任 虹（北京第一师范学校附属小学）

课堂教学过程既是一种共同体的组织和生活过程，又是一个真实的问题解决和实践过程，这个过程是发展学生核心素养的过程。而数学素养，是人们通过数学学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所具备的品质，通常是人们与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略。

一、经历“数学化”学习过程的意义

目前的常态教学，重结论轻过程的现象仍然比较凸显。许多教师认为让学生经历学习的过程没有得到结论重要，课堂教学的目的就是为了获得最终的结论。例如，在教学图形测量内容时，仍存在不同程度的教师讲、学生记，认为能够记住图形面积、体积的计算公式很重要，应用时学生只是一味地套用公式，只“知其然”，而“不知其所以然”。这种以学生记忆、模仿为主的教学方式，忽略了学生的数学理解，让学生逐步失去对数学学习的兴趣。这样的教学过程不能培养出学生的必备品格和关键能力，不能发展学生的核心素养！

经历“数学化”学习过程顺应了知识的探索过程。借鉴弗赖登塔尔的“数学化”学习过程，即让学生经历水平数学化和垂直数学化的学习过程。在这个过程中提倡数学教育要联系学生的两个现实，即学生的客观现实和数学现实。客观现实是指学生熟悉的日常生活中的具体事物和从其他学科学习到的经验；数学现实指的是学生已有的反映客观世界的各种数学概念、运算方法、规律的数学知识结构。这两个现实正是发现问题、解决问题的过程。数学概念、公式、运算方法等都属于数学结构性知识，它们都是静态的知识。静态的知识有着动态的形成过程，因为它们是数学家经过不断探索形成，这个探索的过程无论对培养学生的必备品格和关键能力都有重大的意义。

经历“数学化”学习过程可以发展学生的核心素养。数学课程要培养的学生核心素养，主要包括三个方面：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。由此可见，数学的学习过程要帮助学生养成从数学角度观察现实世界的意识和习惯，形成实事求是的科学态度，养成讲道理、有条理的思维品质，逐步形成理性精神。

“数学化”学习过程致力于学生思维能力的发展和学习方法的掌握，鼓励学生去探索，通过动手实践去获取知识，在实践中培养应用意识、达成共同理解、加强与同伴之间的交流，利用获得的数学思想、方法，解决生活中的问题。教师以知识的形成过程为线索，从中锻炼思维、提升能力、锤炼品格。由此可以看出，数学化的学习过程是发展学生核心素养的有效路径。

二、探索“数学化”教学路径

“数学化”过程顾名思义就是要让学生经历知识的发生、发展过程，在主动探究的过程中培养学生数学思维获得研究的方法，积累研究的经验，提高分析问题、解决问题的能力，促进学生的可持续发展。参考弗赖登塔尔的“数学化”理论，探索出课堂教学实施路径。

该路径主要让学生经历三个数学化的过程。首先是水平数学化，将生活问题转化成数学问题；然后是垂直数学化，利用数学思想、方法进行探索、研究，得出结论；最后又回归水平数学化，利用研究的结论解决生活问题。

教师要引领学生经历发现问题、探索问题的过程，从中获得思想、方法，提高研究的能力，积累研究的经验，最后再解决生活中具体问题，体验数学的应用价值。

三、实践“数学化”教学路径

（一）建立生活联系，经历水平“数学化”过程

对接学生的生活经验，建立生活与数学联系，让数学研究更有价值，同时增进学生学习数学的兴趣。

在学习“长方形、正方形的面积”这一内容时，我将它融入生活中的装修情境中，借助生活经验理解情境逐步抽象出数学问题。

为了让居住环境更漂亮，准备给小明家的电视背景墙铺上壁纸。选好壁纸后，找到了一家专业的铺壁纸公司，收费标准40 月/m2。

师：看到收费标准，你会想到什么？

生：小明家电视墙有多大和最后一共付的总价。

师：这两个问题之间有关系吗？

生：电视背景墙的大小决定了最后应付的总价。

师：看来电视背景墙的大小问题很重要，你认为这是数学中的什么问题？

生：是长方形的面积问题。

生：或者是正方形的面积问题。

数学为人们提供了一种认识和探究现实世界的观察方法。在不断抽象出数学问题过程中，学生用数学的眼光观察世界，将数学知识与生活世界建立联系，实现数学知识与生活经验的沟通，这就是水平数学化的过程。这个过程让学生感受到学习数学的意义，拉近了数学与生活的距离，增进了学习数学的热情。学生经历数学知识的产生过程就是数学抽象的过程，这个过程伴随着思维的逻辑性，逐步养成从数学角度观察现实世界的意识和习惯，发展好奇心、想象力和创新意识，促进了核心素养的形成。

（二）贯通方法联系，经历垂直“数学化”过程

数学是培养人的理性思维。张奠宙先生这样解读数学理性：独立思考，不迷信权威；尊重事实，不感性用事；思辨分析，不混淆是非，严谨推进，不违背逻辑。看来，理性思维对培养学生的核心素养意义重大。如何让学生获得“长方形的面积=长×宽”的结论？如何帮助学生在数学知识的探索过程中培育理性思维？教育家苏霍姆林斯基曾说“儿童的思维就在手指尖”。

笔者为学生提供了3 个大小不同的长方形，并提出了合作探究的问题：这3 个长方形的面积是多少？用你喜欢的方法进行研究。根据学生已有的学习经验，产生了三种方法。方法（1）将面积单位铺满，数出面积单位个数；方法（2）摆一行一列，用每行面积单位个数×行数=面积单位总个数；方法（3）用直尺测量长和宽，长×宽=长方形面积。在动手操作中理解“面积”的本质。这三种方法呈现了学生已有认知发展过程，从单一的用面积单位一个一个量得出度量结果，发展为寻找元素关系得到度量结果，它们本质是相同的，即度量图形中包含多少个面积单位。

在辨析中沟通联系，培育学生的理性思维，提升思维的深刻性。在比较方法（1）和方法（2）时，学生很快发现，虽然方法（2）没有摆满，方法（1）摆满了，但是本质是一样的，都是用相同面积单位量；不同的是方法（1）是数出面积单位的个数，方法（2）是算出面积单位个数，相比方法（2）更加简便。

方法（2）和（3）的联系比较隐蔽，对学生来说比较难观察，需要经历数学抽象、数学推理、数学建模的过程。在这个过程中，教师要充分发挥主导作用，给学生营造主动质疑的学习氛围，让学生有话敢说、有话能说、有话会说。

师：对比“长×宽=长方形面积”与“每行个数×行数=面积单位个数”两种方法，结果是一样的，你有疑惑吗？

生：为什么结果是一样的？是巧合吗？

此时，有的学生感觉这不是巧合，但又不知所云，这就需要我们为学生深度思考推波助澜。

师：是巧合吗？我们再来算算另外两个长方形的面积，看能不能解开这个迷谜。

师：两种方法的计算结果依然相同，你还认为是巧合吗？

生：我认为应该是巧合。一种是用面积单位“小正方形”去量，一种是用直尺去量，一个是面积单位一个是长度单位，单位不同，怎么会一样呢？

师：对呀！怎么会一样呢？看来还是数据巧合！

生：不是巧合！我们已经知道边长为1 厘米的正方形面积是1 平方厘米，因此，每个小正方形的边长都是1 厘米。第一幅图中一行有5 个小正方形，说明长是由5 个1 厘米组成，一列有3 个小正方形，说明宽是由3 个1 厘米组成；所以一行有几个1 平方厘米，长是几厘米，有这样的几行，宽是几厘米。

此时的学生恍然大悟，发现：长度代表的是面积单位的个数。理性的思考过程就是垂直数学化的过程。用数学的思维思考现实世界，借助数学抽象与数学推理，凸显度量本质，促进学生对长方形面积计算方法的深度理解。数学思考的过程中，离不开数学语言的表达。通过严格的逻辑分析，揭示内在的关系，这种严谨、求真的理性思维，这种批判质疑的学习品质，是学科育人的过程，是发展核心素养的关键。

（三）迁移研究经验，回归水平数学化

数学知识之间关联性强、系统性完整，这使数学学习有较高的可迁移性。学生自主完成正方形面积的推导，表达结论的过程，是对学生学习方法、研究经验的检验。

师：根据我们的研究经验，你认为正方形面积的计算方法是什么？

生：正方形的面积=边长×边长。

师：为什么？你能具体说说吗？

生：长方形的长相当于正方形的边长，长方形的宽相当于正方形的边长。根据长方形面积=长×宽，得出正方形面积=边长×边长。

师：你将长方形与正方形建立了联系，根据长方形面积的计算方法推理得出了正方形面积的计算方法。还可以怎么得到正方形的面积呢？

生：我将正方形的边长与每行个数和行数建立联系，因为每行个数和行数相等，所以边长×边长=正方形面积。

在迁移中，学生感悟到了数学学科特有的理性与逻辑、变化与发展、辩证与统一。按照数学化的实施路径，最后回到水平数学化“解决电视墙的面积问题”，完成探究任务，形成闭环。

《长、正方形的面积》一课关键在于对学生度量意识的培养和对图形结构化的认识，通过“数学化”教学路径很好的得以实现。学生在“数学化”的学习活动中，能够主动将生活问题转化成数学问题，在探索中能够运用比较、找联系的方法，在新旧知识之间建立联系，在单位化的过程中，发展量化的数学思想。应该说数学化的教学路径很好地实现了“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”核心素养培育目标。