秦仙蓉 赵俊陆 王玉龙 张 氢 孙远韬

同济大学机械与能源工程学院 上海 201804

0 引言

地震反应谱分析由美国学者Biot M A 在20 世纪40年代提出的[1]，描述了不同自振频率的弹性单自由度系统中相同阻尼比在地震激励下产生的最大响应与自振周期的关系[2]，广泛应用于结构抗震设计过程中。

反应谱分析将结构模态分析结果与标准规范中建议的地震谱结合，无需进行瞬态响应分析即可快速预估结构各阶模态响应的最大值，在结构设计阶段应用广泛。有资料显示：2008 年某地发生地震时，距之600 km 外的某市有多台塔式起重机发生不同程度的损坏[3]，这表明塔式起重机的抗震能力必须予以充分重视。

塔式起重机是工作于各大施工、建造现场的一类起重机械，其结构高大轻柔，多采用空间桁架结构，结构形式和结构性能与一般土木结构有显著区别。在工程实际中，塔式起重机结构有限元建模很多采用Ansys 平台[4]，但现有文献资料中有关基于Ansys 的塔式起重机地震反应谱分析流程不甚清晰，容易产生不合理结果。为此，本文利用单自由度和二自由度系统的理论计算和Ansys 分析的对比，标定地震反应谱的分析流程，并对某型塔式起重机进行地震反应谱分析。

1 反应谱分析的理论基础

基于模态叠加的思路，反应谱分析是根据工作地点的地震历史记录得到的地震谱预测结构的地震响应。这种方法对系统进行线性化假设，并且是基于单自由度系统振动理论的响应预测，不涉及复杂耗时的瞬态响应分析。结构的r阶模态加速度响应可用r阶模态位移qnr近似表示[5]，即

其中

式中：ωnr为r阶模态圆频率，pnr为r阶地震激励系数，｛φnr｝为r阶正则振型，｛M｝为系统质量矩阵对角元构成的列向量，gr为对应于r阶模态频率的地震加速度。

根据规范中给出的地震影响系数曲线[6]取值，得到图1 所示曲线。在图1 中，α为地震影响系数，代表地震加速度与重力加速度的比值；T为结构r阶自振周期；η1为直线下降段的下降斜率调整系数；γ为衰减系数；Tg为设计特征周期；η2为阻尼调整系数。由此，衰减系数可表示为

图1 地震影响系数曲线

2 基于Ansys 的地震反应谱分析流程

基于有限元软件Ansys 的地震反应谱分析的主要流程为：1）建立结构有限元模型；2）根据类似图1的地震加速度谱确定需要提取的模态阶次，利用Ansys模态分析模块获得结构在地震影响频段的模态特征，即模态频率和正则振型；3）根据模态分析得到的模态频率和图1 定义地震加速度谱；4）将流程3）中定义的地震加速度谱施加于模型的对应基础的对应方向上，利用Ansys 的谱分析模块完成结构地震反应谱分析。5）根据要求对模态响应进行综合，可得结构的支反力/支反力矩以及各个位置的响应（如变形、应变、应力等）。

r阶模态对应的节点惯性力｛Fr｝的计算式为

对所有节点某一方向的惯性力矢量求和，得到系统在该方向的支反力；由各节点的坐标及该节点的惯性力求得对应的支反力矩，然后对所有节点对应的支反力矩求和可得系统的支反力矩。

在求得各阶模态对应的支反力/支反力矩及各种响应后，按照模态合并方法合并各阶模态的效应，得出节点k的节点位移qk根据振型组合方法 (Square Root of the Sum of the Squares，SRSS)[7，8]进行模态合并的对应公式，即

式中：r为模态阶次，N为需要合并的模态总数，qk为节点k的r阶模态位移。

图2 为利用Ansys 进行地震反应谱分析的流程归纳总结。本文构造1 个单自由度系统和1 个二自由度系统，分别利用理论计算和Ansys 模拟进行反应谱分析，对比分析这2 种方法所得的结果可实现对以上Ansys 分析流程的标定。

图2 基于Ansys 的地震反应谱分析流程图

在本文分析中，地震加速度谱根据图1 和式（2）的参数取值，地震烈度取7，基本地震加速度值为0.10g，设计地震分组为第2 组，对应取αmax＝0.12，Tg＝0.40 s，阻尼比ζ＝0.01。

2.1 单自由度系统

在Ansys 软件中，构建图3 所示单自由度系统的有限元模型，集中质量和无质量梁分别用Mass 21 和Beam 189 单元模拟。为简化问题，不计方向效应，只计m的x方向自由度，对应地只在x方向施加地震加速度。

图3 地震反应谱分析标定的单自由度系统力学模型

由模态分析可知，系统的固有频率和固有周期分别为0.92 Hz、1.09 s，根据图1 和式（2）可得地震加速度g＝0.605 568 m/s2。对于单自由度系统，地震激励系数取1，则由式（1）可得m的位移为0.018 2 m。根据上述流程利用Ansys 的谱分析功能完成的地震反应谱分析所得结果为0.018 167 m，与理论计算结果合理一致。由于地震激励系数取1，支反力Rx和支反力矩Mz按反应谱分析理论应分别为

代入数值即可得到支反力与支反力矩的理论计算如表1，其结果均与Ansys 分析结果合理一致。

表1 单自由度振动系统标定计算结果

2.2 二自由度系统

在Ansys 中建立图4 所示二自由度系统的有限元模型，与单自由度系统一致，采用Mass 21 和Beam 189 单元完成系统有限元建模。取系统的广义坐标为{q(t)}＝ [q1(t)q2(t)]T，进行模态分析可得该系统的模态频率和正则振型矩阵，即

图4 地震谱反应谱分析标定的二自由度系统力学模型

对应的地震激励系数由pnr＝{φnr}T[m1m2]T得到，分别为2.809 2 kg、1.581 475 kg。由频率根据图1 和式（2）可得，该系统2 阶模态对应的地震加速度为g1＝0.551 178 m/s2，g2＝1.666 m/s2。由此，模态节点力可按式（3）计算，模态支反力Rxr等于所有模态节点力的矢量和。对于图4 所示的二自由度系统，支反力矩的计算公式为

模态位移{qnr}的计算公式为

在求得各阶模态位移、模态支反力和模态支反力矩后，可根据对应模态合并法则对各阶模态的效应进行合并，得到系统的位移、支反力和支反力矩。按照SRSS法则，以位移为例，可由式（4）计算而得。由表2 所示二自由度系统的标定结果可以看出，理论计算结果与Ansys 分析结果合理且一致。在图4 所示二自由度系统在地震谱分析过程中，由Ansys 软件的NSOL 和PLVAR 命令输出的正则振型分量如图5 所示。

表2 二自由度振动系统标定计算结果

图5 二自由度系统输出的x 方向正则振型分量

3 某型塔式起重机的地震反应谱分析

如图6 所示，QTZ125 型塔式起重机到塔身高度50 m，起重臂长65 m，在Ansys 平台建立其有限元模型。塔式起重机有限元模型主体用Beam 189 单元，拉杆用只能受拉的Link 10 单元，配重、回转机构、起升机构、吊重吊具等集中布置的部件用Mass 21 单元模拟，在塔式起重机基础节插入混凝土部分的4 个角点及基础节与加强节的连接处施加全约束。起重臂各臂节之间的连接、塔帽与起重臂和平衡臂拉杆两端的连接、塔身与起重臂和平衡臂连接均按铰接处理。建立的塔式起重机有限元模型有近7 000 个单元，13 000 多个节点，自由度总数超过60 000。

图6 QTZ125 型塔式起重机示意图

提取塔式起重机15 Hz以内的模态，得到30 阶模态，模态频率与模态周期如图7 所示。振型根据前述给出的地震反应谱理论应为正则振型，输出时按质量归一化。各阶阻尼比均取0.01，根据图1、式 (2) 和图7 可得塔式起重机的地震加速度谱。

图7 某型塔式起重机的模态频率和固有周期

沿起重臂的2 个水平方向（分别平行于和垂直于起重臂的轴线方向）施加地震加速度谱，经模态扩展与模态合并后得到表3 所示支反力、支反力矩、最大变形及应力结果，对应的应力云图和位移云图如图8 所示。由分析结果可以看出，塔式起重机2 个方向的抗震性能不同，在x方向和z方向施加地震加速度谱可分别获得最大变形和最大应力，这2 种工况的最大变形为196 mm，最大应力为93 MPa。在z方向施加加速度谱得到的变形更小，说明塔式起重机模型在z方向的抗震能力更强。

图8 塔式起重机地震反应谱分析得到的应力云图和位移云

4 结论

本文对基于Ansys 的反应谱分析流程进行标定，以某型塔式起重机为例进行了地震反应谱分析。地震反应谱分析的主要流程为：1）建立结构有限元模型；2）根据地震加速度谱确定提取的模态阶次，并获取模态特征；3）定义地震加速度谱；4）完成结构地震反应谱分析；5）对模态响应进行综合。

为了验证地震反应谱分析流程的正确性，本文构建了一个单自由度和一个二自由度系统，分别利用理论计算和Ansys 数值模拟完成了这2 个系统的地震反应谱分析，分析对比2 种方法所得结果实现了对Ansys 地震反应谱分析流程的标定。依据经理论标定的分析流程，对该塔式起重机进行了地震反应谱分析。根据分析结果在垂直于臂架方向施加地震加速度谱，得到的结果显示，塔式起重机模型发生的变形更小，说明在垂直于模型臂架方向具有更强的抗震性能。