李珲

［摘  要］ 辩证唯物主义认为：世间万物都存在着一定的矛盾，矛盾双方是既对立又统一的关系，这种关系是推动事物本身发展的原动力. “教师为主导，学生为主体”的教学模式存在矛盾，但能有效推动学生认知能力的发展. 文章以“勾股定理”的教学为例，从情境创设、形成猜想、验证猜想、归纳定理等方面展开分析，并对本节课的教学提出几点思考.

［关键词］ 教师为主导；学生为主体；勾股定理

“教师为主导，学生为主体”是当下数学教学的基本教学模式. 教师的主导作用主要体现在教学内容、方法、方向与组织形式的选择和设计上；学生的主体作用主要体现在学生是教学活动中认知发展的主体［1］. 如何将这两者灵活地應用在课堂教学中呢？笔者以“勾股定理”的教学为例展开分析.

教学过程

1. 情境创设

类似于概念教学，定理教学也应将知识还原到客观实际中，让学生在丰富的现实情境中自主抽象定理的本质属性，也可以通过问题的变式，促使学生在原有认知结构上实现知识的迁移. 勾股定理作为一个千古名定理，在教学中有着非比寻常的意义. 教师在授课前，应结合学生实际认知水平进行问题情境的精心设计，力求快速带领学生进入探究状态.

问题1 如图1所示，这是2500年前，古希腊的著名数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时看到的地砖图案，他发现地砖上的直角三角形的三条边竟然存在着某种特殊的关系，我们也来观察一下，看看有什么发现.

设计意图 毕达哥拉斯从朋友家的地砖上发现直角三角形的奥秘，这是一个有趣且具有激励作用的历史故事，将这个故事放到课堂的起始环节，不仅具有激趣、唤醒的意义，还为勾股定理的探索提供了素材. 教师要求学生站到毕达哥拉斯的角度重新观察地砖，这从一定意义上来说，属于知识“再发现”的过程，学生从“形”出发，思考“数”的关系，这为数形结合思想的渗透奠定了基础.

探索此问题情境时，教师的主导作用着重体现在为学生提供探索素材与猜想的环境，为定理的形成奠定基础，而学生的探索在此情境中具有重要意义，这也是以学生为课堂主体的体现. 因此，这是一个有效激发学生自主创新的问题情境，是发现性学习的起点.

2. 形成猜想

探究1 将面积相关的结论转化为等腰直角三角形三条边的数量关系，可以怎么描述？（如图2所示）

探究2 图3是希腊发行过的邮票，该邮票的发行目的是为了纪念毕达哥拉斯，说说你从邮票的图案中发现了什么.

探究3 总结前两个探究问题会发现直角三角形的三条边存在一个共同特点，即两条直角边的平方和与斜边的平方和相等. 思考：是不是任何直角三角形，均具备这个特点？

探究4 如何验证这个结论的正确性？（借助几何画板探索）

设计意图 问题串的应用，让学生的认知经历发现与猜想的过程，思维实现从具体到抽象，由特殊到一般的逐层递进过程. 几何画板的介入，让课堂变得更加丰富，学生从直观的“形”中更容易理解直角三角形存在的数形关系.

此环节中，教师的主导作用有：①适当点拨，启发引导. 探究活动的开展，让学生经历了发现、猜想等过程. 当学生的思维出现障碍时，教师通过适当点拨与引导，启发学生思考，让学生明确探究的方向. ②营造氛围，鼓励猜想. 教师为学生创设了良好的学习氛围，鼓励学生通过自主探索进行大胆猜想.

学生的主体地位体现在：①学生从自身认知结构中提取与探究与活动相关的信息，自主探究新知. ②合作交流. ③勇于猜想，形成初步结论.

3. 验证猜想

所有的猜想都需要有理有据的论证过程去证实它，验证方法有很多，如实践操作、动态演示、理论证明等，这些方法都可以增强学生对知识的认识，尤其是自主操作模式，更容易激发学生对问题的探索欲.

问题2 如图4所示，勾三，股四，弦几何？此图带给你们什么启示？是否能借助此图来证明以上猜想？若能，请写明过程.

图片背景：这是我国数学家赵爽在《周髀算经》中提出的经典问题. 其中，勾、股分别指直角三角形中，稍短的直角边与较长的直角边，斜边为弦，该图简称“弦图”.

命题：若a，b分别是直角三角形的两条直角边，c是斜边，则a2+b2=c2.

设计意图 数学史的应用，能让学生充分感知数学文化，能引发学生从观察中尝试，从而培养学生的自主探究与合作交流能力. 同时教师还通过渗透转化思想，让学生将直角三角形的三边关系转化成面积关系，建立恒等式以获得命题.

活动1 已知四个全等直角三角形的两条直角边的长分别为a，b，斜边长为c，若将这四个三角形围成一个小正方形与一个大正方形，有几种方法？并根据拼图证明问题2中的命题. （学生的围法如图5所示）

活动2 如图6所示，按照图示方法剪裁该图形，请根据获得的图形证明问题2中的命题.

设计意图 教师以实践操作替代单一的讲授，不仅能激发学生对勾股定理的研究兴趣，还将学习的主动权交给了学生. 学生亲历动手过程，积累活动经验，感知知识的形成与定理的推理，有效地锻炼了思维的发散性与灵活性，为形成良好的数学思想方法奠定了基础.

教师的主导作用主要体现在以下几方面：①验证方法的点拨、操作、验算、演示等；②论证方法的点拨，引导学生对猜想结论进行论证；③必要时进行鼓励性评价.

学生的主体地位主要体现在：①亲自动手操作、实验，验证猜想的命题是否科学；②自主探索猜想的完整论证过程；③同伴交流，共享学习成果.

4. 归纳定理

从猜想的提出到命题的论证，学生的思维经历了从感性到理性的转化. 在此基础上进行定理的归纳就变得水到渠成了.

问题3 大家在以上教学环节都经历了猜想的论证过程，现在请大家对勾股定理进行归纳总结.

教师要求学生分别用文字语言、符号语言与图形语言来表达勾股定理，力求全方位理解该定理.

文字语言：略.

设计意图 从不同角度归纳、概括勾股定理，让学生亲身体验数学语言的精练、数学符号的抽象性与图形的直观性等，为接下来的定理迁移与灵活应用奠定了基础.

在定理教学中，教师不应急于带领学生进行实际应用，而应通过进一步的探讨深化学生对公式、定理的认识，如通过变式应用、公式变形等方式让学生从多维度对勾股定理形成更加客观、全面的认识.

此环节教师的主导作用有：①唤醒学生继续深入探究的欲望，进行激励性评价. ②引导学生用不同的方式来表达勾股定理. 学生的主体地位体现在：①锤炼对勾股定理的表述与主动识记. ②主动通过变式对勾股定理形成深入理解.

5. 例题教学

例题教学是定理教学的重中之重，教师可结合学生课堂反馈情况与教学目标，通过例题的精心选编与变式的应用，促进学生对定理本质的掌握，从而形成举一反三的解题能力.

问题4 分别求出图8中两个直角三角形一边的长x.

变式1 分别求出图9中x，y，z的值（即直角三角形一边的长）.

变式2 已知△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，求AB的长度.

变式3 已知Rt△ABC中，BC=8，AC=6，求AB的长度.

变式4 已知△ABC中两条边的长分别为6和8，能否根据这个条件求出第三条边的值？

设计意图 由浅入深的变式设计能让学生的思维经历从直观到抽象的转变过程. 变式涉及“直接引用—间接应用—构造应用”三个层次，变式间层次清晰，梯度明显，且环环相扣.

问题5 如图10所示，分别以一个直角三角形的三条边向外侧作正方形，记三个正方形的面积分别为S，S，S，那么结论S=S+S成立吗？

变式1 如图11所示，分别以一个直角三角形的三条边向外侧作等腰直角三角形，记三个等腰直角三角形的面积分别为S，S，S，那么结论S=S+S成立吗？

变式2 如图12所示，分别以一个直角三角形的三条边向外侧作半圆，记三个半圆的面积分别为S，S，S，那么结论S=S+S成立吗？

变式3 按照这种变式思路，还可以设计出怎样的问题？并说说这些问题的结论.

设计意图 问题5所展示的一组变式以图形的变化为主线，意在引导学生研究以直角三角形三边为边所扩展而来的几何图形面积间存在的关系.

此环节，教师的主导作用有：①精心设计针对性强、具有可探索性的变式问题，引导学生关注到勾股定理的应用. ②变式的提出，鼓励学生自主探索. ③要求学生结合变式规律进行编题. ④对勾股定理的应用技巧进行点拨与评价.

学生的主体地位体现在：①准确利用勾股定理解决问题，同时关注到多解的情况. ②主动研究变式，获得题组，扩大学习成效. ③积极参与编题，形成创新意识. ④边解题边总结，获得定理的应用技巧.

6. 课堂总结

问题6 数学家华罗庚认为：如果其他星球上真的有外星人存在，那么人类可应用“勾股图”与他们联系［2］. 联系本节课你们对勾股定理的理解，说说你们对勾股定理的认识.

学生主要做出以下几点总结：

（1）勾股定理源远流长

古今中外流传了五百多种证明勾股定理的方法，且广泛地应用在现实生活中，是数学世界的千古第一定理，在2002年还被选为第24届在北京举行的国际数学大会的会标.

（2）利用数形结合证定理

学生将几种常见的证明方法罗列到一起，展示勾股定理的证明过程，形成了良好的数形结合思想.

（3）勾股定理的数学美

如图13所示，通过对图形进行不断延伸，可形成无与伦比的勾股树，这充分体现了数学美.

设计意图 让学生在问题6的引导下，对勾股定理的文化、数学美，以及数学思想等进行总结分析，感知这千古第一定理的魅力，从而产生情感共鸣，培养探索精神.

此环节中，教师的主导作用体现在问题的提出上，而学生的主体地位表现在自主从不同角度总结勾股定理的特点，提炼勾股定理的本质特征.

教学思考

1. 情境创设要具有召唤作用

课堂中，学生的参与性并不完全是自发的，大部分时候需要教师结合学生的认知特征，创造一些情境渲染教学环境，为学生的积极参与搭建平台，以激发学生的学习兴趣，召唤学生学习的主动性，从而让学生觉得学习是一件愉快的事情.

本节课，教师从数学史出发，以毕达哥拉斯在朋友家做客时看到的地砖图案为情境，成功地激发了学生对知识探究的欲望，让学生不由自主地参与到勾股定理的研究中. 情境创设的过程，体现了教师在课堂中的主导作用，而学生对问题的思考、研究与探索，则体现了学生的主体地位.

2. 注重数学文化的渗透工作

教学除了传授知识与技能，还要注重培养学生的数学核心素养. 其中，数学文化的渗透是必不可少的环节，它对陶冶学生的数学情操，培养学生的数学审美具有重要影响. 本节课，教师通过大量数学故事与图案的引入，成功地激发了学生对数学文化的兴趣与对数学美的追求. 数学史料由教师提供，体现了教师的主导作用，而真正接纳知识、形成能力则展现了学生的主体地位.

3. 关注探究过程学生的参与性

教学不仅仅是促进学生认知发展的过程，还体现了一些社会化的元素［3］. 教学中，教师的讲授、学生的互动与交流对课堂的进展均具有重要的促进作用. 尤其是在合作交流中，学生用数学语言、数学符号、数学图形进行描述时，需清晰、完整，并与同伴的思维进行类比，力争对知识形成更深层次的理解.

总之，以“教师为主导，学生为主体”的教学是落实新课标的体现，是促进学生数学核心素养形成与发展的重要举措. 每一位教师都应积极地反思自身的教学行为，为学生创设更加优越的学习环境，以充分激发学生在课堂中的主人翁意识，促进教学相长.

参考文献：

［1］郑毓信. 数学教学的有效性与开放性［J］. 课程·教材·教法，2007（07） ：28 -32.

［2］裴昌根，宋乃庆，刘乔卉，牟少星.數学学习兴趣测评指标体系的构建与验证［J］.数学教育学报，2018，27 （02）：70-73.

［3］章建跃.数学学科自我监控能力研究［J］.心理发展与教育，1998 （04）：51-56.