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用数学的历史 讲数学的道理

2023-08-10浙江余姚市江南新城小学315400

小学教学参考 2023年14期
关键词:合数质数脉络

浙江余姚市江南新城小学(315400) 顾 遨

小学生拥有旺盛的好奇心,喜欢刨根问底。对于一些问题,教师需要借助与之相关的数学史才能把道理说清。同时,教师借助数学史还可以把数学道理讲得深入浅出、生动易懂,帮助学生降低学习的难度,促进学生理解其中蕴含的数学本质。

一、知典明理——说清历史典故

在数学教学中,教师经常会遇到各种各样的“为什么”。例如,对于“分数的初步认识”,教材就编排了如图1所示的内容。

图1

教学了该内容后,教师还可以出示史料:在我国,分数概念产生于商代,西周时出现了分数的专用量名。战国时期,铜器铭文上出现了“半斗”“四分”等符号。而分数的记法在晚周青铜器铭文中的形式为“母”数,次“分”字,次“子”数,这已经与现代的分数记叙法相近了。公元前五世纪《孙子兵法》中的“则三分之二至”(《谋攻篇》)和“杀士三分之一而城不拔”(《军争篇》)等,非常接近现在的“几分之几”的记叙形式。

在探索历史的过程中,学生不但明白了分子、分母名称的由来,以及分数是怎么产生的,而且开阔了视野,对分数有了进一步的认识。

二、溯史寻理——道明来因去果

概念与定义的教学是数学课程中的重要一环。一种观念是怎样形成的?一个定义是怎样得出的?教材对于某些观念和定义的讲解只是给出一个结果。然而,数学史中蕴涵着丰富的内容,对这些知识脉络进行梳理可以把道理讲得更加清晰。

例如,教学“质数与合数”时,有学生提问:“为什么质数基本上是奇数,偶数基本上是合数,只有2既是质数又是偶数呢?”其他学生各抒己见。

有学生说:“这个是古代数学家们定好的,我们只要记住就行!”

也有学生说:“这只是凑巧而已,不需要去理解它。”

还有学生说:“因为2 是最小的偶数,因数只有1 和它本身,而其他偶数除了1 和它本身还有其他因数,所以只有2这个偶数是质数。”

这是一个向学生展示数学史的绝佳机会。教师可以引入质数和合数的由来:“在古希腊时期,开始只有整数,而整数都可以用点来计数,点又可以摆成各种图案,聪明的古希腊数学家就发现用整数点可以摆成直线和方形(如图2)。也就是说,数字1不能摆成直线和方形,它只是一个点,所以1既不是质数,也不是合数;像2,3,5,7 这样的数,只能摆成一条直线,叫作质数;其他数,如6、21 等,既可摆成直线,又可摆成方形(正方形和长方形),叫作合数。

图2

学生听后纷纷表示:“原来是这样,这太有趣了!”“我们对质数和合数又有了进一步的理解。”

三、研史得理——论述方法技巧

教材中公式的推导方法和定理的证明方法,真的只有一种吗?翻开历史画卷,可以看到精彩纷呈的思想方法。对教师而言,这些思想方法既是教学内容,也是讲解道理的辅证材料。孤证不立,多种方法指向同一个结果,才能让人更加信服。比如圆的面积公式的推导需要学生理解极限思想,而让学生理解这背后的道理极为不易。仅仅依靠教材中的讲解是不够的,教师可以结合历史上的各种方法(见表1),让学生在丰富多样的方法里体会“化圆为方”的道理。

正确数学认知的形成,需要不断的积累,学生需要不断在应用中理解道理,从而将极限思想渗透进头脑中。

四、观史悟理——阐释思想脉络

中医有云:“通则不痛,痛则不通。”数学学习也是这个道理,只有梳理好知识发生的脉络,才能把道理讲通。美国数学家M.克莱因也指出,数学史是教学的指南,学生遇到的学习障碍,也是历史上数学家遇到的困难。当数学历史的脉络与教材上的数学知识脉络同频时,学生对数学道理的理解才会水到渠成。

例如,学生在五年级学习“正方体和长方体”后,要到六年级才学习“圆柱的体积”。这一时间跨度比较大,学生在学习圆柱体积的过程中可能会遇到一些学习障碍:“为什么可以用底面积乘以高来计算圆柱体积呢?”其实从历史的脉络来看,教学缺少了对一类直柱体体积的探索。因此,在这个过程中,教师可以安排一组练习,以弥合这两个知识之间的断层。

笔者先引导学生回顾推导三角形面积公式的过程,也就是割补法(如图3),再让学生了解数学家刘徽对于“堑堵”的探索后亲身探究直三棱柱的体积计算方法。

图3

刘徽之术,因以出入相补。出入相补者,割而补之,以为众所周知之形,而广大不易也。刘徽之术,因以立体(将“出入相补”原理推广到立体图形,如长方体),斜分两柱(斜分成两个直三棱柱),为直角三隅,古谓之“堑堵”。

(1)请你用所学知识,尝试推导直三棱柱(堑堵)的体积计算方法。

(2)如图4-1 所示,把长方体容器平放于桌面,在容器中装满水,然后如图4-2 所示那样斜放,水流出1350 mL,这时AB的长度是多少?

图4-1

图4-2

其实,对小学生来说,直柱体体积公式的推导并不是特别困难。在掌握长方体体积计算方法后,只要教师一点拨,大部分学生都能够推导出直柱体的体积公式,这也为后面学习圆柱的体积埋下了伏笔。

这样,数学史自然地融入教学内容中,达到有机融合、润物无声的效果。

五、学史拓理——趣读数学文化

数学绘本、数学家的传记、数学实验等数学课外读物是数学史的优质载体。通过阅读,学生能感悟数学的真谛,体验有历史的数学,感受有文化的数学,进而形成理性精神。

如教学“三角形”后,教师可以让学生阅读帕斯卡三角(杨辉三角)的相关材料,还可以让学生阅读下面的材料:

很久以前,一种动物常常吊挂在呈三角状的树杈上,引发了人们的思考:这种动物为何不选择其他形状的树杈,而是选择三角形的呢?经过重重检验,人们终于发现:三角形比菱形、方形等形状的物体稳定性更强。后来,一位数学家路过这里,听了这个探索过程,就将其记入随身携带的笔记本中。于是,三角形具有稳定性的性质便在世界范围内传播开来。

这样的阅读能润泽学生的认知体系,让学生不但能完善认知结构,而且能感悟数学中的道理。

数学是一个复杂的系统,学习数学要“知其然,更要知其所以然”,除了了解露出海面的冰山(数学知识),还要了解冰山下巨大的根基(数学史)。

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