摘 要：阅读叔本华的哲学名著《人生的智慧》，梳理书中的数学元素，得到启示：数学与哲学的联系为落实数学学科德育构建了路径，为数学教学中设置留白活动提供了参照。

关键词：《人生的智慧》；数学哲学；学科德育；教学留白

在历史上，数学与哲学有着紧密的联系。哲学家总是被数学吸引。据说，柏拉图学院在入口处刻着以下警句：“不懂几何者勿入。”在大规模学科分科之前，很多数学家也是哲学家，如笛卡儿、罗素等。当代数学哲学家夏皮罗（S.Shapiro）认为，有多种理由将数学与哲学联系起来：第一，它们都属于为理解我们周围世界所做的最初的理智上的尝试；第二，数学是哲学家一个重要的研究案例；第三，数学几乎在所有以理解物质世界为目的的科学中都扮演着核心的角色。［1］

近期，笔者阅读了著名哲学家叔本华（A.Schopenhauer，1788—1860）的哲学名著《人生的智慧》，试图在获得人生的智慧启迪的同时，探寻数学与哲学的联系，得到关于数学教育的启示。

一、 叔本华与《人生的智慧》

叔本华诞生于但泽（今波兰的格旦斯克）的一个异常显赫的富商家庭。他自小就跟随父母周游列国。在上大学之前，从15岁到17岁，更专门游历了欧洲国家，在各种不同的语言、文化氛围中实地接受熏陶。叔本华在哥廷根念大学的前两年里，学习了物理学、矿物学、自然历史、植物学，也旁听了生理学、天文学、气象学、人种学、法学的课。他留下来的笔记本密密麻麻地写满了他对听课内容的肯定、否定、质疑、感想。广泛、深入的知识为他以后成为哲学家铺垫了必不可少的基础。

叔本华很早就显现出超群的思想能力，25岁左右就完成了哲学名篇《论充足根据律的四重根》，而为他奠定不朽哲学家地位的著作《作为意志和表象的世界》也是在29岁前完成的。

1820年1月，叔本华获得了柏林大学讲师的资格。1833年6月，45岁的叔本华在德国的法兰克福安顿了下来，直到72岁去世。

叔本华一生并不得志，一直过着隐居的生活，到去世前几年才获得应有的声誉。但他从不怀疑自己的天赋使命，而是坚信自己思想的价值，他高傲、坚韧的性格也导致他对待真理的问题完全不可能有妥协。

从早年起，他就笔耕不辍，随时把自己的思考记录下来，并整理成著作。

到1844年，叔本华已经写下讨论广阔话题的文章。他希望出版商能把扩充了内容的《作为意志和表象的世界》再版发行。但是，鉴于这本著作第一次出版遭受的冷遇，出版商热情不大，最后只是很不情愿地出版了两册本的扩充本。

到1850年，叔本华一生中的最后一部巨著《附录和补遗》终于完成。费尽周折、经历耽误和失望之后，他的密友和崇拜者弗劳恩斯塔德终于成功说服柏林一家出版商把这两册著作付梓出版，印数只有750本。《人生的智慧》一书取自《附录和补遗》，它其实是独立成书的。这本书讨论的话题与我们的世俗生活十分接近，如健康、财富、名声、荣誉和待人接物所应遵守的原则等。正如叔本华所说，在这本书里，他尽量从世俗、实用的角度考虑问题。因此，这本书尤其适合大众阅读。［2］

二、 《人生的智慧》中的数学元素

在《人生的智慧》中，叔本华借助诸多数学概念与性质，充分阐释了其哲学思想和观点。以下做简要的梳理。

（一） 分数与财富

在数学中，分数mn的大小是由分子m和分母n的大小共同决定的。叔本华从分数的这一性质入手，阐述了其对财富的看法：

一个人在拥有财产方面能否得到满足并不由某一财产的绝对数量所决定。这其实取决于一个相对的数量，也就是说，由一个人所期待得到的财产和自己已经实际拥有的财产之间的关系决定。因此，仅仅考察一个人的实际拥有毫无意义，这种情形就犹如在计算一个分数时，只计算分子而忽略了分母一样。当对某样东西的要求还没有进入一个人的意识的时候，这个人完全不会感觉到对它有所欠缺。没有这样东西，他照样心安理得。但一个拥有百倍以上财产的人，只要他对某样东西产生了要求，而又得不到它，那他就会感到怏怏不乐。［3］

这里，叔本华通过分数的大小说明：人们需要给自己对财富获取的欲望界定一个限度，否则，就难以摆脱人生的匮乏和操劳。

（二） 正比例与社交

在数学中，如果两个量的比值总是一定的，我们就说，这两个量成正比例。叔本华利用正比例关系，论述了其对社交的认识：

在独处的时候，每个人都只能返求于自身，这个人的自身拥有就会暴露无遗。因此，一个愚人背负着自己可怜的自身——这一无法摆脱的负担——而叹息呻吟。而有着优越精神思想禀赋的人却以其思想使所处的死气沉沉的环境变得活泼和富有生气……我们可以发现：大致而言，一个人对与人交往的热衷程度，与他智力的平庸及思想的贫乏成正比。［4］

这里，叔本华通过正比例关系说明了丰富的精神思想的可贵，否则，即使热衷于与人交往，也不能填补内心的空虚。

（三） 反比例与学习

与正比例相反，当两个量的乘积总是一定时，我们就说，这两个量成反比例。关于社交，叔本华还从另一个角度说明了其与年龄的关系：

我们的年龄和我们对社交的热衷程度成反比——在这里，我们还可以发现哲学上的目的论发挥了作用。一个人越年轻，他就越需要在各个方面学习。这样，大自然就为年轻人提供了互相学习的机会。人们在与自己相仿的人交往时，也就是互相学习了。在这方面，人类社会可被称为一个庞大的贝尔·兰卡斯特模式的教育机构。一般的学校和书本教育是人为的，因为这些东西远离大自然的计划。所以，一个人越年轻，他就越感兴趣进入大自然的学校——这合乎大自然的目的。［5］

由此可见，叔本華没有完全否定社会交往的作用，他利用反比例关系说明了年轻人社交的重要性，鼓励年轻人在获得丰富的精神世界之前，通过交往来促进互相学习。

（四） 圆与自控

在数学中，圆是一类基本图形。叔本华利用圆心、半径与周长的关系，说明了其关于自控的思考：

当然，能够自如地支配自己，自我约束是必不可少的——要做好任何事情莫不如此。为达到这一目的，我们必须强化这一想法：每个人都必须承受许许多多来自外在的艰难制约，没有了这些制约，生活也就不称之为生活了。对自己适时的小小约束会在以后的日子里避免许多外在的桎梏，这正如在一个圆圈里，紧靠着圆心的小圆圈对应着圆周圈，后者经常比前者大上百倍以上。约束自己比任何其他手段都更有效地使我们避免了外在束缚。［6］

这里，叔本华利用圆的特征说明了自我约束的重要性：与其抵御来自外界的如同圆周般巨大的制约，不如对自己的内心施加一些小小的约束。

（五） 周期性与生活

在数学中，周期性被用来刻画“周而复始”的变化规律。叔本华基于“周期”这一概念，提出了著名的“人生钟摆说”：

痛苦和无聊是人类幸福的两个死敌。关于这一点，我可以做一个补充：每当我们感到快活，在我们远离上述一个敌人的时候，我们也就接近了另一个敌人，反之亦然。所以说，我们的生活确实就是在这两者中或强或弱地摇摆。这是因为痛苦与无聊之间的关系是双重的对立关系。一重是外在的，属于客体；另一重则是内在的，属于主体。外在的一重对立关系其实也就是生活的艰辛和匮乏产生痛苦，而丰裕和安定就产生无聊……而内在的或者说属于主体的痛苦与无聊之间的对立关系则基于以下这一事实：一个人对痛苦的感受能力和对无聊的感受能力成反比，这是由一个人的精神能力的大小所决定的。［7］

以上观点指出，人们的生活在痛苦和无聊之间重复着周期性的运动。因此，大多数人认为叔本华的观点过分悲观。实际上，叔本华进一步指出，这种周期性的运动是由于人内在的空虚所导致的，一个精神富足的人能够走出人生的钟摆，从而使得自身始终处于一种平衡的状态。

三、 对数学教育的启示

《人生的智慧》一书表明，夏皮罗的论述可以进一步扩展为“数学在以理解人生与世界为目的的哲学中扮演着重要的角色”。同时，数学与哲学之间的联系，也给中小学数学教育带来了一些启示。

（一） 數学与哲学的联系，为落实数学学科德育构建了路径

立德树人是当今教育的根本任务。如何在教学过程中落实立德树人，是数学教育研究的重要课题。

在《人生的智慧》一书中，数学元素蕴含了丰富的德育内涵。在理性方面，叔本华教导人们，学会对自我的约束和控制，将对外部物质条件的追求限定在合理的程度。在情感方面，叔本华劝诫大家，增加对精神思想的追求，因为那才是真正高级的乐趣——最好是“老老实实地走进学问的天地中”，享受如“江上的清风与山间的明月”般取之不尽、用之不竭的人类精神财富（知识宝藏）［8］。在品质方面，叔本华更是提到了多种需要培养的优良品质，包括克制、好学、自省等。特别地，叔本华一直强调人的幸福主要来自自身丰富的精神世界。在数学教学中渗透这一思想（这样的数学价值观），有利于彰显数学的内在价值，帮助学生克服浮躁和功利的心态，从而专注于对数学的纯粹思考与学习。

（二） 数学与哲学的联系，为数学教学中设置留白活动提供了参照

在书画艺术创作中，留白是指为使整个作品的画面、章法更为协调、精美而有意留下相应的空白，留有想象的空间。随着我国的课堂教学从被动学习到主动学习的转向，教学留白逐渐成为教育改革的重要理念之一。

在数学教学中，留白具有多种表现形式。其中，超越知识自身、指向思想和精神目标的“白”被称为“超越之白”，而用数学来思考人生是“超越之白”的高层次体现。［9］《人生的智慧》一书中，无处不彰显着叔本华对数学与人生的思考。基于这些素材，我们可以在数学教学中更好地设置“超越之白”的留白与补白活动。比如，学生学习“正比例”后，教师可以提问学生：生活中的哪些事物存在正比例关系？学生畅所欲言之后，教师可以进一步强调：各位同学的努力与成绩、思想与幸福也有正比例关系。如此，鼓励学生努力学习、提升自我。

（三）数学教师发展的方向

随着基础教育课程改革的深入发展，无论是创新育人方式，还是发展学生的核心素养，都有赖于跨科学内容的教学。［14］随着STEM教育、创客教育等跨学科教育深入基础教育领域，教师的教学胜任力发生了从学科教学素养向跨学科教学素养的进阶式转变。［15］从以上内容中可以发现，数学与哲学的联系，为数学教师提升跨学科素养指明了方向。

在数学教师专业发展活动中，可以针对数学教师跨学科素养的提升设置多样化的活动。以叔本华《人生的智慧》为例，教师教育者可以将叔本华作为跨学科学习的榜样，强调正是叔本华对物理学、自然历史、天文学、法学等不同学科的广泛涉猎与思考为他之后的哲学研究提供了必不可少的基础，从而增强教师的跨学科意识。同时，可以组织数学教师采用阅读分享的方式，交流《人生的智慧》中的数学元素——这正是叔本华提倡的自然的学习方式。此外，还可以带领数学教师开展相关的课例研究，有意识地将《人生的智慧》中的数学元素融入日常的数学教学中，从而促进数学学科德育的落实以及数学教学中“超越留白”活动的设置。

最后需要指出的是，本文主要以叔本华的《人生的智慧》为例，说明了数学与哲学的联系。其实，仍有众多哲学家及其哲学著作有待进一步挖掘。相信随着未来相关研究的逐渐增多，必将为中小学数学教育的跨学科融合提供更多的启示及借鉴。

参考文献：

［1］斯图尔特·夏皮罗.数学哲学——对数学的思考［M］.郝兆宽，杨睿之，译.上海：复旦大学出版社，2009： 56.

［2］［3］［4］［5］［6］［7］叔本华.人生的智慧［M］.韦启昌，译.北京：中央编译出版社，2011：17，20，2223，4546，167，179.

［8］张五常.吾意独怜才——五常谈教育［M］.北京：中信出版社，2010：86.

［9］王华，汪晓勤.中小学数学“留白创造式”教学——理论、实践与案例［M］.上海：华东师范大学出版社，2023：7981.

（沈中宇，苏州大学数学科学学院，博士后。《中学数学月刊》编委。主要研究方向：数学史与数学教育、数学教师教育。）

*本文系江苏省高校哲学社会科学研究2022年度一般项目“中小学教师学科育德能力评价指标体系构建研究”（编号：2022SJYB1444）、上海市立德树人数学教育教学研究基地研究项目“数学课程中落实立德树人根本任务的研究”（编号：A8）、上海市第四期双名工程课题“中小学数学留白创造式教学”的阶段性研究成果。