马 果 ,张云云 ,贾 晓 ,汪 宝

(1.南阳理工学院数理学院 河南 南阳 473004;2.南阳理工学院信息工程学院 河南 南阳 473004)

里德堡原子具有很高的电子跃迁轨道,因此它具有能级寿命较长、半径尺寸较大、谱线宽度较窄、极化率较大等特点[1];并且里德堡原子间存在强的相互作用,从而可以产生激发阻塞效应。这些特点使得里德堡原子成为研究的热点,在半导体物理、表面物理、光谱学以及量子信息、量子计算[2,3]等众多领域中都扮演着极其重要的角色;除此之外,由于里德堡原子自身的奇异特性,使得它产生的电磁感应透明(EIT)效应更是具有区别于一般EIT的重要特点,从而里德堡原子在量子纠缠、量子逻辑门[4]、单光子源制备及其量子精密测量[5]等领域有非常广泛的应用前景。

能级寿命作为里德堡原子的基本属性之一,可以提供能级信息,进而反映原子结构,在原子结构理论、激光同位素分离、天体光谱分析、气体放电等众多领域存在广泛应用[6]。处于高激发里德堡态的碱金属原子是一种类氢原子,结构相对简单,其能级辐射寿命的理论研究可以为相关实验测量提供参考数据,本文以Na原子为例,基于Marinescu提出的单电子模型势[7]公式,采用数值积分计算了Na原子高n里德堡态的径向矩阵元,进而计算了Na原子在不同温度下高n里德堡态的辐射寿命。

1 理论模型

1.1 Na原子里德堡态能级

里德堡原子的能级可以根据里德堡公式[8]进行计算。

(1)

式(1)中的n、l、j分别为主量子数、轨道角动量量子数和总角动量量子数;Ry=(me/m+me)R∞为里德堡常数,其中me为电子质量,m为原子实的质量;δn,l,j表示量子数亏损,可通过经验公式求得[9]。

(2)

其中δ0,δ2,δ4…是通过拟合实验精确测量原子能级得到的Rydberg-Ritz关联系数[9]。对于Na原子而言,图1给出了不同量子态的量子数亏损。从图1中可以看出,对于Na原子而言,当轨道角动量量子l一定时,量子数亏损随n的变化并不明显。

图1 Na原子的量子数亏损

1.2 里德堡原子波函数

基于Marinescu提出的单电子模型势[7],忽略Na原子的自旋轨道耦合,采用原子单位制,系统的哈密顿量可以表示为

(3)

其中V(r)即为单电子的模型势,这里采用Marinescu提出的核心电势的表达式

(4)

Zl(r)=1+(z-1)e-a1r-r(a3+a4r)e-a2r

(5)

式(5)中a1、a2、a3、a4是和轨道量子数l相关的模型化参数[7],其数值如表1所示。

表1 Na原子单电子模型势的参数

为计算Na原子的寿命,需要计算定态薛定谔方程的径向跃迁矩阵元,对于能量本征值为E的本征态ψ(r)而言,满足方程(6)

(6)

由于势场V(r)为中心势场,因此上述方程的解在球坐标系下展开可以表示为

(7)

(8)

根据上述径向方程和里德堡能级的信息即可数值计算相应的径向波函数。

1.3 径向波函数的数值求解

(9)

其中,函数g(x)的表达式定义为

(10)

[1-T(x+h)]X(x+h)+[1-T(x-h)]X(x-h)=

[2+10T(x)]X(x)+o(h6)

(11)

1.4 Na原子里德堡态的能级寿命

Na原子的能级寿命取决于爱因斯坦自发辐射系数[12]和黑体辐射[13]的影响。

(12)

其中Γ0为绝对温度下,不考虑黑体辐射的影响时,爱因斯坦自发辐射对原子能级寿命的贡献。

(13)

其中A即为从能级|nl〉向能级|n′l〉跃迁时的爱因斯坦自发辐射系数,可以根据偶极跃迁矩阵来确定。

(14)

(15)

由于里德堡原子能级间隔很小,黑体辐射会对能级寿命带来一定的影响。式(10)中ΓBBR即为一定温度下,黑体辐射的贡献。根据普朗克黑体辐射公式,可得辐射光子的能量分布为

(16)

结合上式(14)、(16)即可得到

(17)

对上式(17)求和的过程中,n′,l′也包括在能量上更高的状态,因为黑体辐射可以驱动这些跃迁的发生。

2 结果分析

图2 以Na原子30S1/2→nP1/2,3/2的跃迁为例,自发辐射()和黑体辐射()对能级寿命的贡献。

根据(12)至(17)式,可以计算Na原子不同能级的寿命,图3给出T=0 K,T=30 K,T=100 K和T=300 K时,能级寿命随主量子数n的变化,可以看出,温度一定时,能级寿命随量子数n的增大而增大。图4给出了确定里德堡态下,温度对能级寿命的影响。可以看出,主量子数n越大,能级寿命受温度的影响越大,当主量子数n比较小时,能级寿命随温度的变化极小。

图3 不同温度下量子数n对Na原子能级寿命的影响

图4 不同里德堡态,温度对Na原子能级寿命的影响

3 总结

基于单电子模型势,采用数值积分计算了Na原子的能级波函数,以此可以求得不同能级间跃迁的偶极矩阵元,Na原子能级寿命的计算,同时考虑了原子的自发辐射和黑体辐射。经过数值计算,分析了温度和主量子数对能级寿命的影响,并发现:(1)特定温度下,能级寿命随主量子数n的增大而增大;(2)对于主量子数n较小的里德堡态,能级寿命随温度的变化很小;(3)对于主量子数n较大的里德堡态,能级寿命受温度的影响较大,并随温度的增大而减小。