江苏省扬州市扬州大学数学科学学院(225000) 邱宇潇

江苏省扬州市扬州大学教育科学学院(225000) 张 波

一、问题提出

高考作为高利害性的人才选拔考试,其试题难度将直接影响其选拔的公平性与有效性[1]. 如何设置合理的试题难度,践行“以考促学”的教育测量精神,日渐成为教育界关注的热点.

为了更好地对标高考,指导高中数学教育,国内学者在高考试题难度方面的研究在近年来呈现上升趋势. 武小鹏、孔企平基于AHP 理论改进的鲍建生的高考数学试题综合难度模型成为研究高考数学试题难度的主要测量工具[1]. 基于该综合难度模型,刘静等学者完成了2020 年新高考与传统高考以及2020 年全国数学高考一卷与新高考Ⅰ卷的综合难度比较研究[2];徐思迪等学者完成了2019 与2020 年全国数学高考理科二卷的比较研究[3]. 同时也有学者开拓国际视野,张怡等学者完成了中国与韩国高考数学试卷的比较研究[4],不仅如此,各位学者从数学核心素养、SOLO 分类理论、PⅠSA情境测试等不同角度切入高考试题研究.

在上述研究的基础上,笔者发现当前研究主要围绕高考数学试题,但却鲜有比较研究围绕高考数学试题与高三数学质量检测试题(后称“质检试题”)展开. 关于质量检测考试有多种别称,包括适应性考试,诊断性考试,调研性考试等等,此处所指的质量检测考试主要指面向高三毕业班学生的高考适应性考试. 举办适应性考试的主要意义在于检查考生当前阶段的复习状况,帮助考生熟悉高考流程,教师能够根据考试情况,有目的,有针对性地安排接下来的复习计划. 因此,比较质检试题与高考试题的差异,对指导质检试卷编制,以及高三年级的复习教学具有一定的指导意义.

为比较质检试题与新高考试题的差异,笔者采用定量研究的方式,围绕高考数学试卷综合难度模型,比较试卷各难度因素水平占比、综合难度以及核心素养考查情况,以求对质检试卷编制以及高三数学教学提供研究建议.

二、研究设计

(一)研究对象

本文的研究对象包括2021 年第三批高考改革省市使用的新高考Ⅰ卷与新高考ⅠⅠ卷,其中福建省、江苏省、湖南省、湖北省、广东省、河北省使用新高考Ⅰ卷,辽宁省、重庆市使用新高考ⅠⅠ卷;质检试卷选择2021 年1 月的“八省联考”试卷以及2022 年1 月上述八省市中福州市、南京市、长沙市、武汉市、广州市、石家庄市、沈阳市、重庆主城区使用的质检试卷(上述部分城市采用多市联考形式),共11 套试卷. 研究对象中所涉及的质检试卷使用时间均为当年1 月,作为高三上学期的期末试卷,检查学生高三上学期的复习情况的同时帮助学生适应新高考流程. 其中,2021 年1 月八省联考数学试卷由国家教育部考试中心命题,2022 年1 月各省市使用试卷由各地市自行命题.

(二)研究工具

本文采用武小鹏、孔企平基于AHP 理论改进的鲍建生的高考数学试题综合难度模型以测量试卷背景因素、是否含参、运算水平、推理能力、知识含量、思维方向、认知水平各难度因素水平以及综合难度[1]. 将各因素下水平进行赋值, 例如背景因素包含: 无背景、生活背景、科学背景三个水平, 分别赋值1, 2, 3, 其他难度因素以此类推. 用公式. 计算各难度因素系数,用公式

计算试卷综合难度,其中nij表示第i个因素第j个水平下的试题数量,dij表示第i个因素第j个水平下的赋值系数,n表示涉及编码的试题总数,ki为第i个水平在试卷中的权重系数[1].

同时,围绕数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模、直观想象、数据分析六大高中数学核心素养统计试卷中各素养试题占比.

三、研究结果

将2022 年1 月福州市、南京市、长沙市、武汉市、广州市、石家庄市质检试卷(后称:“一卷地区”)的平均水平,2022年1 月沈阳市与重庆主城区质检试卷(后称:“二卷地区”)的平均水平与2021 年新高考Ⅰ卷(后称:“新高考Ⅰ卷”),2021年新高考ⅠⅠ卷(后称:“新高考ⅠⅠ卷”)与2021 年1 月八省联考试卷(后称:“八省联考试卷”)进行比较.

(一)综合难度

第一,背景因素. 质检试卷在该因素上所反映的程度不及新高考试卷. 各份试卷中“无背景”数学试题占比最高,新高考ⅠⅠ卷的背景因素难度系数最大,主要在于其中所包含的“科学背景”试题数量较多,而其他试卷所设置的问题情境多只是少量涉及“生活背景”.

第二,是否含参. 质检试卷教育新高考试卷更侧重于含参试题的考查. 各份试卷含参系数均大于1.5 意味着各份试卷中含参试题占比超过半数,其中一卷地区含参系数最大与新高考Ⅰ卷有较为明显的差异,二卷地区与新高考ⅠⅠ卷比较几乎持平.

表1 试题各难度因素统计表

第三,运算水平. 质检试卷在运算水平的考查同新高考试卷接近. 所有试卷中“简单符号运算”水平占比最高,主要原因在于其包含的运算情境最多涵盖了代数、向量、二项式、求导、裂项、简单概率等运算,并且其中不乏包含少量“复杂数值运算”水平的步骤.

第四,推理能力. 质检试卷更加关注复杂推理的考查. 该难度因素呈现了较大差别,在2021 年新高考试卷中简单推理试题数量略多于复杂推理试题数量. 相比之下,一卷地区与二卷地区数值接近,均以复杂推理试题为主,而八省联考试卷在该因素系数最大.

第五,知识含量. 质检试卷在知识含量的考查上略高于对应新高考试卷. 各份试卷中均以“3 个及以上”知识点考查为主,其中二卷地区数值最大且略高于新高考ⅠⅠ卷,一卷地区数值略高于新高考Ⅰ卷,八省联考试卷数值居中.

第六,思维方向. 质检试卷对需要逆向思维的试题考查较少. 各份试卷中均以“顺向思维”水平试题为主,新高考Ⅰ卷在思维方向的系数数值最大与八省联考几乎持平,明显高于新高考ⅠⅠ卷. 一卷地区数值明显低于新高考Ⅰ卷,二卷地区数值略高于新高考ⅠⅠ卷.

第七,认知水平. 质检试卷在认知水平的考查上低于新高考试卷. 各份试卷中均以“运用”水平的试题为主,“理解”水平的试题次之,“分析”水平的试题较少.

第八,综合难度. 质检试卷的综合难度均高于新高考试卷. 基于以上数据结合各难度因素权重系数,计算得到下表各份试卷的综合难度系数,可见八省联考的综合难度系数最大,一卷地区综合难度系数大于新高考Ⅰ卷,二卷地区综合难度系数也大于新高考ⅠⅠ卷.

表2 综合难度系数表

(二)核心素养

在数学抽象、数学建模、直观想象三个核心素养方面一卷地区均低于新高考Ⅰ卷,在逻辑推理、数学运算、数据分析三个核心素养方面一卷地区均高于新高考Ⅰ卷. 在数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数据分析五个素养方面,二卷地区均低于新高考ⅠⅠ卷的核心素养水平,仅在数学运算水平二卷地区高于新高考ⅠⅠ卷. 八省联考试卷的核心素养水平多居于中位,在数学建模方面,八省联考试卷居于最高位,但八省联考试卷不包含数据分析素养方面的试题.

基于统计数据,质检试卷在数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象四大核心素养的考查上普遍均低于新高考试卷,仅在数学运算素养的考查上略高于新高考试卷,数据分析素养在质检试卷与新高考试卷中占比都处于较低水平. 因此,从整体上看质检试卷在核心素养的反应水平相对较低.

图1 核心素养柱形图

四、研究结论

(一)综合难度

就总体而言,质检试卷在是否含参,推理能力,知识含量三个难度因素的考查上要高于新高考试卷;而在背景因素、思维方向和认知水平的考查上要低于新高考试卷;运算水平的考查是质检试卷和新高考试卷两者的重点,两者水平接近.

第一,背景因素. 2021 新高考试卷的试题情境较于质检试卷试题更加丰富,生活情境和科学情境与试题的有机结合体现了数学学科的跨学科应用价值,而这是质检试卷中相对缺乏的.

第二,是否含参. 含参试题依旧是高考的热门考点,参数与变量的多样化长期以来都受到出题者的青睐,尤其在一卷地区,在质检试题中含参试题的比例超过70%,超过了新高考试卷.

第三,运算水平. 简单符号运算在试卷中占据最高比例,质检试卷在简单符号运算上的考察水平超过60%,但是,质检试卷在该因素的考查略低于新高考试卷,新高考试卷在运算水平的考查更具多元化. 复杂符号运算水平的考查在质检试卷的考查集中于压轴题位置,而新高考试卷中则分散于各个题型当中.

第四,推理水平. 推理水平的考查在质检试卷中得到了相当程度的重视,不论是2021 年的八省联考还是2022 年的质检,复杂推理水平的试题考查远超新高考试卷,而这也将是质检试卷命题的主基调. 质检试卷中复杂推理水平的试题占比超过65%,其中2022 年1 月重庆主城区所使用的质检试卷中复杂推理水平的试题更是达到了75%,远高于新高考试卷.

第五,知识含量. 试题综合性强,不论是新高考试题还是质检试题多以考查2 个及以上知识点为主. 根据《普通高中数学课程标准(2017 年版)》关于知识主题的分类,涵盖多知识点的试题主要有两种形式,一类是纵向的,涵盖同一主题下多个知识点的试题,另一类是横向的,涵盖多主题下知识点的试题[5]. 质检试卷中的综合性试题以纵向涉及知识点为主.

第六,思维方向. 试题依旧以顺向思维试题为主,包含逆向思维的试题多为涉及部分解题步骤需要进行逆向思维过程. 包含逆向思维过程的试题常在考查逻辑用语的试题中体现. 新高考Ⅰ卷的逆向思维考查较为明显,质检试卷对于逆向思维的考查相对薄弱,此类试题仅占17%左右.

第七,认知水平. 试题以运用水平为主,经过比较可以发现新高考试卷在认知水平的考查上高于质检试卷,再比较八省联考试卷与2022 年质检试卷可知认知水平的考查在质检试卷中略有下降.

第八,综合难度. 在综合难度上,质检试卷的难度要高于新高考试卷,而2022 年质检试卷的难度较于八省联考试卷难度有所下调,更加契合新高考试卷难度.

(二)核心素养

比较新高考试卷与质检试卷,不难发现新高考试卷关于核心素养的考查在多维度上要高于质检试卷,尤其关注数学抽象、数学建模、直观想象上的考查,质检试卷则更加关注数学运算. 数学建模与数据分析两大核心素养在各份试卷中都体现较少. 逻辑推理的考查多集中于立体几何与平面解析中的证明题,逻辑用语类题目次之.

五、研究启示

高考改革在近年来逐步推进,本文分析的各份质检试卷均是来自第三批高考改革省市.《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》中指出: 高考应依据高校人才选拔要求和国家课程标准,科学设计命题内容,增强基础性、综合性,着重考查学生独立思考和运用所学知识分析问题、解决问题的能力[6]. 围绕以上研究结果以下提出关于质检试卷编制以及高三数学教学的启示.

(一)关于质检试卷编制的启示

第一,在质检试题的命制上应进一步加强运算水平、推理水平、认知水平、思维方向的考查,编制具有生动问题情境的数学试题. 比较八省联考试卷与2022 年质检试卷可知在诸多难度因素的考查上有所下降,为了帮助学生更好地迎战高考,达成“以考促学”的教育测量精神,在试题命制上应适当提高相应难度因素的考查水平.

第二,在质检试题的命制上应加强关于核心素养的考查,维持较高水平的数学运算考查状态,关注数学抽象、逻辑推理、直观想象的考查比重. 建议提高能够反应数学抽象素养的试题比重至60%左右,以到达新高考试卷水平.

第三,在质检试卷的编制上不应一味追求“高难度”,应对标新高考试卷的难度水平, 在拟合新高考试卷的基础上,以略高于新高考试卷综合难度的目标编制质检试卷.

(二)关于高三数学教学的启示

第一,在难度因素中,推理能力的考查情况将在极大程度上影响试卷难度,因此,在教学上应加强逻辑推理的训练.可以从三个角度着手: (1)在概念教学上关注知识的生成过程,概念引出过程应注重与先前知识的衔接,使学生经历合乎逻辑的概念形成过程,注重学生收获基本活动经验. (2)在习题课上应关注变式的应用,结合结构不良试题加强对学生思维过程的训练,结合结构不良试题教学的关键在于使学生体会自身知识点的短板与长处,真正在考试时扬长避短. (3)在复习课上除了回顾基本知识与基本技能,还应尝试使学生在复习过程中完成程序性理解向概念性理解的转变与提高,逐渐建立知识点间的系统联系,使之形成完备的知识体系.

第二,试卷中数学运算素养的体现情况接近90%,在日常习题中应加强数学计算与解题思维的训练. 可以从两个角度着手: (1)在习题讲评的过程中,明确算律、算理、算法教学的重要价值,让学生清楚掌握算律,采用符合算理的计算策略,构造有效的解题算法. (2)在布置给学生的作业中,使学生逐一体会换元法、待定系数法、构造法等解题方法,以及数形结合、差异分析、分类讨论等解题策略,引导学生从及时订正做起,反思平时习题,考试试题中的解题方法、错解成因、错解归因使习题教学真正达成完成一道题即完成一类题的效果.

第三, 新高考试卷良好地反映了核心素养的试题形式,因此,在高三复习中应不忘核心素养的渗透. 具体而言,需要明确核心素养的内涵与外延,有意识地在教学中体现核心素养. 以数学抽象素养为例,其主要内涵是: 通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养[5]. 在实际教学中往往容易将数学抽象“窄化”为对几何图形或空间形式的抽象,忽视了以代数为主的数量关系抽象,从而容易造成数学抽象与直观想象两个素养之间概念上的混淆. 所以,在实际教学当中,应明确核心素养的具体意义,进而有意识地在课堂小结或解题反思环节指出所涉及的数学素养,使学生充分经历数学素养的应用价值,体会数学素养的实际意义.