王小柠（南京晓庄学院 美术学院，江苏 南京 211171）

在古典哲学中，柏拉图提出“宇宙进化论”，由此衍生出规则性“真理图形”，进而引入比例理论。这些图形蕴含了数字的奥秘，图形本身只是影像，数学法则才是其背后的根本依据。艺术中的数学规律一直与视觉美相联系，起初它并不被看成是一种视觉现象，而是更为深奥的外在符号，是与世界和谐一致的美的表现。数字关系带来的审美愉悦，使艺术有了秩序的需要。以数学的方式探求自然已被接纳，数学秩序是一种隐匿的和谐，不完美地显现于物象中。我们需要秩序，因为它既是人类认识和把握世界的法则，也存在于自然规律之中，这种“秩序”是一种恒久不变的规则。已经论证的数比关系被认为最符合美的需求，这种数字演绎为艺术家的创作活动提供了一种秩序，使绘画、雕塑、建筑具有科学依据并体现“和谐美”。

一、古典哲学中的比例关系

柏拉图的宇宙进化论从世界依据的最初原理出发，对待世界的态度来自创造者或造物主自己的理想形式，为了使世界完美，上帝认为它必须具有理智。《蒂迈欧篇》在现代科学崛起之前就试图为这个世界做出最为统一和最具想象力的解释，其中数学观念一直活跃。[1]220数不再笼罩于神秘之中，相反地，它被看作是理智世界的中心，已经成为找到一切真理和可理解性的线索。

柏拉图引入比例理论，试图将来自混沌世界的最初元素加以区分（首先是火与土），他把所有物质都想象成由五种规则体建构起来的图形，即五种等边、等面甚至等角的实体。②柏拉图提出四元素（水、火、土、气）是原始混沌中力量的存在，没有任何明确的形式。每一个元素对应五种正多面体中的一个，正四面体、正八面体、正立方体、正十二面体、正二十面体，这些正多边体被赋予了四大元素的意义：正立方体代表土，正四面体代表火，正八面体代表气，正二十面体代表水，正十二面体作为封闭天穹的象征。四种元素的划分，却有五种规则形体，如何相互对应？柏拉图对“整体” 未作过多说明，他提出了“以太” 作为第五种元素。色诺克拉底（Xenocrates）在柏拉图传记中提及此五种元素与五种形体。要把两种事物令人满意地结合起来，不能没有第三种事物，必须要有某种媒介将它们连接。比例的作用就在于把事物结合起来，两种事物（外项）被第三种（中项）统一。古代数学家尼科马楚斯（Nicomachus）和帕普斯（Pappus）各提出十种中项，九种是相同的，总共为十一种。其中有四种需详加思索：等比中项、等差中项、调和中项和反调和中项。柏拉图认为最好的媒介物选择是等比中项。从源自统一体的双倍和三倍比例的正方形和立方体中发现了将其引向两类几何级数的数列：1、2、4、8 与1、3、9、27，它们包含了宏观宇宙与微观宇宙中的内在节奏。每一个的首项皆为1，一个通过乘以2 所得，一个通过乘以3 所得。柏拉图认为7 个数对应7 种行星，且1+2+3+4+9+8=27，27 作为6 个数字之和使该数列圆满。[2]219-260

依照毕达哥拉斯音乐和谐理论对这些数字进行调节，他在每两项中间插入一个调和中项和一个等差中项。二倍数列与其接近的外项数列中是三分之四，在音乐中是一个四度音程；在三倍数列中是二分之三，在音乐中是一个五度音程。调和中项与等差中项之间，在二倍数列中是二分之三乘以四分之三，是一个全音程；三倍数列中是一分之二乘以三分之二。每一个五度音程可分为一个四度音程和一个全音程，以此类推。根据奥古斯丁（Augustine）和波伊提乌（Boethius）的记载，可以猜测上述数列即是文艺复兴时期比例理论的构建基础。①这种猜测是阿尔贝蒂提出的，L. B. Alberti, On the Art of Building in ten books[M]. MIT Press, Cambridge, MA. 1991,p305.

柏拉图在理智和感觉这一关联中赋予数学绝对的优势地位，而亚里士多德则将他所谓的物质，也即基本的实体，等同于个别的、可感知的事物，如动物、植物、天体以及人造之物。柏拉图的哲学更具数学味，对建筑理论也产生了更为直接的影响。他是串联古典时期比例关系的关键性人物，将毕达哥拉斯、阿尔贝蒂、帕拉蒂奥甚至勒·科布西耶连接了起来。在波普尔看来，柏拉图选择几何学作为新的基础，比例的几何学方法作为新的方法。他设计了一个将数学几何化的方案，这其中包括算术、天文学和宇宙论。他还成为世界几何图像的奠基人，因此也成为现代科学，如哥白尼、伽利略、开普勒以及牛顿科学的奠基人。

柏拉图的宇宙论综合了各种思想，包括早先的毕达哥拉斯数学，古希腊哲学家巴门尼德的有限和球形宇宙、爱菲斯学派创始人赫拉克利特的流变以及对立面的协调，恩培多克勒的四种元素、阿那克萨哥拉的原始混合物，留基波和德谟克里特的原子，以及后者在映像和物自体之间所做的区分。同样也有继承于他的老师苏格拉底的思想，即对人的强调。柏拉图综合的基础是映像概念，感知的世界是有永恒的理念或形式构成的真实世界，一个映像或画像（eikon），一个摹本或表象。

在《蒂迈欧篇》的开篇中，柏拉图在形式世界和它的映像之间做了明晰的区分：什么事物是永远真实而不变化的，什么事物是永远变化而绝不真实的？能够借助理性思考而加以理解的事物是始终如一的永远存在。然而，借非理性的感觉加以认知的物体则变化、消亡，实际上永远也不存在。[1]22他直接指出，世界拥有这一切，形式是我们所见世界的表象和秩序。因此，对柏拉图而言，终极的实在存在于普遍的形式中，即永恒的数学真理，可感知的世界仅仅是它变化着的影子、映像或表象。然而，宇宙并不仅仅局限于形式中，而是包括形式和映像二者。柏拉图谈论了制造各种表象的可能性，虽然它们只可能是摹本或模仿物，但是尽可能接近可知的形式世界。他将事物的明晰性与模糊性，与一条依照一定比例分割的线条的各部分加以对比，一部分代表可见世界，另一部分代表可知世界，然后将这两部分按照相同的比例再次分割。

柏拉图对自然的分析从表象的自然出发，尽可能探求各种表象背后的根本性数学原理。第一种方法是理智将那些在可见世界中有着自己影像的实物作为图像；探究只能从假定出发，不是上升到一个原理，而是下降到一个结论。第二种方法是理智反向运动，从假定上升到非假设性的原理；它并不使用影像……仅仅使用形式，完全通过形式来探究。[2]219柏拉图倾向于第二种方法，在这个认知过程中，感性思维被摒弃了，只有绝对真理被认可，对永恒不变的范本的描述才有可能是持久和不能反驳的。数学真理的悖论点在于柏拉图本体论和经验论的认识无法达成统一，既把它看作独立的客观事物，又要求研究对象提供直接的经验依据。

柏拉图的理论引发了对毕达哥拉斯立场的偏离。毕达哥拉斯认为可见世界由数字本身组成，即物质的粒子排列成棱锥、立方体及其他形状。相反，柏拉图则将它们视为可知的物体，为感觉所不可企及。毕达哥拉斯不可回避的数学难题，在柏拉图的绝对真理和理念世界中升华。把数字抽象化、理想化，使之具有永恒、绝对的特性，并在运用中演绎证明，而非依据感性经验。弗雷格在《算数基础》中认为“数”的概念在哲学层面上是先验的，在逻辑意义上是分析的。在他的三个基本原则中，心理的与逻辑的相区分，主观的和客观的相区分。

柏拉图以可见图形表达数学概念，但他真正思考的是各种原本，这些图形只是其影像。比例关系就以两种不同的方式进入柏拉图的实在图像中，各种形式与它们可感知的影像即达成一种比例关系，这种比例又反映在这些可感知的影像本身与它们的映像之中。柏拉图以几何图形描述宇宙，仅仅是对造物的重新安排，以便将它从无序变为有序。因而数学不是观察，而是通往真理之路。

在此，我们要把“比例”一词加以澄清，不要混淆比例（proportion）与数比（ratio）的含义。数比是两个数之间的关系，比例是指两组数目的数比之间的相等性。数学或许不够完美，但却是发现自然本质最好的工具。研究数学的目的就是透过千变万化的表象，找出内在规律。[3]一种隐匿的和谐存在于自然，它以一种简单的数学规律的图像投射到大脑。数学分析和观察的结合之所以能够对自然发生的事件做出预测，原因即在于此。

二、从数理关系到艺术秩序

比例理论带来的形式法则或关系，时常会让艺术家陷入思考。按数字制定的基本原则是否一定比其他关系更令人愉悦？如果答案是肯定的，那么严格按照一套数学法则创造的作品是否会导致艺术家灵感的缺失？比例美学论点的困难在于，它很快就陷入自相矛盾的泥潭。某些形状或关系如果天生就比其他更和谐，那么如何解释帕拉蒂奥和勒·柯布西耶所设计的建筑物虽然基于完全不同的数学原理之上，但都被认为具有比例美。无论如何，一件作品的美学影响力难道不是暂时的吗？我们去正确评价基本的数学关系，需要的是耐心的研究、测量和计算。另外，规则所制定的基本原理是在设计的一开始就遵循，还是在结束时用作矫正？如果是前者，那么艺术家的品位和才能是否多余；如果是后者，那么调整形式以使作品适合于一套严格的数学公式，势必会导致原创性灵感的弱化和消亡。

美国数学家乔治· D· 伯克霍夫（ George D.Birkhoff）把秩序和复杂性视为对立物，他的理论要旨表现在公式M=O/C 中，即（美学）标准等于秩序与复杂性之比。一件物体的美学价值与其秩序的程度成正比，与复杂性成反比。二维物体的秩序和复杂性是能够加以精确计算的，可通过决定垂直或旋转的对称性程度及垂直程度计算。同样，没有秩序不是复杂，而是混乱。[4]秩序和复杂是同一种现象的两个极端，非此即彼，比例理论的目的就是描述一种有秩序的复杂性。秩序需要复杂性彰显自己，复杂性需要秩序以便理解。

人们坚定不移地相信“秩序”就存在于事物本身，虽然我们对这些事物本身及其本质一无所知。“事物本身就是按秩序排列的，当感官把这些排列呈现，我们就极其容易把它们想象出来，而且一旦想象出来就很容易记住。”[5]“秩序”主要是大脑组织活动的特征，是相互分离事物之间的一种关系，是用来表示任何主观经验的性质或感觉的字眼。

艺术中秩序的数字规律一直与视觉美连接在一起，而视觉美又与尺度、秩序相关联，在“秩序”中以比例关系达到“得体”效果。从生理到心理的构成都基于一种秩序，身体的对称，和谐的比例，被认为是美。如果对基本秩序与和谐的探寻根植于人类本性，我们可以称之为一种像饥饿或干渴那样的本能吗？或者我们可以将之视为源自某种思想的冲动吗？激发秩序感的机械论来源于生物学，为了在一个危险的环境中生存，有机体都具有一种潜在的对规律渴望的本能。它们在陌生的环境中寻找规律或秩序的模式，将之纳入自身的活动。贡布里希认为“有机体必须探究环境，必须对它所接收到的信息加以分析，这是在对规律的基本期待下自觉发生的，这种期待内含于我们所谓的秩序感之中。”[6]按照贡布里希的理论，我们可以认为人类对秩序的渴望是生而有之的。艺术家的灵感常常依托数字间不可颠覆的真理关系，因为只有数字显示了某种原初性的东西。①我们可以把艺术和数学之间的连接追溯到最古老的文明，如果说多数思想活动都是在于怎样把我们周围的混乱带入秩序的话，走向秩序的两种最为极端的过程肯定就是纯粹科学（数学）过程以及艺术知觉过程。这就是人类心灵的特别构造之处，数学和艺术缺一不可。要发现基本法则没有逻辑道路可循，唯有对表象背后秩序的某种直觉之路。这里的秩序，这种感知世界固有的东西就是一种原初性的和谐（pre-established harmony）。Rudolf. Wittkower, The changing concept of proportion[M]. in Architects’ Year Book V,1953,p109.

如果我们对数理关系中秩序的探寻津津乐道是出于一种本性诉求，把这种意识行为当作人性思想的冲动，似乎就可以把秩序认定为一种本能。艺术中的秩序和比例意味着赋予某种下意识的冲动和思想性的导向，艺术家在创作时会不自觉地使用某种视觉秩序，这种比例关系只要用工具测量一下就可得出。显然艺术家本能的秩序倾向并非一定是数学等式般的秩序，换言之，并不存在一个让所有人都满意的唯一比例法则。古希腊的人体比例、古罗马的“适应律”，抑或是文艺复兴的“三分律”“黄金分割比”，它们都存在不一样的数理基础，把任何一种比例当作亘古不变的风格去对待，都是一种错误态度。某个数学公式和某个几何图形的应用也会相互冲突，这种理论并不是违反逻辑，每个历史学家都在倡导不一样的基本且普遍适应的真理。

古希腊建筑师彭尼索恩（Pennethorne）有关希腊建筑中和声比例的发现[7]与汉比奇（Hambidge）②诺布斯称汉比奇为晚近的“建筑占星师”，并从“感知机制更为晚近的知识” 出发研究比例。Perry E. Nobbs,Design. A Treatise on the Discovery of Form[M].Oxford University Press, 1937,p123.从√2、√3 到√5 的矩形中导出的“动态均衡”全然对立；[8]蔡辛（Zeising）认为他已经发现了黄金分割就是微观和宏观世界比例的中心原则；[9]奥迪里奥·沃尔夫（Odilio Wolff）在正六边形的世界里找到了答案，伦德（Lund）③库克对伦德、汉比奇和S.科尔曼的批判详见于Theodore A. Cook, A New Disease in Architecture, The Nineteenth Century[M].London, 1922,pp521-531.在正五边形里同样如此；[10]莫塞尔（Moessel）也说在“圆的几何”中找到了比例的意义；[11]勒—迪克（Viollet-le-Duc）的三角化被德耶奥修改过，其结果影响了一个时代；[12]海伊（Hay）在恢复了毕达哥拉斯数论的基础上建立了一个综合体系，后来的学者研究毕氏理论时，有些竟不了解海伊的成果；[13]后来毕氏的概念又在一本美国版为建筑师使用的《比例入门》中再度出现；克劳德·布拉格登（Claude Bragdon）从神学哲学的角度试图将建筑构图翻译为乐普；蒂尓施（Thiersch）则认为和声比例源自一个建筑本身用同一个几何模式在各个组合上的重复使用，这一结论被艺术史家布克哈特（Burckhardt）、沃尔夫林（Wolfflin）和建筑史家乔万诺尼（Giovannoni）等人接受了。[14]蒂尓施的发现对文艺复兴时期的比例具有伟大的意义，然而他的结论却是因果倒置。

以数学探求自然的方式已经被接纳，艺术当然也不例外。我们很容易证明所有高级文明都基于数字关系之间的秩序，它们都曾在普遍的宇宙概念与人类生命之间寻找和建构一种幻想或是神秘的和谐，艺术正是体现了这种秩序与和谐。“秩序展示在我们面前的自然是一片混沌状态……但是赋予大自然生机勃勃的能力是秩序的力量。”[15]

人不可能对隐而不显的艺术技能做出判断，因而需要依靠那些无把握的判断来检验展示于我们眼前的各类科学知识。人是由自然创造的，依照自然法则而行动，而人类本身又是这些法则的制定者。面对秩序我们首先要调和以下两种相悖的观点：一种观点认为，世界不管看起来如何复杂和变幻不居，实际上是完全可知的；另一种认为，现实永远运动，永远躲避人类理智的理解，它的秩序如果存在，也是一种隐匿的秩序。[16]自然以混沌之态显现，“秩序”的存在又让自然规律运转，无非是表象中的几何本质。天分隐没在黑暗中，尽管艺术家们宣称自己有良好的判断力，若智性知识不富有，在其宣扬的技能方面也就不具有令人信服的话语权。

三、艺术秩序的数字演绎

演绎数学作为开创式解构方法，对西方数学发展有着深刻影响，它是我们认知宇宙的方式。毕达哥拉斯学派认为宇宙万物的运行及变化皆出于数，由于量度、秩序、比例和循环都可以用数来表示,因此数是万物的基础。[17]数的比例能够产生美感，寻求数与美之间的精确关系，哲学家们认为是追求和谐美形象的合理途径。

古典时期，人像和建筑被誉为神的旨意，必须包含并表达宇宙的秩序。毕达哥拉斯—柏拉图学派已揭示这一秩序法则及宇宙运行的和谐比例，数学的性质、对象性都有了新的特征。在他们的数字观中，3 是第一位真实的数字，是神圣的质数，9是3 的平方数，27 是9 的3 倍，柏拉图或是亚里士多德在描述世界的时候始终未能超出27。[2]278实际上，不是数字含有任何意义，而是数字排列形成的比例具有魔力。

在拜占庭的比例理论中，我们就可以看到数字3在比例中的频繁应用（当然也包括3 的倍数），身体的尺度在平面中用头部，更准确地说是用脸部作为单位。通常身体的全长相当于9 个这样的单位，1 个单位是脸，3 个是躯干……近3 个世纪左右，艺术理论家的比例理论都植根于拜占庭。①潘诺夫斯基在此处又提到了另一个与此相类似的理论，它将身长分为9 又1/3 个单位。但考虑到古代艺术文学从未提到这个理论，以及波利克里托斯和维特鲁威的论述都基于完全不同的体系（通分数），这个理论只能追溯到阿拉伯地区。细微差别仅在于躯干的长度（3个脸长），额头的高度并不是1/3 个单位，所以在包括额头的情况下的全长只有8 又2/3 个单位。[18]拜占庭“9个脸长”的理论产生了深远的影响，直至17、18 世纪一直发挥着重要作用，并且该理论不曾更改，仅仅是被波姆波尼俄斯·高里克斯、吉贝尔蒂以及菲拉莱迪稍微调整过。

比例约束着微观世界并产生了美和卓越，自然受到数学的支配，艺术杰作与自然是一致的，它们体现了自然的规律并服务于自身。因此，艺术作品受到数学的支配，学者的坚定推理及完美的公式用于艺术作品。弗朗切斯科·乔治（Francesco George）为维尼亚圣弗朗切斯科教堂（S.Francesco della Vigna）撰写的备忘录表明了态度：“‘切记，你应该以它们的模式来建造，就像在山上所显示的那样’，根据所有解经家们的意见，他们的模式就是世界的结构。的确如此，这个特殊的场所必然要效仿上帝的宇宙，不是在尺度上，也不是在享乐上，而是比例。”[19]形式和数中明显表现出世界的和谐，数学之美这一概念体现了自然哲学的灵魂和所有诗意。这种观点是对自然抱有一种神秘态度，柯布西耶则暗示一种指导性智力或意志控制着宇宙：我们假定宇宙中行为的统一性，并且承认其背后有一个单一的意志……如果我们认可并热爱科学及其作用，这是因为二者迫使我们承认它们是由这种主要的意志所规定的。如果数学计算在我们看来是令人满意与和谐的，是因为它源自这一核心。[20]数学定律不仅仅是对美的一种规定，当然也不局限于作为人类了解世界的手段之一，而是宇宙自身的核心和推导原理。

柏拉图在《蒂迈欧篇》中说，宇宙的秩序与和谐都包含在一些特定的数字中。[1]33然而，毕达哥拉斯定理引出的“无共度比”理论，摧毁了柏拉图的几何学、数字论。如果万事万物以1、2、3、4 或点线面为基础按比例复现，那么如何解释？它不是任何已知数字之间的比例，类似的情况还有很多。柏拉图在不可共度性中将该类数仍看作数本身，把精确测量过的线看成是无理数的近似值。若非如此，我们将必须接受不管是常识还是毕达哥拉斯学派自身都拒绝的荒谬理论：在几何学中，计算是不可靠的，一切须以度量为基础。[1]63在此，抛开纯数学理论中的悖论，指向无理数与其形象的问题，因为把几何学、数学及宇宙运行论相结合是宏观与微观世界运行的法则。一个不存在的对象如何具有数字上的衡量尺度？

鲁道夫·威特科尔认为两种不同的比例类型皆源自毕达哥拉斯—柏拉图的理念世界，在欧洲艺术的漫长历史中得到使用，中世纪偏爱毕达哥拉斯—柏拉图的几何学，而文艺复兴以及古典主义时期则更喜欢算术。[21]造成这种偏差的原因是什么？就像在古希腊音乐音阶的数比中所代表的那样，算术比例包含着整数或是简单分数。算数比例都是一些可通约的数比，相比之下，几何比例都无法用整数或简单分数表示，因此它们都不具有通约性。

数学思想的一些现代阐述者倾向于将早期毕达哥拉斯学派的思想视为一个以往时代的无知概念而加以摒弃，在那些日常工作中使用数学工具的个人看来，这些概念既未过时，也不是无知的。这些至关重要的数字要么来自计算，要么来自测量，因此它们不是整数就是有理分式。当然，他或许学会了比较熟练的使用符号和术语，这些也暗示了无理数的存在，但对他而言，这种用语仅仅是一种语言上的有益转变。最终有理数作为唯一的量值出现，它能够被应用于实践中。

对文艺复兴时期的艺术家们来说，无理数比例的识别难度较大。这一时期的艺术家以一种面向自然的有机数学方式决定一切，这种新方式包括了尺度的经验性程序，它旨在证明世上一切都因数字彼此相连。因此，把尺度的通约性视为文艺复兴的一个分界点并不夸张。可测量意味着维度的可靠性，以此就可以获得一个身体上局部之间的关系，以及它们之于整体的关系。的确，可通约性就隐藏在文艺复兴透视空间的可测量性背后，莱奥纳多关于人体比例的记录可以证实这一点。他测量并比较过人体局部之间的各种比例，并建立起整数之间的关系。相比之下，13 世纪维拉尔·德·奥内科尔（Villard de Honnecourt）速写本中所画的人物和动物比例，都是由诸如等边三角形和五角星形这样的毕达哥拉斯几何体系所决定的。

对于有机和测量性的文艺复兴世界观来说，有理数化的尺度是一个必要条件，而对中世纪来说，尺度的测量问题从来都没有这么重要过。虽然毕达哥拉斯—柏拉图主义有关音阶的数比概念被证实，却从来也没有被应用到艺术和建筑中去。相反，中世纪人对于表象背后终极真理的追问，完全可以被一种具有绝对基本性的几何图形所回答。也就是说，这些几何图形是不能被调和成人体和建筑的有机结构的。在维拉尔·德·奥内科尔和莱奥纳多的人体比例研究之间的对比是非常典型的，中世纪艺术家倾向于将一种事先建立的几何规范投射到他所画的形象上去，而文艺复兴艺术家则倾向于从环绕它周围的自然现象中提炼出一种尺度规范。

在中世纪末期出现的“精确尺度”图形中，即正方形，彼此相套，其中包含着一种不可通约的几何图形。在文艺复兴时期，艺术家们开始注意到一个正方形的边之间的简单数比，在1：1 的比例中（音乐中同调），一个文艺复兴的艺术家会发现其中的美与和谐。像正方形这样的简单几何图形，似乎是既可以被用在一种测量性和有理数的背景中，也可以被用在一种几何性和无理数的背景中。作为一种比例手段，类似的图形具有不同的功能，并可能引发不同的反应。

我们在先哲的沉思中遇见比例，某种程度上说它无关于艺术。如果比例与艺术相关联，就一定会蜕化成一种包含实用性规则的理论，完全脱离“宇宙论”。文艺复兴思潮对比例的推崇不像中世纪把它当作一种技术性支持，而视它为一种超自然的先决条件。随着人文主义情怀的涤荡，此二者合二为一，即比例理论既是艺术创作的标尺，又包含宇宙一体化理论的和谐，是神秘与理性的综合,并因此有了全新的地位，因为它包含数学又具有思辨性，满足了那个时代的精神需求。①古典时期以后最早提出这种说法的人是吉贝尔蒂，他吸取了阿尔哈赞的观点，但是阿尔哈赞并没有把比例作为美的构建原则，是吉贝尔蒂让比例理论有了前所未有的高度。阿尔哈赞在《光学》中列举了至少21 种美的原则或标准，吉贝尔蒂忽略了其它范畴，唯独对“比例” 段落十分赏识。Ibn Chaldûn (Khaldoun), Prolegomena French translation in Notices et Extraits de la Bibliothèque Impériale[M].Paris,1862,p413.在涉及扎实的知识与方法时，只有两位艺术家真正把比例理论提高到中世纪之上的水准——阿尔贝蒂和莱奥纳多，两位都以经验哲学的角度研究比例，前者是预言家，后者是开创人。两位历史性人物对“维特鲁威比例”有失精准感到失望，但他们支持中世纪从自然观察中总结经验。比例理论不再是一种典型的理想原则，那些先验哲学以及备受关注的数据不再是唯一的测量依据，比例理论不再局限于几何图解，他们按照人体有机原则深入三度空间确定尺寸。然而，他们也出现了分歧：阿尔贝蒂试图通过完善方法的途径达到普遍目标，莱奥纳多则希冀以搜集和研究素材达成目的。[22]

阿尔贝蒂的比例理论被认为局限于一张“网格”，但他本人声称“网格”通过大量的实验已经得到证实。阿尔贝蒂的绘画工具，不仅使画家更轻松地将小稿上的细节比例移至更大的画面上，更重要的是还能训练画家以及随后的观者去“看见”自然潜在的几何学。在《论绘画》中谈到素描与构图时，莱奥纳多说“将一片不过分透明的纸张放在浮雕和烛火之间”的绘画技巧，这个“张有透明或不透明纸的框架”实际上就是“阿尔贝蒂格子窗”的延伸。尽管达·芬奇没有使用“网格”“格子”“纱屏”等字眼，但从其论述及配图中都可知晓与阿尔贝蒂绘画工具的等同关系。不管是哪种方法，实际上都是“精确尺度”图形中数字计算的方法性差异，阿尔贝蒂和莱奥纳多使用的工具都是1：1 的正方形。

艺术家对自然的描绘通过这些“普适性”原则使物体更合理地呈现部分与部分、部分与整体的关系。我们通过测量感知世界，这不是运用数字表达空间的问题，而是将空间转化为一个可度量的整体。测量性比例成为秩序的组织原则，显现出数比间的和谐，不管是古典时期还是文艺复兴，它从没有从哲学、神学和美学思想中消失过。