程 涛， 项四通*， 张海南， 杨建国

（1. 宁波大学 机械工程与力学学院，浙江 宁波 315211；2. 上海交通大学 机械与动力工程学院，上海 200240）

1 引 言

五轴机床作为工业母机，广泛应用于航空、航天和国防等领域。作为五轴机床的重要零部件，旋转轴在装配与制造过程中，存在4 项与位置无关的几何误差（Position-Independent Geometric Error， PIGE）和6项与位置有关的几何误差（Position-Dependent Geometric Error， PDGE）［1］。上述误差直接影响五轴加工精度，因此有必要进行辨识与补偿［2］。

球杆仪［3］、R-test［4］、激光［5］与视觉类［6］设备常用于旋转轴的误差测量。其中，球杆仪操作简单，通过圆轨迹可辨识出旋转轴的几何误差。Seth 等［7］基于齐次坐标变换建立运动学模型，利用3 种不同的球杆仪安装模式辨识旋转轴8 项PIGE。郭世杰等［8］依据旋转轴不同运动状态下几何误差的影响因素，建立4 种球杆仪测量模式，辨识旋转轴10 项PIGE。郑华林等［9］采用区别建模方法，利用多种球杆仪测量策略并结合运动学模型迭代分离出旋转轴的PIGE 与PDGE。球杆仪价格便宜且测量精度高，但因误差耦合于圆轨迹，通常需设定巧妙的测量模式以便于误差解耦。

ISO 230-1：2012［10］中提出了R-test 测量装置，通过一次采样即可获得三维球体的球心坐标，可用于旋转轴的误差测量。阮大文等［11］基于R-Test 辨识了双五轴系统中旋转轴的安装误差与运动误差。Pu 等［12］基于所提出的刀尖点坐标误差建模与运动链传动误差建模两种误差建模方法，利用R-test 辨识了旋转轴XYZ3 个方向上的体积误差。相比于球杆仪，R-Test 可同样连续测量机床误差且效率更高，但设备成本高昂。

在激光类测量方法中，皮世威等［13］采用激光干涉仪对旋转轴与直线轴联动测量，实现了旋转轴转角误差及重复转角误差的测量与补偿。针对大型龙门机床，殷建等［5］利用激光跟踪仪测量旋转轴不同角度下靶镜的位置，辨识出旋转轴12项几何误差以及3 项垂直度误差。对于小型机床，Deng［14］通过引入刚体运动约束，采用激光跟踪干涉仪测量旋转轴误差，辨识得到旋转轴的4项PIGE 与6 项PDGE。激光测量虽然精度高，但设备成本和对光要求较高，因此测量效率较低。

近年来，视觉测量常用于旋转轴的误差测量。Yin 等［6］以视觉测量为基础，提出了一种用于辨识紧凑空间中运动的旋转轴几何误差方法。Chen 等［15］基于视觉测量安装于主轴上标靶的三维位移，辨识旋转轴10 项PDGE。视觉测量具有非接触、实时性与动态测量等优势，在工业领域得到广泛应用［16］。但相机与旋转台位置定位操作较为复杂，且对光源、环境等要求较高，因此测量精度难以保证［17］。

在机测量与数控系统具有良好的通信能力，可实现高效与自动化的测量［18］。基于工件切削的在机测量可真实地反映机床的加工精度［19］。ISO-10791-7：2014［20］中提出4 种工件，在加工中采用直线插补、圆插补与钻孔等不同指令，基于加工后工件尺寸精度以检查加工中心的整体性能。由中国成飞集团自主设计研发的“S”件目前已收录于ISO-10791-7：2020［21］，可综合评定五轴机床联动加工的性能。Ibaraki 等［22］通过阶梯形工件切削与在机测量，结合空间误差模型推导出的误差辨识模型，精确辨识出旋转轴8 项PIGE。Jiang 等［23］利用激光位移传感器代替在机测头，通过切削工件辨识旋转轴PIGE，同时通过预先辨识线性轴垂直度误差以消除它对辨识结果的影响。利用工件切削与在机测量辨识机床误差，能反映实际工况下的机床几何误差，该方法的测量成本较低，且辨识精度与效率较高。

本文设计并加工了一种错位塔形工件，基于在机测量以辨识旋转轴的6 项PDGE。在工件不同层级的底面与侧面规划在机测量测点，并基于空间误差模型推导出每项误差的辨识原理与解析解。工件在机床充分预热后进行加工，机床线性轴几何误差已通过激光干涉仪进行预先辨识与补偿，对旋转轴误差辨识结果的影响可以忽略不计。该错位塔形工件设计方便，且每项误差的辨识原理与辨识结果简易，可辨识旋转轴PDGE。

2 错位塔形工件设计

2.1 工件设计

本文在XZRYBC 型双转台五轴机床上开展研究，其运动链中的刀具链为T-Z-X-R，工件链为W-C-B-Y-R。以旋转轴C轴为例，为辨识其PDGE 设计错位塔形工件，具体尺寸如图1（a）～1（b）所示。

图1 错位塔形工件Fig.1 Misaligned tower-shaped artefact

工件主体为三层错位叠加的矩形块，相邻两层矩形块之间错位30°。如图1（c）～1（d）所示，对工件侧面与底面以Si，j与Ui，j（i=1，2，3；j=1，2，3，4）进行命名，其中S与U分别表示工件的侧面与底面，i表示层数，j表示同一层的4 个方向面。如图1（c）所示，以第一层垂直于+Y轴的侧面为第一个面，记为S1，1，以逆时针为正方向，依次为面S1，2，S1，3与S1，4。记第一层垂直于面S1，1的底面为U1，1，以逆时针为正方向，依次为面U1，2，U1，3与U1，4。其他层的侧面与底面的命名以此类推。

2.2 工件优势分析

与球杆仪［3］辨识PDGE 方法相比，球杆仪需经径向、轴向与切向等多次安装才能将旋转轴误差分离辨识。该方法所需步骤繁杂，且多次安装时引入的多项安装误差对辨识结果的影响较大。所提出的错位塔形工件切削测量方法，仅通过一次安装便可完成后续辨识工作，降低了安装误差的影响。

R-Test［10］与激光跟踪干涉仪［14］等专用测量设备价格昂贵，且操作技术要求较高，人工成本也相应上升。与所提出的方法相比，错位塔形工件成本较低，且技术要求较低，适用于实际生产加工过程中的旋转轴误差辨识。

ISO-10791-7：2020［21］中提出了“S”件等5 种特征工件，采用特定的加工方式与三坐标测量模式，但此类工件主要用于评估机床的加工性能，无法用于辨识旋转轴的单项运动误差。

Ibaraki 等［22］提出了塔形工件用于辨识旋转轴几何误差。如图2 所示，以C轴为例，旋转轴在0°，90°，180°与270°位置完成四层阶梯的切削，将4 个角度位置的旋转轴误差反映至工件上，最终在三坐标测量机上完成测量。该工件仅在旋转轴4 个角度位置进行加工，因此仅能反映0°，90°，180°与270°的旋转轴误差，无法反映更多角度位置。

图2 Ibaraki 提出的塔形特征工件［22］Fig.2 Tower-shaped artefact proposed by Ibaraki［22］

与上述工件不同的是，本文对阶梯进行错位设计，相邻两层阶梯之间依次同向错位30°。通过工件切削与测量方法辨识误差的前提是保证工件存在有效测量面，而错位30°的设计则保证了旋转轴每旋转30°均有可用来测量的矩形特征面。一方面，同一矩形特征面可多次利用，增加矩形特征面的利用率；另一方面，共有13 个角度位置（0°，30°，…，360°）可反映旋转轴误差，相比于非错位的塔形工件增加了旋转轴误差的采样频率。

2.3 工件在机测量

2.3.1 测点规划

分别在Si，j与Ui，j面上沿工件坐标系X轴与Y轴方向布置测点，测点间距为3 mm。工件在机测量后，将侧面测点拟合为l（Si，j），底面测点拟合为l（Ui，j）。在图3 所示测点中，第一层侧面底面测点的拟合线为l（S1，1）与l（U1，1）；第二层测点的拟合线为l（S2，1）与l（U2，1）；其他测点拟合线的命名以此类推。

图3 工件在机测量的测点分布与拟合线示意图Fig.3 Schematic diagram of measurement points distribution and fitting line of artefact on-machine measurement

2.3.2 在机测量

工件在C=0°时由线性轴联动完成加工，待机床冷却后进行在机测量。C轴由0°转至360°，每转30°测量平行于X和Y方向的侧面与底面，整个过程共进行13 步测量，具体测量过程如图4所示。

图4 在机测量策略Fig.4 On-machine measurement strategy

如图4（a）所示，当C=0°，90°，180°，270°与360°时，分别测量第一层中与X和Y方向平行的侧面与底面。例如，C=0°时，测量侧面S1，1与S1，4及底面U1，1与U1，4；C=90°时，测量侧面S1，2与S1，1及底面U1，2与U1，1。其他角度以此类推。

如图4（b）所示，当C=30°，120°，210°与300°时，分别测量第二层中与X和Y方向平行的侧面与底面。例如，C=30°时，测量侧面S2，1与S2，4及底面U2，1与U2，4；C=120°时，测量侧面S2，2与S2，1及底面U2，2与U2，1。其他角度以此类推。

如图4（c）所示，当C=60°，150°，240°与330°时，分别测量第三层中与X和Y方向平行的侧面与底面。例如，C=60°时，测量侧面S3，1与S3，4及底面U3，1与U3，4；C=150°时，测量侧面S3，2与S3，1及底面U3，2与U3，1。其他角度以此类推。

3 旋转轴PDGE 辨识

3.1 误差定义与建模

根据ISO-230-1［10］，旋转轴C轴的6 项PDGE如表1 所示。

表1 C 轴的6 项PDGETab.1 Six PGDE for C-axis

在工件加工及测量过程中，B轴固定于0°位置不动，建立C轴6 项PDGE 影响下的五轴机床空间误差模型，如下：

式中：与分别表示理想状态与实际状态下刀具坐标系相对于工件坐标系的空间位置，ΔP与ΔO分别为位置与姿态误差。

将位置误差ΔP（Px（θ），Py（θ），Pz（θ））与方向误差ΔO（Ox（θ），Oy（θ），Oz（θ））展开，如下：

式中：θ为C轴转动角度，x，y与z为工件切削与测量时X轴、Y轴与Z轴的运动量。

3.2 PDGE 辨识原理

3.2.1 坐标系变换

如图5 所示，C=0°时，工件坐标系（Workpiece Coordinate System， WCS）与机床坐标系（Machine Coordinate System， MCS）重合；在机测量时，工件随C轴转动角度θ（θ=30°，60°，…，360°），即WCS 相对于MCS 反向转动θ。C=360°时，与C=0°的WCS 重合，因此共建立12 个WCS。

图5 C 轴不同角度下的坐标系Fig.5 WCS at different angles of C-axis

将空间误差测量值与理论值进行比较，可辨识出C轴的6 项PDGE。在不同WCS 下，基于在机测量可获取侧面与底面的测点数据，其测点拟合直线（l（Si，j），l（Ui，j））与理论面的距离与角度偏差，即空间误差测量值。为计算不同WCS 下的空间误差理论值，需对空间误差模型作旋转变换，将式（1）中的反转θ，即乘以[R(ZM，θ)]-1，以获得不同WCS 的空间误差模型，即：

将式（3）代入空间误差模型式（1）后，展开后得到不同WCS 下的空间误差理论值，如下：

基于上述空间误差测量值与理论值，可辨识出C轴的6 项PDGE。

3.2.2 辨识原理

在不同WCS 下对工件的侧面与底面进行在机测量，通过比较在机测量的空间误差测量值与理论值，可辨识出C轴的6 项PDGE，其辨识原理如图6 所示。

图6 PDGE 辨识原理Fig.6 PGDE identification principle

如图6（a）所示，在XY平面上，以理论测点线l*（Si，j）为 基 准 ，与为实测点拟合线l（Si，j）相对于基准在X与Y方向上的实测距离偏差。其中，符号‖ ‖表示两直线在X轴方向上的距离。同时，根据式（4）可计算出X与Y方向的理论距离偏差(θ) 与(θ)，由此得到辨识方程式如下：

类似地，如图6（b）所示，在YZ平面上，以理论测点线l*（Ui，j）为基准，基于Z向实测距离偏差

如图6（b）与6（d）所示，分别在XZ与YZ平面上，以理论测点线l*（Ui，j）为基准，与为实测拟合线相对于基准绕Y轴与X轴的实测角度偏差。其中，符号∡表示两直线夹角。同时，根据式（4）计算出理论角度偏差(θ)与可得辨识方程如下：

类似地，如图6（c）所示，在XY平面上，以理论测点线l*（Si，j）为基准，可得绕Z轴的角度偏差该误差仅由C轴的角度定位误差ECC引起，故得辨识方程如下：

求解式（5）～式（8），可辨识出C轴全部6 项PDGE，其辨识解析式如下：

4 实 验

4.1 工件加工与在机测量

实验在一台XZRYBC 型双转台五轴机床上进行，机床放置于恒温实验室中，环境温度控制在（20±0.5） ℃。加工前，首先对机床充分预热，工件材料选用6061 铝合金，刀具采用直径为4 mm 的硬质合金平底铣刀，刀距设置为1.5 mm。

粗加工结束后，在开始精加工之前需对刀具重新标定，主轴带动刀具进行预热，每两分钟进行一次激光对刀，直至相邻两次对刀误差控制在2 μm 以内。精加工采用高主轴转速低进给率，主轴转速为10 000 r/min，进给率为1 000 mm/m，确保加工面具有较好的表面质量。

加工完成后静置机床4 h，待机床充分冷却后，在不同C轴角度下对工件各层侧面与底面进行在机测量。在机测量系统使用Marposs VOP40，其测头直径为2 mm，测杆长度为35 mm，重复精度为2 μm。工件的在机测量过程如图7 所示，测量时长约20 min。由于测量时间较短，测量过程几乎不受机床热误差的影响。

图7 C 轴不同角度下的在机测量Fig.7 On-machine measurement at different angles of Caxis

4.2 辨识结果与验证

C轴6 项PDGE 的辨识结果如图8 所示。EXC总体在±40 μm 内，该误差在C=270°时达到最大值22.8 μm；在C=90°时达到最小值-34.4 μm。EYC在［-26.8 μm，20.4 μm］内变化。EZC在［-3.5 μm，10.2 μm］内变化，较为平稳。角度误差EAC与EBC的范围分别为［-3.6″，4.6″］与［-6.7″，3.1″］，角度定位误差ECC的范围为［2.1″，25.8″］。

图8 C 轴6 项PDGE 的辨识结果Fig.8 Identification results of 6 PDGE of C-axis

不确定性分析对于旋转轴几何误差辨识至关重要，本研究通过蒙特卡洛模拟进行不确定性分析，以明确不确定因素对辨识结果的影响［24］。以EYC辨 识 为 例 ，实 测 距 离 偏 差可由S1，3面上随机选取5 个测点拟合计算而得。选取不同的测点组合，重复此操作，将辨识结果的标准差视为不确定度（k=1），如图8 中的误差棒所示。

为验证辨识结果的准确性，使用球杆仪进行验证。如图9 所示，分别在径向、切向与轴向3 种测量模式［23］下各进行球杆仪测试以辨识C轴6 项PDGE。图10 对比了球杆仪辨识与本辨识方法的结果。如图10（a）所示，线性误差EXC，EYC与EZC的辨识结果偏差分别在［-1.9 μm，2.7 μm］，［-1.7 μm， 1.5 μm］与［-1.3 μm，0.9 μm］之间；如图10（b）所示，角度误差EAC，EBC与ECC的辨识结果偏差分别在［-1.0″，1.3″］，［-0.6″，0.4″］与［-2.1″，1.8″］之间。两者辨识结果的平均吻合度达95.4%，证实了本方法的准确性。

图9 球杆仪辨识方法Fig.9 Identification method based on ball-bar

图10 球杆仪对比实验结果Fig.10 Comparison of test results between proposed method and ball-bar identification

5 结 论

本文提出了一种工件切削测量方法，可辨识旋转轴的6 项PDGE。设计了一种错位塔形工件，它由三层错位叠加的矩形块组成，工件特征简单且加工测量方便。通过在工件不同层级的底面与侧面布置在机测量测点，可求解出每项误差的解析解，且辨识原理与辨识结果形式简单。与现有的球杆仪辨识方法相比，线性误差EXC，EYC与EZC的辨识结果偏差分别在［-1.9 μm，2.7 μm］，［-1.7 μm，1.5 μm］与［-1.3 μm，0.9 μm］之间；角度误差EAC，EBC与ECC的辨识结果偏差分别在［-1.0″，1.3″］，［-0.6″，0.4″］与［-2.1″，1.8″］之间，辨识结果的吻合度达95.4%，证实了本方法的准确性。本辨识方法基于工件切削，可辨识实际工况下旋转轴的6 项PDGE。