【摘要】本文以教学三角函数这一典型的周期函数为例，论述将信息技术融入高中函数教学的策略：运用信息技术将抽象的知识可视化，快速且准确地呈现函数的图象，且为师生对比因参数变化导致的函数图象变化提供载体，引导学生在自主探索中获得新知并对所学知识进行迁移运用。

【关键词】信息技术 高中数学 三角函数图象

【中图分类号】G63 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2023）26-0095-04

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课程标准》）明确指出，随着现代科学技术特别是计算机科学、人工智能的迅猛发展，人们获取数据和处理数据的能力都得到了很大的提升，伴随着大数据时代的到来，人们常常需要对网络、文本、声音、图像等反映的信息进行数字化处理，这使数学的研究领域与应用领域得到极大拓展。在这样的背景下，数学教师有必要挖掘信息技术与数学教学的契合点，利用信息技术优化教学资源和教学设计，提高教师的教学水平和提升学生的学习能力。本文以教学人教版必修第一册第五章第6节“函数y=A  sin（ωx+φ）”（第一课时）为例，阐述在高中数学教学中运用信息技术的实践。

一、内容分析

课本从用三角函数刻画单位圆上以（1，0）为起点、以单位速度逆时针方向运动的点出发，引导学生思考可以用什么数学模型刻画古代水利灌溉工具——筒车上的点的运动，让学生经历数学建模的过程。通过类比得出可以利用三角函数模型y=A  sin（ωx+φ）刻画筒车的运动规律，借助信息技术，明确研究三角函数模型y=A  sin（ωx+φ）的思路。

以筒车为研究背景能够有效地将数学学习与生活实际联系起来，对数学建模具有重要的指导意义，同时以筒车匀速圆周运动模型来研究y=A  sin（ωx+φ）中的参数φ、ω、A对函数图象的影响，符合从特殊到一般的研究方法。

y=A  sin（ωx+φ）中有φ、ω、A三个参数，该如何研究？在信息技术的帮助下，师生可以按照研究问题的一般方法，即从简单到复杂、从特殊到一般，循序渐进地展开，跟随教材分别探索φ对y=sin（x+φ）图象的影响、ω（ω＞0）对y=sin（ωx+φ）图象的影响以及A（A＞0）对y=A  sin（ωx+φ）图象的影响。

二、学习目标

结合筒车运动的例子，分析匀速圆周运动涉及的各种量，并利用匀速圆周运动变化规律得出这些量之间的相互关系，进而抽象出函数y=A sin（ωx+φ）并能说出参数φ、ω、A以及变量x、y的物理意义。

会借助筒车匀速圆周运动和信息技术，探索φ对y=sin（x+φ）图象的影响、 ω（ω＞0）对y=sin（ωx+φ）图象的影响以及A（A＞0）对y=A  sin（ωx+φ）图象的影响。

三、教学评价

通过观察和借助信息技术播放筒车的视频，知道筒车上每一个盛水筒都做匀速圆周运动，知道用什么模型来刻画筒车的运动规律，且了解筒车半径、筒车转动角速度、筒车转动时间三者之间的关系。

能够借助筒车匀速圆周运动和信息技术，说出φ对y=sin（x+φ）图象的影响、 ω（ω＞0）对y=sin（ωx+φ）图象的影响、 A（A＞0）对y=A  sin（ωx+φ）图象的影响。

四、教学过程

（一）创设情境，引出新课

问题1：直角坐标系中单位圆O上一点，以动点A（1，0）为起点按逆时针方向旋转，旋转角为α，后到达点P，那么点P的坐标（x，y）可以用所学过的什么函数来确定呢？

学生根据前面所学知识，易知点P的坐标可以用旋转角α的相关三角函数x=cosα、y=sinα来表示。紧接着教师播放微课短视频，让学生观察动点以A（1，0）为起点，以角速度ω=1按逆时针方向旋转，经过时间t到达点P，然后教师提出问题：角α与时间t之间是什么关系？此时点P的纵坐标y与运动时间t之间又可以建立什么樣的关系呢？那么y是t的函数关系吗？

【设计意图】由已知推广到未知，让学生感受研究一般匀速圆周运动规律的必要性，让学生明确目标，激发学习兴趣。

（二）建立模型，提出问题

教师播放课前制作的微课短视频，视频描绘的是中国古代发明的一种灌溉工具——筒车的工作过程（如图1所示）。

问题2：为方便研究，我们假定在水流相对稳定的条件下，筒车转动近似匀速圆周运动，此时如果我们把筒车抽象为一个几何图形——圆，将每个盛水筒看作一个质点，请问你能否用一个数学模型来刻画盛水筒距离水面的高度与筒车运动时间之间的关系呢？

【设计意图】利用信息技术展示筒车的运动场景，让学生身临其境，直观感受筒车运动过程，然后让学生观察、思考，发表自己的观点。

通过观看微课视频，部分学生能抽象出几何图形（如图2所示）并建立相应的直角坐标系。在教师的提示下，学生统一以筒车旋转中心O为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，假定旋转中心O到水面的距离为h，筒车半径为r，筒车逆时针旋转角速度为ω，从初始位置P0旋转到终点位置P的时间为t，OP0为初始边、OP为终边的角为φ。

学生通过自主探究和合作交流，得出点P的纵坐标与上述变量之间的关系为y=r sin（ωx+φ），记为式子①，同时得出盛水筒距离水面的高度H与筒车运动时间t之间的关系为H=r sin（ωx+φ）+h，记为式子②。由于h是常量，因此我们要研究盛水筒运动规律时只需研究式子①的性质即可，为表述方便，我们研究形如y=A sin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的性质即可。

【设计意图】从筒车运动规律出发，建立三角函数模型，获得研究对象，培养学生的数学抽象素养。

（三）明确研究y=A sin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的思路

问题3：式子y=A sin（ωx+φ）（A>0，ω>0）中的参数较多，有A、ω、φ三个，我们如何开展研究呢？

学生已经学过正弦函数y=sinx的图象和性质，而当取A=1、ω=1、φ=0时y=A sin（ωx+φ）（A>0，ω>0）就变成了正弦函数y=sinx，因此可以从正弦函数y=sinx开始研究。接下来先研究三个参数A、ω、φ中的哪一个并没有什么特别的规定。教师结合学生熟知平移变换这一情况，引导学生先研究φ对函数y=A sin（ωx+φ）（A>0，ω>0）图象的影响，再研究ω对函数y=A sin（ωx+φ）（A>0，ω>0）图象的影响，最后研究A对函数y=A sin（ωx+φ）（A>0，ω>0）图象的影响，这样既符合知识的迁移规律，又符合学生的认知规律。

【设计意图】让学生掌握研究问题的基本思路：从简单到复杂、从特殊到一般。前面得出可以用y=A sin（ωx+φ）（A>0，ω>0）刻画筒车运动模型，为更好地了解筒车运动的规律，需要研究函数y=A sin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的性质。对A、ω、φ赋值我们发现，当A=1、ω=1、φ=0时，复杂的三角函数y=A sin（ωx+φ）（A>0，ω>0）就变成了正弦函数y=sinx，学生是熟悉正弦函数的性质的，在此基础上依次深入研究不同参数，符合学生的认知发展规律，也符合研究问题的基本思路。

（四）探索φ对y=sin（x+φ）图象的影响

为让学生直观感受φ对y=sin（x+φ）图象的影响，笔者提前借助信息技术制作微课，用动画展示盛水筒运动轨迹，当取A=1、ω=1时，动点M在以O1为圆心的单位圆上以单位角速度逆时针旋转。当取φ=0时，此时动点M从点Q0逆时针匀速出发，时间x为横坐标，高度为纵坐标，把相应的点（x，y）描出来，就得到虚线所示曲线，当动点一直在圆周上逆时针旋转时，虚线曲线也会一直往x轴正方向重复出现；当取[φ=π6]時，此时动点M从点Q1逆时针匀速出发，重复上面的操作就会得到如图3所示的实线曲线。

为让学生获得更直观的感受，教师邀请几名学生到讲台上，借助信息技术感受分别当[φ=-π/6]、[φ=π/3]、[φ=-π/3]时，动点按逆时针方向旋转所对应点（x，y）的轨迹。

学生观察和操作后得出结论：函数y=sin（x+φ）的图象是由y=sinx向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位得到的。

数学来源于生活又应用于生活，此时教师在课堂上继续追问：这些不同的φ值相当于筒车当中的什么呢？通过思考，大部分学生都能回答出：这些不同的φ值相当于筒车中盛水筒的初始位置所对应的角度大小。

【设计意图】让学生借助信息技术感受当φ取不同值时函数y=sin（x+φ）图象的变化，得出φ对函数y=sin（x+φ）图象影响的一般规律：函数y=sin（x+φ）的图象是由y=sinx向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位得到的，发展学生的观察能力与总结归纳能力。

（五）探索ω（ω>0）对y=sin（x+φ）图象的影响

同前面探索φ对y=sin（x+φ）图象的影响的过程一样，教师先借助多媒体进行演示。当ω=1时，对函数y=sin（x+[π/6]）而言，动点M从Q位置出发，经过x s到达点P，则点G（x，y）在y=sin（x+[π/6]）的图象上；而当ω=2时，对函数y=sin（2x+[π/6]）而言，动点M从Q1位置出发，只需要经过[x2] s即可到达点P，因此点K（[x2]，y）在y=sin（2x+[π/6]）的图象上（如图4所示）。学生观察后可以得出如下结论：只需要把y=sin（x+[π/6]）的图象压缩为原来的[12]即可得到y=sin（2x+[π6]）的图象。

随后，教师让学生借助信息技术操作并思考，当ω=[1/2]、ω=3、ω=[1/3]时，y=sin（[1/2]x+[π/6]）、y=sin（[3]x+[π/6]）、y=sin（[1/3]x+[π/6]）的图象和y=sin（x+[π/6]）的图象相比较有哪些变化。

通过观察与讨论，学生归纳出下列一般性的结论：函数y=sin（[ω]x+φ）的图象是由y=sin（x+φ）的横坐标伸长（[ω]<1）或缩短（[ω]>1）为原来的[1ω]个单位、纵坐标不变得到的。

在筒车运动的实验中，[ω]体现的是筒车上盛水筒逆时针旋转的速度。借助信息技术得出结论之后仍需要用结论来检验生活中的事实是否符合研究结果。

【设计意图】教师首先利用信息技术出示函数y=sin（x+[π/6]）和y=sin（2x+[π/6]）的图象，引导学生比较并归纳得出结论，然后让学生自己用信息技术分别作出当ω=[1/2]、ω=3、ω=[1/3]时的函数图象并对以上所有图象进行比较，总结得出ω对y=sin（[ω]x+[π/6]）图象影响的一般结论，发展学生的观察能力、动手能力以及总结归纳能力。

（六）探索A（A>0）对y=A sin（[ω]x+φ）图象的影响

师生已经探索了φ对y=sin（x+φ）和[ω]（[ω]>0）对y=sin（[ω]x+φ）图象的影响，都是借助信息技术手段和运用从特殊到一般的研究方法归纳得出结论的。接下来可以利用同样的方法，探索A（A>0）对y=A sin（[ω]x+φ）图象的影响。

教师先借助信息技术在坐标系中画出函数y=sin（2x+[π/6]）的图象，在这个图象中单位圆O1上的点Q1以[ω]=2的角速度逆时针旋转x s到点P，则坐标K（x，sin（2x+[π/6]））在函数y=sin（2x+[π/6]）图象上。此时以O1为圆心，作一个半径为2的圆，射线O1Q1与此圆相交于点T1，T1在该圆上以[ω]=2的角速度逆时针旋转x s到点T，则坐标N（x，2sin（2x+[π/6]））在函数y=2sin（2x+[π/6]）图象上（如图5所示）。此时，教师继续利用信息技术在直角坐标系中画出函数y=[12]sin（2x+[π/6]）、y=3sin（2x+[π/6]）、y=[13]sin（2x+[π/6]）的图象。

学生通过观察、类比、归纳等方法，得出如下一般性结论：函数y=A sin（[ω]x+φ）的图象是由y=sin（[ω]x+φ）纵坐标伸长（A>1）或缩短（A<1）为原来的A倍、横坐标不变得到的。

【设计意图】学生经历了探索φ对y=sin（x+φ）图象的影响和探索ω（ω>0）对y=sin（ωx+φ）图象的影响的过程，探索A（A>0）对y=Asin（ωx+φ）图象的影响对此时的他们而言比较简单，因此教师利用信息技术软件演示y=sin（2x+[π/6]）、y=[12]sin（2x+[π/6]）、y=3sin（2x+[π/6]）、y=[1/3]sin（2x+[π/6]）的图象，让学生观察、归纳总结即可得出一般性结论。

五、教学反思

数学抽象是数学学科核心素养之一，高中数学知识大多比较抽象，高中生尤其是高一年级学生的抽象能力有限，在不借助任何工具的情况下，相当一部分学生难以学好高中数学。为了让学生更加深入地学习函数y=Asin（ωx+φ）的相關知识，教师运用信息技术手段，促进学生思考，发展了学生的数学学科核心素养。本节课，将信息技术融入数学课堂教学的优势主要体现在以下两个方面。

（一）重视数学情境，激发学习兴趣

教育必须与生产劳动和社会实践相结合，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人。数学学习不能只重视知识和技能的学习，数学教师也不应该只做“教书匠”。本节课教师通过制作短视频，以古代发明的水利灌溉工具——筒车为背景引入课题，引入环节生动形象，贴近社会生产劳动实际，说明数学来源于生活的同时又应用于生活，教师在课堂上结合情境提出恰当问题，学生根据情境找到解决问题的方法，帮助学生更深入地认识和理解数学，激发了学生学习数学和探究数学的兴趣。

（二）重视数学思维，发展核心素养

教学中研究参数A、ω、φ对函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）图象的影响时，教师先引导学生根据筒车运动情境探讨参数研究顺序，虽然学生提出了不同的研究顺序，但在信息技术的辅助以及教师的点拨下，学生最后得出一致的研究思路：先研究参数φ对函数y=sin（x+φ）图象的影响、再研究参数ω（ω>0）对函数y=sin（ωx+φ）（ω>0）图象的影响、最后研究参数A（A>0）对函数y=A sin（ωx+φ）（A>0，ω>0）图象的影响，这样符合从已知到未知、从简单到复杂、从特殊到一般的研究方法，最后抽象归纳出筒车运动规律模型的研究思路，丰富学习经验，发展核心素养。

总之，信息技术融入高中数学课堂教学已是必然，新时代教师除了提高专业技术水平，还要学习信息技术等知识来辅助教学，不断优化教学，使教育真正为社会主义现代化建设服务、为人民服务，落实立德树人根本任务。

参考文献

［1］章建跃.核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］.上海：华东师范大学出版社，2021.

作者简介：左国云（1981— ），广西凌云人，本科，学士，高级教师，主要从事高中数学教学研究。

（责编 刘小瑗）