刘海涛 万 胜

(1.安徽省芜湖市第一中学 2.新青年数学教师工作室)

2023年教育部考试中心共命制了六套数学试卷(全国甲卷、乙卷的文科、理科试卷和新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷),其中内蒙古、江西、河南、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆等地区使用了全国乙卷.高考结束,笔者与这几个地区的师生交流,他们反映试卷难度总体平稳,比预期略低,学生考完也信心满满.《中国高考评价体系》指出:通过设置真实的问题情境,考查学生灵活运用所学知识分析、解决问题的能力,允许学生从多角度作答,使“死记硬背”“机械刷题”“题海战术”的收益大大降低,引导学生的关注点从“解题”向“解决问题”、从“做题”向“做人做事”转变.今年的全国乙卷数学试题在注重能力和素养考查的同时,深化了对德育的考查,与2022年全国乙卷相比,难度相当,但结构上更加新颖,更加注重对学生“四基”“四能”的考查,整体看试卷兼具基础性、综合性、应用性和创新性.下面笔者以2023年全国乙卷中部分试题为例,深度探析高考真题,剖析高考试题的命题特色,总结规律,明晰高考备考方向.

1 特色试题赏析

1.1 立足基础，考查通性通法

《中国高考评价体系》指出:高考围绕学科主干内容,加强对基本概念、基本思想的考查,杜绝偏难怪题和繁难试题,引导教学重视教材,夯实学生学习基础,给学生提供深度学习和思考的空间.2023年全国乙卷数学试题注重基础知识和基本方法的考查,试题的命制围绕高中数学的基本知识与基本概念展开,如文科卷的第1,2,3,4,5,6,7,13,14,15,22,23等题,理科卷的第1,2,3,4,13,14,22,23等题,均来源于教材例题、习题的改编,只要学生基础扎实,考场上做这些题定会得心应手.

点评

该题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化、极坐标中极角和圆的参数方程中参数的几何意义、直线与圆(圆弧)的位置关系等知识,均是对基本知识与基本概念的考查,解题方法也是通性通法.

1.2 注重综合，考查知识的融会贯通

《中国高考评价体系》指出:素质教育是内涵丰富的全面发展教育.高考要求学生能够触类旁通、融会贯通,这既包括同一层面横向的交互融合,也包括不同层面纵向的融会贯通.理科第10题是集合、数列、三角函数的综合题,对集合的概念、三角函数的周期性进行了深入的考查,可以通过三角函数的周期性求解,也可以用数形结合思想方法求解.理科第12题对直线与圆的位置关系、圆的几何性质、向量数量积、三角恒等变换、三角函数的最值等基本知识进行了综合考查,需要结合图形解题.

点评

解答该题的核心在于能够正确作出示意图,方法1着眼于向量数量积公式中的夹角,以∠OPC＝α为变量将问题转化为求三角函数的最值问题.方法2注意到OD⊥PD这一隐含条件,由此可知动点D的轨迹为一段圆弧,再结合向量数量积的几何意义,找到的最大值.不同的思维深度得到不同的解法,花费的解题时间也不同,给不同层次的学生展示的机会,考查了学生对知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.

1.3 关注应用，考查素养与能力

《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订)》指出:在学习数学和应用数学的过程中,学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养.数学来源于生活,又服务于生活,与实际生活相结合的数学试题一直是高考的热点,文科、理科第17题取材于橡胶生产的实际情境,比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,借助假设检验的基本思想,利用样本平均数和方差作为工具进行统计推断,属于统计学知识在实际生产中的应用,考查了学生的数学运算、逻辑推理、数据分析等数学素养与能力.

例3(文科、理科第17题)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i＝1,2,…,10),试验结果如表1所示.

表1

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高).

点评

该题考查了学生数学阅读能力以及将现实情境抽象为数学问题的能力.解题时需借助所学的统计学知识,计算出样本平均数与方差,根据题设比较两种工艺对橡胶产品伸缩率的影响,有效考查了学生应用所学知识分析、解决问题的能力.

1.4 强调创新，考查思维的灵活性

《中国高考评价体系》指出:素质教育中的智育和以往教育理念中的智育最大的不同在于其对创新性的强调.理科第20题(文科第21题)看似是一道常规的定点问题,但不同于往常的动直线、动圆过定点,而是动线段的中点为定点,是一道体现创新性的试题.该题通过命题创新,创设新颖的试题情境、新颖的题目条件、新颖的设问方式,考查学生思维的灵活性.

点评

该题从不同的角度思考可以得到不同的解法,可以有效发散学生的思维,不同的解法在运算程序和运算量上有很大的差别,所以要求学生能够根据问题的题设条件,选择合理的运算程序,简化运算步骤,从而得到简捷的解答过程.此外,该题蕴含着一般化的几何背景,将其进一步推广可得如下命题.

命题1已知椭圆C的方程为(a＞b＞0),左顶点为A(－a,0),上顶点为B(0,b),过点D(－a,b)的直线交椭圆C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,线段MN的中点为上顶点B.

命题2已知椭圆C的方程为(a＞b＞0),左顶点为A(－a,0),上顶点为B(0,b),过点D(－a,b)的直线交椭圆C于P,Q两点,直线BP,BQ与x轴的交点分别为M,N,线段MN的中点为左顶点A.

命题3已知椭圆C的方程为(a＞b＞0),左顶点为A(－a,0),点D为直线x＝－a上任意一点,过点D作椭圆C的两条切线,切点分别为A,B,过点D的直线交椭圆C于P,Q两点,直线AB,AP,AQ的斜率分别为k,k1,k2,则k1＋k2＝2k.

2 高考备考建议

2.1 重视“四基”，发展数学关键能力

在高考备考中,要重视巩固基础知识、落实基本技能、感悟基本思想方法、积累基本活动经验,如将教材中的基本概念、基本知识等按照函数、几何、概率统计等模块进行梳理,形成知识网络体系;按照解题思想,根据数形结合、转化与化归、整体思想、分类讨论等将高考常考题型进行分类,总结求解常规题型的通性通法,注重教材知识的生成过程,善于运用“本原”法解题.这样,我们才能切实有效地提高复习效率,发展数学关键能力和数学学科核心素养.

2.2 重视解题，更要重视解决问题

《中国高考评价体系》指出高考要从“解题”向“解决问题”,从“做题”向“做人做事”转变,这就要求我们在高考备考中关注时事,关心政治,注重对数学阅读能力的培养,能够从真实的问题情境中抽象出数学模型,灵活运用所学数学知识分析、解决问题,避免“死记硬背”“生搬硬套”“机械刷题”“题海战术”.

2.3 重视真题，关注高考试题变化

高考试题凝聚着命题人的心血与智慧,是经过命题者反复考量与打磨的,对高考的备考具有导向性与启示性.我们在复习备考中要重视对高考真题的收集、整理、归类、溯源、拓展,明确其考查的内容、方向、要求,感受高考题的变化趋势与基本态势.此外,我们应关注教育与考试部门发表的有关考试的最新信息,掌握最新的考试动态,研读官方文件与指导性材料,如《中国高考评价体系》《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》等,以便科学、高效地进行备考.

(完)