蔡维

［摘  要］ 解题教学在当前数学课堂中占了相当大的比例，如何组织好解题教学，提升解题教学的效率是值得一线教师深入研讨的课题. 对于基础题的解题教学，教师可以在解题过程的规范与简化上引导学生进行对比学习；对于较难题的解题教学，教师要在审题和思路分析上进行研究，一般来说可先给出直观分析，然后给出“以数驭形”的抽象方法，让学生在解法对比中学会“寻找好的方法”．

［关键词］ 解题教学；图形直观；以数驭形

在最近一次的阶段复习检测中，笔者所在学校的数学备课组选用了一道2022年河北省中考数学卷的一次函数综合题，从批阅情况来看，该题的答题得分率不高. 对于该题的解答，笔者访谈了一些学生，部分学生给出的做错原因是“没看懂题意”“感觉要分很多种情况进行讨论，时间来不及就放弃了”. 为此，笔者对这道习题进行深入分析，并围绕该题进行了解题教学的“微设计”，现整理成文，供各位读者研讨．

函数综合题的教学微设计

习题 （2022年河北中考，有删减）如图1所示，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（-8，19），B（6，5）. 某同学设计了一个动画：在函数y=mx+n（m≠0，y≥0）中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中C（c，0）. 当c=2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹出. 当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光. 求此时整数m的个数．

1. 教学环节一：理解题意

解题前，教师可以先预设以下“问题”，引導学生学会审题，充分理解题意．

问题1：线段AB对应的函数解析式是什么？（线段AB的函数解析式为y=-x+11，其中自变量x的取值范围为-8≤x≤6）

问题2：线段AB上有多少个整点？（15个）

问题3：当有光点弹出时，m，n之间有怎样的数量关系？（2m+n=0）

教学组织：对于这些问题，教师可在PPT上渐次呈现，然后组织学生讨论、交流，确认解答完毕之后再研究下一个问题，目的是让学生充分理解题意．

2. 教学环节二：直观感知

问题5：是否需要将线段AB上的15个整点逐一代入射线y＝mx-2m进行验证？能否借助图形想到更快一点的方法？

预设：如图2、图3所示，设点G在线段AB上，过点G作GH⊥x轴，垂足为H．

教学组织：在教学过程中，图2、图3不宜直接呈现. 对于图2，教师可以先进行必要的启发引导，等学生理解之后，安排学生自主分析出图3，并挑选学生上台结合图形进行演示与讲解．

3. 教学环节三：以数驭形

问题6：上面的解法结合图形直观分析，逐个验算最终确定了5个符合要求的整数m. 那如果不借助图形，能否直接求解呢？

教学组织：在教学进程中，学生有可能会“丢三落四”，此时教师不宜“即时干预”，可以在学生完成整个答题过程之后，再组织学生进行辨析、纠错、完善．

4. 教学环节四：解后回顾

小结问题1：这道题的关键步骤有哪些？你是如何理解的？可结合解题步骤具体说说．

小结问题3：若整数t和整数m满足tm-2m＝-t+11，分析整数m的值有哪些.

教学组织：“小结问题1”是开放式问题，目的是引导学生解题后回顾并提炼关键步骤；“小结问题2”和“小结问题3”则是将原问题的关键步骤提取出来，让学生再次巩固练习，进一步看清这道综合题的解题关键．

解题教学要引导学生“寻找好的方法”

单墫先生提倡要“努力寻找好的解法”［1］，并指出：“一道问题可能有多种解法，有的解法很优雅，很好，值得学习，值得提倡；有的解法丑陋，不好，应当改进，不值得提倡.”下面笔者结合解题教学的一些实践谈谈体会．

1. 实施解题教学之前教师需要深度研题

实施解题教学之前教师深度研题，是一种服务于教学的解题研究．具体来说，教师的深度研究，肯定不能只满足于答案的获取、思路的贯通，还应从不同角度思考不同的解法，并在一题多解的基础上进行解法对比与解法优化，找到“简明好懂”的解法，并将“丑陋解法”“大量思维回路”的解法作为“待优化的解法素材”收集起来，以便解题教学时和学生一起对比分析．特别地，对于有些经过改编、“包装”的习题，教师要善于“简化”或“去情境化”，将其转化为学生熟悉的“基本问题”（如上面的“小结问题2”和“小结问题3”）. 此外，教师进行深度解题，还应包括一题多变、多题归一、同类链接等，比如围绕某个基本图形进行深入探究——把与之相关的典型问题链接、集中在一起，作为解题教学的备用素材．

2. 实施解题教学时，教师要让学生在比较中学习

实施解题教学时，教师要根据习题的难易程度进行不同的教学预设. 如果是比较基础的例题、习题教学，教师教学时要侧重于巩固、训练新知识. 对于此类题，学生在思路获取上不会有太多的障碍，所以教师教学时可引导学生对比不同的解题语句与过程表达，训练学生更严谨、规范、简捷的解题过程. 如果是比较复杂的习题教学，教师教学时要突出审题教学、“思路是如何发生、发展的”，接着引导学生从不同的角度贯通解题思路，并对比不同的解法，让学生在解法比较中提升能力并成长. 特别地，教师要优先考虑直观图形的分析策略，比如函数类问题，教师可以让学生在构图分析中加深对问题的直观理解，在此基础上结合数学概念、公式进行推理或运算，采用“以数驭形”的解题过程来简化过程表达或语句组织. 实施解题教学的最后环节，还要重视解后回顾反思，教师要精心预设小结问题，引导学生学会反思、提炼关键，通过学习解一道题走向“学会解题”（涂荣豹？摇语）．

3. 解题教学不宜直接“精致示范”

解题教学需要“指示正规”（傅种孙 语），但不宜一上来就是教师示范，而且是非常严谨、简捷的解法呈现，或者是神奇的辅助线直接“冒出来”，然后解释这条辅助线是多么重要、有效. 邵光华先生曾指出，教师不能“片面理解‘暴露思维过程”，即“教师从正确思路出发沿正确途径去解题，中间显现不出如思维的定向、选择这种重要的思维关键，这样不利于培养学生独立思维的能力”．［2］以上文习题为例，我们先组织学生讨论繁杂的数形结合方法，这种方法需要对15个整点进行逐个分析、计算. 这种“拙”的方法或思路显然不是最优（最简）的，但是符合不少学生的认知规律，于是教师就从这种看上去笨一点的思路出发，先组织学生对这种方法进行简化，结合直线斜率为整数可“看出”（或心算出）答案，然后给出“以数驭形”的“盲解”（不借助图形）. 学生经历这个“曲折”的解题过程之后，往往能感悟出“思维的定向与选择”是解题关键. 想来，史宁中教授曾说的“希望教师的讲课要‘拙一点”，大概表达的就是这个意思吧．

参考文献：

［1］单墫. 单墫数学与教育文选［M］. 上海：华东师范大学出版社，2021．

［2］邵光华. 论数学解题教学的误区及教学策略［J］. 课程·教材·教法，1999（05）：23-25.