而且用大量应用题目增加学生的知识面，提高学生的兴趣和应用理论知识解决实际问题的能力。

（五）教学过程

国内教材大多按照行列式、矩阵、线性方程组、矩阵特征值、二次型、线性空间和线性变换的顺序编写。这种编排的优点是前后知识点无重复，内容紧凑，条理清晰，层层递进。在教学课时量少的情况下，授课教师容易进行安排和讲授，不需要过多的前后联系和交互，只需按部就班地一章一章进行即可。对于学生来说，更容易记忆和从整体上掌握各章内容。例如行列式和矩阵是为了求解线性方程组，矩阵的特征值是用来化简二次型。缺点是前后知识联系少，学生学习过程中感觉知识点零散，需要记忆的内容太多，不成体系。而且一开始就把行列式的概念和矩阵的概念抛给学生，会让学生感到一头雾水，不知道学这些知识的目的是什么，分不清重点。

国外教材是按照线性方程组、矩阵、行列式、向量空间、特征值与特征向量、正交性与最小二乘法、对称矩阵和二次型、向量空间的几何性质的顺序编写。开篇就让学生了解学线性代数的目标之一是解线性方程组，将涉及的矩阵、行列式、向量、线性变换的内容加入，将本书所有内容串联起来，每一章都是完整的一部分。虽然前后内容有重复，但更容易让学生建立各个知识点之间的关系。

二、思考和建议

通过比较中外线性代数教材，国外的教材有些地方是值得借鉴的。在现代化技术高速发展的时代，我们需要不断改革教学理念、教学内容和教学方式，以提高工科类“线性代数”课程的教学效果和水平。通过几年的工科民族班“线性代数”课程教学，笔者认为目前存在两方面的问题：一是没有适合工科民族班的教材，二是教师仍然沿用普通班的、不适用于民族班学生的教学方式和教学内容。

（一）教材改革

目前我国高校所普遍使用的线性代数教材内容上理论性强，过于追求数学的逻辑性和严谨性，强调理论知识和证明，而忽略了对于工科专业来说，“线性代数”只是属于工具性课程。而且，课后习题也多是对概念和定理进行纯数学的练习，较少关注线性代数的应用性和趣味性，与工科专业的实际应用脱节［5］。加之对于少数民族地区学生来说，其本身理解能力和基础弱，抽象的概念和理论证明，让他们很快对线性代数失去了兴趣，觉得它毫无用处。事实上，线性代数是一门实用性很强的数学学科，广泛应用于计算机、通信、电子、工程等领域。只是学生上来就被复杂的数学符号吓到了，而没有进一步了解线性代数的实际应用。为解决这些问题，首先在引入理论知识时告诉学生知识的来龙去脉，通过实例，介绍知识的应用背景，吸引学生的注意力。减少理论知识的证明，用浅显易懂的方式讲解知识，甚至用简单的例子给出性质结论。例如在介绍行列式的定义时，可以抛弃取自不同行、不同列的元素乘积的代数和的定义方式，而采用先给出二阶行列式的对角线法则，利用行列式按行展开来给出更高阶行列式的定义。利用计算具体的特殊二阶和三阶行列式来给出行列式的性质。例如，交换两行，行列式值互为相反数；某行加到另一行上，行列式值不变等性质。其次，在例题和课后习题方面，降低课后习题的难度，不要设置太多计算量大、难度高的题目，用简单的练习题来帮助学生掌握知识。着重提高学生知识应用的能力，可以在每章增加应用性实例，在课后习题中增加应用题，减少纯理论的证明［6］。同时，去掉线性空间与线性变换章节，只讲行列式、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、二次型等内容。最后，随着计算机技术的飞速发展，对于计算机专业，增加数值计算方面的内容，鼓励学生使用MATLAB等数学软件进行高阶行列式的计算、线性方程组的求解以及矩阵特征值、特征向量的求解，在计算过程中探究如何提高精度和计算速度。对于工学院民族班学生，着重提高其应用线性代数知识进行数学建模以及计算的能力。

（二）改革教学方式

“线性代数”的课时安排较少，教师为了保证完成教学内容，课上基本都是“满堂灌”，留给学生思考和讨论的时间很少。学生刚开始还能听懂一些内容，到后面就完全跟不上了。由于民族班学生基础和理解能力弱，加之线性代数非常抽象，一学期下来，部分学生连最基本的内容都没有掌握。对于工科民族班学生，应该改变传统的以教师讲授为主的教学方式。我们可以借鉴谭友军提出的PIPA方法，首先把相关问题、背景讲解清楚，之后鼓励学生对相关问题根据直觉解答，用简单实例给出证明的思路和想法，最后就某些具有实际背景的问题进行数学建模，用所学知识来解决问题［7］。同时，充分利用现代化教学设备，比如将上课过程录制成视频，以便学生课后复习。把某些典型习题的讲解做成微课，让学生课下学习，课上主要是学生讨论和教师点评，讲解具体应用实例。还可进行网上答疑，使学生学习更加积极主动。此外，教师在讲授过程中务必要多总结，多和学生交流，用更加通俗、更容易让学生接受的方式讲解理论知识。例如在讲解线性方程组的基础解系时，国内的教材大多是将齐次和非齐次情形分别讲解：对于齐次情形，对系数矩阵做初等行变换；对于非齐次矩阵，对增广矩阵做初等行变换。事实上，我们可以将两种情形统一，都对增广矩阵做初等行变换，只是在齐次情形，增广矩阵的最后一列全是0。在笔者最开始的教学中，采用的是吴赣昌《线性代数》课本上的讲解方式，发现学生很难掌握，在做题过程中经常出错。后来笔者采用国外教材上的讲解方式，发现学生基本都能掌握。用最直观、直接的方式讲解，更符合学生的思维习惯，更容易让他们接受和理解。对于民族班学生，要从学生的实际出发，根据他们的特点来进行教学。教师在教学过程中要多总结，多和学生交流，不断改进自身的教学手段和方法，以此提高教学效果。

（三）改革教学评价

教学评价对师生的教与学都具有重要的导向作用，考核方式在很大程度上会影响学生的学习积极性。国内对“线性代数”的考核方式一般是平时成绩、期中考试成绩和期末考试成绩。平时成绩包括作业、出勤。期中考试和期末考试仍然是考查学生对理论知识的掌握程度。期末考试成绩比重较大，这就导致有些学生学习不积极，作业靠抄袭，期末考试时集中突击复习，目标是及格，考完对所学知识记住得很少。结果是，部分学生经过一学期的学习，增加的知识和技能很有限。因此，我们应该按下面几种方式进行改革：（1）增加对学生应用实践方面的考核，比如在课后习题中增加探索性问题、实践性问题，培养学生数学建模的能力以及利用现代数学软件解决线性代数中问题的能力。这样不仅能够加深学生对理论知识的理解，还能够提高学生的学习兴趣。（2）增加学生课上表现的考核，比如课上回答问题，课前知识的准备，课上对实际问题进行分组讨论得出解决方案的能力。（3）增加测验的次数，降低期末考试成绩的比重，在每章或某块知识点结束时进行测验，使成绩构成多元化，使学生通过这门课的学习真正获得某些知识和能力。