刘昕宇,周宇生

(贵州大学 数学与统计学院, 贵阳 550025)

0 引言

控制输入个数少于系统自由度数目的欠驱动系统普遍存在于实际生产生活中。目前关于各种欠驱动模型及其相关的控制理论研究成果相当丰富[1-3]。其中,两轮式移动机器人就是一种典型的欠驱动系统[4-6],通过在两侧车轮安装驱动马达,分别控制车轮的转速,使轮式移动机器人实现直行或转向运动。在一些实际问题中,可能需要采用多个轮式移动机器人进行协调作业,以完成复杂的运动任务,如工农业生产、环境监测、国防军事等[7-9]。与单个轮式移动机器人相比,多个轮式移动机器人在协调作业过程中需要一直保持一定的队形结构。为此,许多研究者提出了一系列的方法解决多个机器人编队的运动控制问题,包括领航跟随法[10-13]与虚拟结构法[17]等。

领航跟随法是一组编队机器人中的一个或几个机器人被选为领导者,它们决定整个编队的运动轨迹,其余机器人作为跟随者,与领航者之间保持一定的角度和距离[15]。这个理论简单可靠,受到越来越多学者的重视,他们在此基础上提出了许多改进的编队控制方法。具体来说,李咏华等[10]提出了一种领航-跟随型多移动小车分布式编队控制方法,该方法能够快速收敛至期望队形并具有很好的抗干扰能力。Wang等[11]考虑到不是所有个体都能跟踪期望路径,在多四旋翼飞行器的编队中提出了一种分布式控制算法实现了领航-跟随的编队跟踪策略。Gonzalez等[12]提出了移动机器人和四旋翼飞机在领航-跟随方案下基于距离和方向的动力学模型,设计了一种鲁棒控制策略解决编队控制问题。Moorthy等[13]为每个跟随者开发了一个分布式估计器估计领导者状态,同时为了解决速度跳跃问题,设计了一种基于生物神经动力学的反步控制器管理编队。此外,在多机器人编队控制问题中,基于障碍李雅普诺夫函数的方法具有处理约束的能力。Jin[14]提出了一种新型欠驱动自主水面舰船的容错领航-跟随编队控制方法,解决了视距角度的约束以及有限时间收敛的问题。Dai等[16]研究了通信约束下非完整移动机器人的编队跟踪控制问题。此外,Zhang等[17]通过改进传统的虚拟结构方法,结合个体路径跟踪控制设计,解决了网络非完整移动车辆团队协同路径跟踪问题。

可以看到,在上述的研究工作中,几乎没有考虑领航者和跟随者沿相同轨迹运动的问题。他们大多是基于领航者与跟随者之间的距离和角度展开研究,在这种情况下,他们之间的相对位置可以很容易地确定下来。然而,当领航者和跟随者需要沿同一轨迹运动时,他们之间的相对位置关系需要结合目标轨迹曲线才能被进一步确定。Yuan等[5]在多转向拖挂车移动机器人中利用反步法实现了拖车和挂车跟踪相同的目标路径。Zhou等[18]引入被动转向角及齿轮转向机制,使拖车和挂车都能在低速下精确跟踪同一目标轨迹曲线。在编队控制问题中考虑领航者与跟随者沿同一轨迹运动同样具有现实意义。如在军事演习中[19],沿同一轨迹运动可以丰富编队队形。另外,当一个编队在狭长的路段运行,此时需要所有个体都跟随领航者沿同一轨迹运行。这样减少了所需的车道宽度,也大大提高了系统的机动性与灵活性[20]。同时,由于编队系统处在同一轨迹上完成任务,那么现有的单机器人路径规划算法也能够被使用[5]。综上所述,本文以两轮式移动机器人为例,考虑了领航者和跟随者沿相同路径运动且保持一定距离的编队控制问题,具体贡献如下:

1) 对简单的圆形轨迹进行几何分析,得到领航者和跟随者之间的关键位置关系。在此基础上,进一步得到了轨迹是一般光滑曲线时的位置关系,将该关系式结合到控制器的设计中,实现整个编队沿同一轨迹运动的目标。

2) 针对带有输出约束的编队系统,为了保证编队跟踪误差的瞬态和稳态性能,我们将障碍李雅普诺夫函数引入到编队控制设计中,将系统误差限定在一定的边界范围内,所提出的编队控制策略能够保证领航者与跟随者之间避免碰撞,有利于编队控制方案的实施。

本文的其余部分安排如下。第2节给出了两轮式移动机器人的运动学,动力学模型和任务控制目标。第3节详细描述了领航者和跟随者形成同一轨迹的过程和控制器的设计。第4节利用Matlab仿真验证了所提方法的有效性。最后,第5节对本文结果进行了总结。

1 问题描述

本节将简述两轮式移动机器人的结构以及其运动学和动力学模型,并结合模型介绍相应的控制任务。

1.1 两轮式移动机器人模型

如图1所示,两轮式移动机器人主要由两车轮与一个刚性连杆连接,在轮轴两侧的车轮上分别安装有驱动马达,通过驱动车轮转动实现两轮式移动机器人前向和转向运动。此外,假设每个车轮只向前滚动而不产生横向滑动和空转。文中所用符号和公式的定义见表1。

图1 两轮式移动机器人示意图

表1 两轮式移动机器人各参数及变量

1.2 运动学方程与动力学方程

两轮式移动机器人的运动学模型如下所示:

其中

两轮式移动机器人动力学方程如下所示:

(1)

其中:

a11=a22=2Mw+MB

式(1)还可以表示为如下形式:

(2)

其中:

u1=Tl+Tr,u2=Tl-Tr

1.3 控制目标

本文的控制任务是为多个两轮式移动机器人的编队问题设计跟踪控制器,以实现以下目标:

1) 基于动态跟踪目标,目标轨迹曲线能够被领航者精确追踪。

2) 领航者和跟随者能够沿同一轨迹运动。

3) 在运动过程中,领航者与跟随者能够始终保持预设的距离。

2 编队控制设计方法

本节将分别介绍领航者与跟随者的控制器设计,并给出相应的稳定性分析。

2.1 动态跟踪目标

(3)

进一步,式(3)可改写为速度目标形式

(4)

(5)

一般来说,φ(t)可设计为如下[21]

φ(t)=-(βt+1)lβ2texp(-βt)

式中:l为目标轨迹曲线的长度;β为待定参数。

在实际应用中,初始时刻轮式移动机器人是静止不动的,可以调整前向速度目标使初始速度误差为零,并可以根据实际需要调节参数β,使整个过程跟踪控制的效果最好。

2.2 领航者的跟踪控制设计

在本节中,通过动态跟踪目标为领航者设计控制器,以便于领航者能够精确跟踪目标轨迹曲线。

2.2.1前向速度控制器设计

注意到控制式(2)是解耦的,因此可以先设计u1,然后基于实际的前向速度设计u2跟踪偏航转速目标。结合式(5),前向速度方程可以写为

(6)

(7)

在此,利用反步法设计前向速度控制器。将e2视为虚拟控制量,引入如下变换:

e2=-e1=η(e1)

(8)

选择李雅普诺夫函数V1

对V1两边关于时间求导,并将式(8)代入可得

在此,引入如下变量代换

z=e2-η(e1)=e2+e1

(9)

对式(9)求导并结合式(7),整理后可得:

(10)

类似的,选取李雅普诺夫函数V2

对V2两边关于时间求导,并将式(10)代入可得

(11)

此时可将前向速度控制器u1设计为如下表达式

(12)

联立式(11)及式(12),可得

最后,将式(9)代入式(12),可得最终的前向速度控制器u1,表达式如下所示:

2.2.2偏航转速控制器设计

设计的积分滑模面为:

(13)

式中G1>0,是合适的常数。

最终设计的偏航转速控制器u2为如下表达式:

式中:k、G2、K均为大于零的常数。

2.3 跟随者的位置分析

2.3.1特殊曲线轨迹

如图2所示,我们所研究编队问题的控制目标是领航者和跟随者沿同一轨迹运动,并且两者之间始终保持一定的距离。首先考虑一种简单的情况,领航者的目标轨迹曲线是如图2所示的圆轨迹曲线。图中的3个简单几何关系如下所示:

(14)

式中:Φ、β、γ如图2所示。θb和θv分别表示领航者和跟随者的偏航角。

图2 圆轨迹曲线编队示意图

整理上式,可以得到领航者与跟随者偏航角的关系:

θv=θb-2β

基于式(14)中的几何关系,跟随者和领航者的相对位置关系可表示为:

其中:(xb,yb),(xv,yv)分别表示领航者和跟随者的位置。

2.3.2一般曲线轨迹

在本节中,考虑领航者的期望轨迹为一般光滑轨迹曲线。由于一般轨迹的未知性,很难直接确定领航者与跟随者之间的相对位置关系,因此做出如下假设。

假设1将领航者与跟随者之间的轨迹弧视为圆弧近似处理。

假设2圆弧的半径比两车之间的距离要大得多。

如图3所示,当领航者的轨迹是一般光滑曲线时,R不再是一个常量,而是一个随β变化而变化的变量。记近似处理之后的半径和角度分别为Rb。此时根据假设条件,上一节的几何关系依旧成立。在此基础上做进一步的调整,由于领航者与跟随者沿同一轨迹运动,可以得到

相应可得

图3 一般轨迹曲线编队示意图

故领航者的期望轨迹是一般光滑轨迹曲线时,它们之间的相对位置关系如下所示:

(15)

2.4 跟随者的编队控制器设计

为了达到控制目标,本节对跟随者采用双闭环的控制结构。

2.4.1外环速度控制器设计

运动学误差系统定义如下:

式中,(xf,yf,θf)T是跟随者的位置响应;(xv-xf,yv-yf,θv-θf)T是位姿误差;(xe,ye,θe)T是坐标变换后的位姿误差。

对上式误差方程关于时间求导,整理后得:

(16)

式中:ωf和vf分别表示跟随机器人的偏航转速和前向速度。

可以看到,编队问题已经转化为了轨迹跟踪问题,设置如下控制律可使误差系统渐近稳定。

(17)

式中:Kx、Kθ、Ky、a、b为增益系数,均为大于零的常数。

证明：考虑如下李雅普诺夫函数

显然,函数V是正定的。对V关于时间求导,并将式(17)代入,整理可得

vv(a+b)sinθe(ye+Kθθe)]-

如果a+b=1,则

2.4.2内环姿态控制器的设计

在双闭环控制系统中,基于直接李雅普诺夫函数法设计的速度控制器在外环可以实现跟踪误差的收敛,与两轮式机器人的姿态变量相关。在内环上,需要引入力矩控制器来实现对期望速度的跟踪。

定义速度的跟踪误差为

(18)

对上式求导可得

(19)

构造如下对称障碍李雅普诺夫函数

式中:kb>0为约束边界;误差初始值z1(0),z2(0)满足|z1(0)|

对Vz1、Vz2求导并结合两轮式移动机器人动力学方程,整理后可得

(20)

引入如下控制律u10和u20,

其中k1、k2、κ为大于零的常数。

将控制律u10和u20代入式(20),整理可得

3 仿真结果与分析

在仿真中,编队系统的参数设置如下:

下面对固定的参数值进行数值模拟,以分析本文方法的有效性。

如图4所示,实际轨迹与目标轨迹之间的偏差非常小,说明了采用动态跟踪目标跟踪目标曲线的曲率,通过偏航速度的时时动态调整,确实能够极大地减少运动中的累积位置误差[21]。

图4 领航机器人轨迹跟踪曲线

如图5所示,2个跟随者都能够精确地与领航者沿同一轨迹运动。再结合图6和图7,跟随者们大约能在1 s左右收敛到预定的距离,从而形成一个同轨迹运动的编队队形。这说明充分利用领航者和跟随者之间位置的几何关系所设计的控制器具有控制精确和响应速度快的优点。

图5 实际的编队运动轨迹曲线

图6 跟随者1与领航者保持的距离

图7 跟随者2与领航者保持的距离

事实上,编队系统在运动过程中会受到未知扰动的影响。接下来,为了检验其抗干扰性能,下面通过仿真验证4种类型干扰(d1、d2、d3、d4)对于距离的影响情况,如图8所示。

从图8(a)—(d)可以看出,在存在持续外部干扰的情况下,继续采用控制器u10和u20,轮式移动机器人之间仍然能够保持非常接近的预设距离。这很好地验证了采用动态跟踪目标和充分利用几何位置关系所设计的控制器具有非常好的鲁棒性。

图8 4类干扰情况下跟随者2与领航者的距离

如图9所示,本文提出的方法能够保证跟踪误差始终约束在±kb之内,这验证了所设计的障碍李雅普诺夫函数的有效性。

为了进一步地验证本文提出的控制方法的有效性和优越性,我们选取常用的积分滑模控制方法与本文方法进行比较,其轨迹如图10所示。

为了保证对比的公平性,2种方法的系统参数均保持一样,仿真效果如图11所示。显然,相比于积分滑模控制方法,本文方法所设计的控制器有着更快的收敛速度以及更小的超调量。

图9 速度跟踪误差曲线

图10 2种方法运动轨迹曲线

图11 2种方法保持距离曲线

4 结论

对于多机器人编队控制问题,提出了一种沿同一轨迹的编队队形方法,建立了两轮式移动机器人的运动学和动力学方程。针对领航者,结合动态跟踪目标的思想设计了控制器。同时,将领航者与跟随者之间的几何关系,应用于力矩控制器的设计,最终实现了领航者和跟随者沿相同目标轨迹运动的目标。