赖红

(西南大学计算机与信息科学学院,重庆 400715)

等距张量(即张量 ω 满足 ω†ω=I)为实现张量网络态(tensor network states,TNSs)中确定纠缠态的压缩提供了一种新颖而强大的数学构造算法.结合等距张量,本文发现在量子密钥分发(quantum key distribution,QKD)中可能采取完全不同的密钥生成方法,即在不改变纠缠态结构和性质的情况下,将任意多光子纠缠态压缩成单光子态或者Bell 态.在提出的QKD 协议中,输入态由任意纠缠态组成,这些输入态首先被发送方Alice 压缩成单光子态 |0〉或 |1〉 或Bell 态,使得提出的协议同时达到了多模存储和确定性传输的要求,且减少了需要传输和存储的量子比特数量,从而提高了QKD 协议的编码能力.然后再添加诱骗态在这些单光子态|0〉和 |1〉 中,再通过量子信道一起发送给接收方Bob,以制备密钥.最后,Alice 和Bob 利用筛选出来的压缩态|0 〉和|1〉 以及他们对应的等距张量的共轭转置来协商出共享密钥.本文提出的协议比一般协议中的单光子能编码更多的经典比特,显著提高了编码效率,减少了量子资源的使用.本文提出的QKD 协议还保持了生成密钥的完美安全性.

1 引言

最近,量子数据压缩已成为热门话题,因为量子存储仍然存在非常昂贵且供不应求的问题[27-35].例如,Fan 等[27]设计了两种量子数据压缩协议,分别适用于压缩四个和五个完全相同的量子比特.Bostroem 和 Felbinger[28]在他们的协议中提出了一个无损、瞬时量子数据压缩协议.该协议应用了可变长度量子消息的框架.Plesch 和Bužek[30]同样提出了利用N个相同的制备的量子编码.Rozemae等[31]证明N个相同制备的量子比特的集合可压缩到量子比特.而且,学者还提出使用机器学习和量子自动编码器来改善压缩.而基于纠缠态的QKD 研究中的一个中心问题是纠缠态是否可以被压缩成单光子态.Acoleyen 等[36]已经肯定地回答了这个问题.他们证明纠缠压缩可以通过在多尺度纠缠重整化假设(multiscale entanglement renormalisation ansatz,MERA)的等距和矩阵乘积算符(matrix product operator,MPO)的局域张量之间构建映射来实现.2023 年,Lai 等[37]将MERA压缩方法用到QKD 协议的设计中,即提出用构造的等距张量压缩多光子纠缠态.但是,在Lai 等[37]的协议里,没有进一步扩展它们构造的等距张量在QKD协议的应用,以及缺少相应的功能分析和安全性分析.

尽管量子数据压缩带来了很多优势,但也带来了挑战.最重要的是它的安全性.Evenbly[38]提出了一类可用作监督学习中的分类器的数态保迹张量网络.但他发现纠缠态的乘积态无法将中间态与经典数据联系起来.这意味着可解释性损失.然而,本文却相信正是这种可解释性损失可以用来确保QKD 的安全性.具体地,本文应用 Evenbly[38]提出的数态保迹的等距矩阵,基于Lai 等[37]构造的广义等距张量来更系统更全面地展示QKD 中压缩纠缠态的优势及其安全性分析,同时解决BB84,Ekert91,BBM92 和基于GHZ 的QKD 协议的不足.因此,本文的扩展超越了简单减少需要传输和存储的量子比特数量以及消耗更少的量子资源(量子比特和内存).此外,本文的 QKD 协议允许将经典信息更有效地编码为量子比特.更容易保护协议免受退相干.本文通过例子来介绍本文的协议.在示例中,Alice 使用等距张量从N(N3)光子 GHZ态制备一个压缩的数态|0〉或|1〉或Bell 态.然后,Alice 通过量子信道将压缩后的数态与诱骗态一起发送给 Bob.最后,Alice 和 Bob 可以通过筛选出来的压缩态|0〉和|1〉解压缩达成一致密钥.此外,本文的协议还保持了共享密钥的完美安全性.

2 背景知识

首先介绍等距矩阵的定义及其性质,然后给出了用于纠缠压缩的广义等距张量的严格数学定义.

2.1 等距矩阵及其性质

定义1 (等距矩阵[38])给定一个d1×d2矩阵ω使得ω†ω=I(当d1＜d2)或ωω†=I(当d1＞d2),则ω称为等距矩阵.

(1)式表明等距矩阵ω保证两个量子态在小空间的内积等于它们映射到大空间的像的内积.

2.2 广义等距张量及其性质

定义2 (第一类广义的等距张量[37])广义的等距张量w(wN1,wN2),N≥3 定义如下:

并且

同时，通过区块链技术将共享维修站采集的数据存储于云端，而区块链技术本身的防篡改、可追溯等特点为实现数据资产确权提供了可能性。即数据可面向需求者，创造出更多的新应用。而数据提供及参与者，将在数据被使用后拿到相应的利益回报。此开放性举措的提出与落实，相信对于汽车行业乃至整个消费行业来说，都将具有革新性的意义。

第一类广义等距张量可用于压缩任何N-光子GHZ 纠缠态为单光子态.

定义3 (第二类广义的等距张量[37])广义的等距张量定义如下:

注意在等距张量wN′1的第2,3 行,非零元的个数为 2N-1-1 .

注意在等距张量wN′2的第1,4 行,非零元的个数为 2N-1-1 .其中w′(w′N1,w′N2) 满足以下条件:

第二类广义等距张量可用于压缩任何N-光子GHZ纠缠态为Bell 态.

3 基于纠缠压缩的QKD 协议

本节将展示如何使用广义等距张量设计两个基于纠缠压缩的QKD 协议.设计这样协议的目的是减少通信和存贮的开销和全面的揭示纠缠压缩的QKD 协议的优势.在这里,通信和存储开销被理解为在协议执行期间交换和存储的量子比特数.由于量子信息处理设备的许多想法都是基于在网络节点之间用一个相对较小的量子处理器发送量子信息的,因此找到用于压缩传输的量子数据的协议具有重要的实际意义.更一般地,大部分量子信息理论都涉及在局域约束[39]下对数据的进行操作,因此本文提出协议自然地与这些研究需求相关联.在协议中,本文假设Alice 可以制备任何纠缠态且独立地利用一系列等距张量将这些纠缠态压缩为单光子态或者Bell 态,然后将压缩后的单光子态或者Bell 态纠缠光子通过量子信道发送给 Bob,Bob随机选择测量基测量这些压缩的单光子态,然后对筛选后的压缩的单光子态或者Bell 态纠缠光子进行解压缩来得到密钥.

3.1 第一个协议的描述

给定N≥3,本文取N光子 GHZ 纠缠态.本文的 QKD 协议按以下步骤执行.

步骤1 制备压缩单光子态.该步骤由 Alice 执行.利用(2)式和(3)式中的等距张量w(wN1,wN2).N光子 GHZ 纠缠态被 Alice 压缩为数态|0〉和|1〉(参见图1). 即使用w(wN1,wN2)后被压缩的数态分别为|0〉和|1〉,具体数学表达式为

图1 利用wN1, wN2,N 光子GHZ 纠缠态(/2)(|00···0〉+|11···1〉)被随机压缩为数态 |0〉 或 |1〉,利用,|0〉 或|1〉被解压缩为N 光子GHZ 纠缠态 (/2)(|00···0〉+|11···1〉) 示意图Fig.1.The schematic compression of (/2)(|00···0〉+|11···1〉) into |0〉or |1〉 using wN1,wN2,and decompression of |0〉 or|1〉 into (/2)(|00···0〉+|11···1〉) using .

步骤2 压缩单光子态的传输.Alice 通过一个量子信道将压缩后的单光子态发送给Bob.在这里Alice 和Bob 约定,当得到压缩态为数态|0〉和|1〉时,分别解压缩得到n比特的经典信息00···0和 11···1 .这些通过量子信道的传输的压缩单光子态受到诱骗态的保护.

步骤3 用于窃听检测的诱骗态.Alice 随机选择基Bz={|0〉,|1〉},Bx={|+〉,|-〉}用于产生诱骗态,其中|+〉=(|0〉+|1〉)/.随后将诱骗态随机插入到压缩单光子态序列中,并记录这些诱骗态的位置及初始态.一旦Bob 确认收到粒子后,Alice公布诱骗态的位置及测量这些诱骗态的测量基.Bob 完成测量后,通过认证广播信道通知Alice 他的测量结果.通过比较诱骗态的初始态与参与者测量得到的态,Alice 可计算这些诱骗态的错误率.如果错误率高于某个预先设定的阈值,则协议中止,否则继续.

步骤4 压缩纠缠态的测量.该步骤类似于BB84[1]的相应步骤.在接收到一个压缩纠缠态后,Bob 随机选择一个基进行测量.接下来,Bob 用认证广播信道告诉Alice 其选择的基.最后,通过对基后,Alice 通过认证广播信道通知Bob 等距张量用于解压缩相应的压缩纠缠态.最后,他们使用解压缩最后筛选出来的压缩纠缠态如下所示:

整个过程如表1 所示.

步骤5 密钥协商.此步考虑被解压缩回N光子GHZ 态所编码的经典比特信息.当Alice 和Bob解压缩被筛选出来的单光子为(/2)(|00···0〉+|11···1〉),他们根据步骤2 的约定,可得到经典信息 00···0 和 11···1,把它们串接到一起就得到了生密钥.

3.2 第二个协议的描述

本节描述了一种将任何N光子GHZ 态压缩为Bell 态的协议(参见图2).其实很多量子信息理论都与局域约束下[39]的量子数据操作有关,因此本文的协议自然与这些研究相关.对于任何纠缠态,本文基于Lai 等[37]定义的广义等距张量展示了一种最佳压缩它们的方法,且充分利用了 Alice和 Bob 之间压缩贝尔态的相关性来实现QKD.本文的第2 个 QKD 协议步骤如下.

图2 利用 w′N1,wN′2,N 光子 GHZ 纠缠态 (/2)(|00···0〉+|11···1〉)被随机压缩为Bell 态 (/2)(|00〉+|11〉) 或(/2)(|01〉+|10〉),利用,Bell 态 (/2)(|00〉+|11〉) 或 (/2)(|01〉+|10〉) 被解压缩为N 光子 GHZ 纠缠态(/2)(|00···0〉+|11···1〉)示意图Fig.2.The schematic compression of (/2)(|00···0〉+|11···1〉) into (/2)(|00〉+|11〉) or (/2)(|01〉+|10〉) usingwN′1,wN′2,and decompression of (/2)(|00〉+|11〉) or (/2)(|01〉+|10〉) into (/2)(|00···0〉+|11···1〉) using .

步骤2 压缩Bell 态的传输.Alice 通过量子信道将每个压缩后的Bell 态中的一个光子发送给Bob,另一个自己保留.在这里,Alice 和Bob 约定: 当得到压缩Bell 态分别为 (/2)(|00〉+|11〉),(/2)(|01〉+|10〉),解压缩得到n比特的经典信息就分别为 00···0 和 11···1.这些通过量子信道的传输的压缩Bell 态纠缠光子受到诱骗态的保护.

步骤3 用于窃听检测的诱骗态.Alice 随机选择基Bz={|0〉,|1〉},Bx={|+〉,|-〉}用于产生诱骗态,其中|+〉=(|0〉+|1〉)/.随后将诱骗态随机插入到压缩单光子态序列中,并记录这些诱骗态的位置及初始态.一旦在Bob 确认收到粒子后,Alice公布诱骗态的位置及测量这些诱骗态的测量基.Bob 完成测量后,通过认证广播信道通知Alice 他的测量结果.通过比较诱骗态的初始态与参与者测得的态,Alice 可计算这些诱骗态的错误率.如果错误率高于某个预先设定的阈值,则协议中止,否则继续.

步骤4 压缩Bell 态的测量.该步骤类似于BBM92[4]的相应步骤.在接收到一个压缩纠缠态光子后,Bob 随机选择一个基进行测量.接下来,Bob 用认证广播信道告诉Alice 其选择的基.然后通过对基后,根据步骤1 的约定,Alice 和Bob 可以得到相应的压缩Bell 态.最后,Alice 通过认证广播信道通知Bob 等距张量用于解压缩相应的压缩纠缠态,即他们使用解压缩最后筛选出来的压缩Bell 态.这里以等式(12)和(13)为例说明,可得如下等式:

步骤5 密钥协商.考虑被解压缩回N光子GHZ态所编码的经典比特信息.当Alice 和Bob 解压缩被筛选出来的单光子为(|00···0〉+|11···1〉),他们根据步骤2 的约定,可得到经典信息 00···0 和11···1,把它们串接到一起就得到生密钥.

4 性能分析

4.1 压缩性和解压缩性

不仅压缩和解压缩的过程非常简单,而且使用等距张量进行纠缠压缩可以使用量子电路和当前技术来实现.由于量子信息处理设备的许多想法都是基于在网络节点之间用一个相对较小的量子处理器发送量子信息的,因此找到用于压缩传输的量子数据的协议具有重要的实际意义.更一般地,大部分量子信息理论都涉及在局域约束[39]下对数据的进行操作,因此本文提出的协议自然地与这些研究需求相关联.

4.2 抗退相干性

在Ekert91[3]和BBM92[4]协议中和基于GHZ态的QKD 协议中[7-23]要求是纠缠态.然而,纠缠粒子在实际传输和存储过程中会相互作用,从而导致纠缠系统的粒子之间的退相干(或纠缠退化).这在本文的第一个协议中是可以避免的,因为纠缠态被压缩成一个单光子态.因此,本文的协议可以抗退相干.更多的细节在下面的表2 可见.

表2 本文的协议与文献[4,16,20]中的协议进行了比较Table 2.Our protocol compares with the protocols in Refs.[4,16,20].

4.3 低量子传输和量子存储开销

对于Ekert91[3]和BBM92[4]协议和基于GHZ态的QKD 协议[7-23],每个光子最多只能生成两个密钥,故需要传输和存储大量的光子.而在QKD中,量子比特比经典比特更昂贵,主要是因为其技术成本高、安全性要求高和易失性高等原因.本文的协议是先将任何纠缠态压缩为单光子态或Bell态,再发送给接收方.即本文使用相应的等距张量来实现了大大减少需要传输和存储的量子光子数.尽管等距张量构造和存储本身应该也有开销,但是,众所周知,经典的传输和存储开销比量子的开销要低很多.更重要的是由于等距张量在本文的构造很有规律性(见等式(2),(3),(6),(7)),因此,可以通过优化算法来构造和存储协议中使用的等距张量进一步减少相应的开销.综上所述,本文的QKD 协议具有较低的量子传输和量子存储开销.

4.4 高编码容量

对于BB84[1],Ekert91[3]和BBM92[4]协议,以及基于GHZ 态的QKD 协议[7-23],每个成功传送并被正确测量光子只能编码1 比特经典信息.这极大地限制了QKD 协议的实际使用效率.相比之下,在本文的协议中,一个压缩数态|0〉或|1〉或以同样的方式成功传送并被正确测量,却可以被编码成多位经典信息.因为我们可以通过等距张量方法将一个n比特的纠缠态压缩为一个2 量子比特的纠缠态或者1 量子比特的单光子,其中2＜n.然后可以使用这个2 量子比特纠缠态或者1 量子比特单光子来传输和存储信息.在接收端,可以使用等距张量转置方法将这个2 量子比特纠缠态或者1 量子比特单光子解压缩为一个n量子比特的纠缠态,从而恢复出原始的信息.也就是说,Alice 只需要传输和存储1 量子比特的光子,就可以结合相应的等距张量来生成n比特的生密钥.从而实现高效量子比特的利用率和高编码能力.因此,我们的协议实现了高容量编码.故压缩的态不仅减少了需要传输和存储的量子位元的数量,而且还增加了一个额外的定性特性,即增加了QKD 协议的编码能力.这就同时实现了多模式存储和确定性传输的要求.

5 结论

本文研究了在 QKD 协议中对纠缠态源执行压缩的问题.研究发现可以利用QKD 协议中的压缩的相关性来提高众所周知的 BB84 和 BBM92的编码能力.该协议的优点是普遍使用的纠缠态包括Bell 态和N光子GHZ 态都可以通过使用特定的等距张量压缩成和单光子态|0〉,|1〉.这种方法在使用量子态的数量上比传统使用纠缠态的QKD 更有效.同时,展示了如何获得一个类似的等距张量来获得解压缩的压缩纠缠态.此外,结合等距张量,本文还可以获得纠缠态的系数,克服其他纠缠压缩的主要限制.最重要的是,由等距张量构造的张量网络等价于量子电路,使本文的提出的协议在当前技术下具有可实施性,也同时实现了多模式存储和确定性传输的要求.