南京市燕子矶中学(210038) 卢荣亮

江苏省南京市教学研究室(210001) 龙艳文

笔者认为内容单一的试题已经承载不了高考数学对学科素养的考察使命. 高考数学未来的命题趋势定是把多个模块的内容综合在一道试题里,因为这样更有助于选拔具有数学思维的创新型人才. 笔者最近在学习与概率统计有关的内容时,发现近些年高考数学关于概率统计方面的试题常与函数或数列进行结合,这恰恰佐证了上述观点.

那么接下来的问题自然而然就是关于概率统计方面的命题如何与其它内容进行融合呢? 笔者做了一点尝试,现在与大家分享.

1. 融合数列的概率统计命题思考

高中概率统计的命题工作于笔者而言,一开始最大的难点是它的背景到哪里找? 为了命出一点新意,笔者并没有打算参照以往的模考试题,而是直接从书本里寻找. 这么多概率统计方面的书,到底选哪几本呢? 由于笔者打算通过自己命制的试题提升学生学习概率统计的兴趣, 于是选择了与“趣味”有关的概率统计方面的书籍进行学习. 笔者在学习文[1]时,发现能够检验数据真假的本福特定律,并觉察到这一块内容可以下放到高中试题里,从而命制了下面一道题.

题目1(原创)美国物理学家本福特于1938 年对现实生活中来自各个领域的20229 个数据进行统计,发现如下规律:设X 为数据中的首位数字,它的分布列为

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9

其中{an} 的前n项和Sn满足:Sn= lg(n+ 1),n=1,2,··· ,9.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求P(1 ≤X≤4);

(3) 求X的数学期望E(X). (结果精确到0.01,lg(2·3·4···9)≈5.56)

解析(1)由Sn= lg(n+1)得a1= lg 2; 又当n≥2时,Sn-1= lgn,所以an=Sn-Sn-1=;经检验,n=1 时符合上式;综上,

(2)P(1 ≤X≤4)

(3)E(X)

在命制这道题的过程中,刚开始实际上只有一个随机变量X的分布列,然后求E(X). 这里面就有两个问题,其一是这个数学期望好求吗? 其二是这个问题过于单薄,不足以支撑一道试题. 为了丰富题目的内涵,于是笔者尝试将条件变得含蓄一点,通过Sn= lg(n+1)间接得出

这就考察了与数列相关的知识. 由于在求期望的过程中,关于对数的运算性质的要求比较高,于是就出了较为简单一点的第(2)问,这样一来,题目有了梯度,各个层次的学生都有相应难度的题与之对应.

本道试题还可以有下面的变式:

题目1A(变式)美国物理学家本福特于1938 年对现实生活中来自各个领域的20229 个数据进行统计,发现如下规律: 设X为数据中的首位数字,它的分布列为

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9

(1)求P(1 ≤X≤4);

(3) 求X的数学期望E(X). (结果精确到0.01,lg(2·3·4···9)≈5.56)

注本福特定律是指从实际生活中得出的大量数据, 符合如下规律: 首位数字n出现的概率可以用函数拟合,其中数据的量越大、范围越广,拟合的效果越好. 这一结论虽尚未被严格证实,但在诸多生活实践中,均是正确的. 为此我们常用本福特定律检验一些数据是否造假,如股票市场分析、检验选举投票欺诈行为等.

2. 融合函数的概率统计命题思考

笔者在学习文[2]和文[3]中的拿错信封问题: 有n个人,每人写一封信,均匀混合在一起,再随机取一封,求拿到别人写的信的情况,并结合研究2021 年高考全国Ⅱ卷第21题的心得,命制出下面一道试题:

题目2(原创)4 人参加考试,在考试前要求把手机放入考场外的手机袋中. 手机袋编号为1,2,3,4,而4 位考生的编号也为1,2,3,4. 4 个人随机地把手机放入4 个袋子中,一个袋子里只能放一部手机,若第i号考生将手机放入i号袋子中,称为一个配对. 记an为有且仅有n个配对成功的概率(n=0,1,2,3,4),P为方程a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4=x的一个实数根.

(1)求4 个人中至少配对成功一个的概率;

(2)记随机变量X为配对成功的个数,求X的分布列与数学期望;

(3)求证方程a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4=x有唯一的实数根,并求P.

解析(1)设4 个人中至少配对成功一个为事件A, 则

(2)X= 0,1,2,4,P(X= 0) =,P(X= 1)=,则

X 0 1 2 3 4__P 3 1 1 1 8 3 4 0 24__

(3) 构造g(x) =a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4-x,注意到a3= 0,则g(x) =a0+a1x+a2x2+a4x4-x,即g′(x)=a1+2a2x+4a4x3-1.

注意到g(1) = 0,g(0) =a0> 0,g′(1) = 0. 则当x≤0时,g′(x)=a1+2a2x+4a4x3-1<0,所以g(x)在(-∞,0]上单调递减,因此g(x)≥g(0)>0.

当x>0 时,g′(x)=a1+2a2x+4a4x3-1 在(0,+∞)上单调递增,所以当x∈(0,1)时,g′(x)<0,即g(x)在(0,1)上g(x)在(0,1)上单调递减,当x∈(1,+∞)时,g′(x) > 0,即g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)的最小值为g(1)=0.

综上,方程a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4=x有唯一实根1. 据题设得知P=1.

这道试题是经典的装错信封问题,但考察数学期望以往并没有出现过,原本试题到这里就可以结束了,可考虑到要和函数结合,于是就出了第(3)问,这一问的灵感来自2021年高考全国Ⅱ卷第21 题,由于E(X)恰好等于1,利用导数的相关知识,发现其只能有唯一一个实数根. 美中不足的是这个方程a0+a1x+a2x2+···+anxn=x的实际意义尚未发现,不过如果要把4 个人推广到n个人,该方程的根就有一定的实际意义,考虑如下变式:

题目2A(变式)有n人参加某场考试,在考试前要求把手机放入考场外的手机袋中. 手机袋编号为1,2,3,··· ,n,而n个考生的编号也为1,2,3,··· ,n.n个人随机地把手机放入n个袋子中,一个袋子里只能放一部手机,若第i号考生将手机放入i号袋子中,称为一个配对,记f(n)为一个都没有配对成功的情况数,an为有且仅有n个配对成功的概率. 当n足够大时,至少有一个没有配对成功的概率为P,且P为方程a0+a1x+a2x2+···+akxn=x的一个正实数根.

(1)求an-1,an;

(2)记随机变量X为配对成功的个数,求X的数学期望.

(3)求证方程a0+a1x+a2x2+···+anxn=x的正实数根是唯一的,并求P.

解析(1)an-1=0,an=

(2)X=0,1,2,··· ,n

X 0 1 2 3···n-2 n-1 n P a0 a1 a2 a3···an-2 an-1 an

所以

我们知道n-1 个考生,对应n-1 个袋子的所有排列情况是(n-1)!,下面把其分成n类: 有0 个配对,有1 个配对,有2 个配对,···,有n-3 个配对,有n-2 个配对(该种情况不可能),有n-1 个配对,即f(n-1)+f(n-2)+1f(n-3)+···+f(2)+1=(n-1)!.

(3)构造g(x) =a0+a1x+a2x2+···+anxn-x,则g′(x)=a1+2a2x+···+nanxn-1-1.

注意到g(1)=0,g′(1)=a1+2a2+···+nan-1=0,又g′(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当x∈(0,1),g′(x) < 0,即g(x)在(0,1)上单调递减.

当x∈(1,+∞) 时,g′(x) > 0, 即g(x) 在(1,+∞) 上单调递增, 所以g(x) 的最小值为g(1) = 0, 从而方程a0+a1x+a2x2+ ··· +anxn=x有唯一正实根1. 依题设得知P=1.

把4 个人推广到n个人,求数学期望的过程中用到了组合数的性质,这道题既与函数结合,又与组合数性质结合,这对学生来说有一定难度. 笔者给出的证法有一定新意,比文[3]中的方法更简单. 实际上这道题还可以求随机变量的方差,难度更大,证明方法源自于文[3],笔者做了适当的简化.

题目2B(变式)在题目2A(2)的基础上,求随机变量X的方差.

解析由文[3]得知:

所以Tn-1=n-2,因此E(X2)=n-(n-2) = 2,从而D(X)=E(X2)-E2(X)=1.

3. 融合向量的概率统计命题思考

关于概率统计的命题除了和数列或函数结合外,能否与向量进行结合呢? 为什么会有这样的想法? 因为概率的范围是在0,1 之间,而解三角形中的“鸡爪模型”恰恰用到了这样的数,再结合文[2]第61 页中有关“烽火戏诸侯”的内容,命制下面一道试题:

题目3(原创) 周幽王“烽火戏诸侯”, 失去一个国; 放羊娃“狼来了”,丢掉一条命. 现在让我们用数学的眼光观察这两句话. 设周幽王可信的概率为P(A), 不可信的概率为P(), 可信的周幽王说谎的概率为0.1,不可信的周幽王说谎的概率为0.7;其中

(1)求P(A)和P();

(2)周幽王说谎的概率为多少?

(3)说慌后的周幽王可信度为多少?

解析(1) 因为所以P(A)=0.9,

(2)设周幽王可信为事件A,说谎为事件B,则P(B) =

这道题里P(A) = 0.9,P() = 0.1,本来可以直接给出,但是笔者并没有这样做,而是通过“鸡爪模型”间接给出,这样一方面增加了题目的一点新意,一方面也增加题目的难度.

从以上的命题过程中,我们不难发现融合其它内容的概率统计试题,要么在题目条件中直接融合,要么在问题中间接融合. 在条件中融合,我们可以把信息变换一种方式给出,如“P(A) = 0.9,P() = 0.1”,这一结论是由鸡爪模型得出.在问题中融合,我们可以在问题中涉及与题目条件高度相关的“函数梯度”、“数列梯度”,如本文中的前两模块的内容.

概率统计命题还可以与哪些内容进行融合呢? 与基本不等式、与立体几何、与空间向量、与复数等等. 这些融合只是局限在学科内部,概率统计命题还可以与其它学科试题进行融合吗? 每一个点都值得探究,篇幅所限,本文就探究到这里,有兴趣的读者朋友,有机会一起继续探究.