［摘  要］ 数学建模是培养学生数学素养的有效路径。“生活原型”是数学建模的逻辑起点，“数学化”是数学建模的有效路径。在数学建模教学中，教师要引导学生经历数学知识的再创造，助推学生建构数学模型，同时要引导学生为数学模型赋予意义，让学生变式迁移、应用数学模型。在数学建模的过程中，教师要相机渗透数学思想、方法。数学建模能有效提升学生的数学学习能力，发展学生的数学核心素养。

［关键词］ 小学数学；数学建模；数学化

学生数学学习的过程就是数学建模的过程。所谓“数学建模”，是指“用数学的眼光观察问题，用数学的思想、方法解决问题，用数学的语言描述问题的一种学习方式”。引导学生数学建模，关键是将现实问题“数学化”。数学化，按照荷兰著名数学家弗赖登塔尔的观点，包括“横向数学化和纵向数学化”。所谓“横向数学化”，是“将生活化问题提炼、抽象成数学问题”，是“引导学生从生活世界走向符号世界的过程”。所谓“纵向数学化”，是指“对数学知识的型塑，也就是对数学知识的归纳、抽象、概括、推理、推广等”［１］。数学化，有助于促进学生数学建模。

一、生活原型：数学建模的逻辑起点

从某种意义上来说，数学模型都是具有现实生活原型的，都是对生活原型的抽象、提炼和概括。因此，“生活世界”中的丰富的“生活原型”是数学建模的根基，是数学建模的逻辑起点。在学生数学建模的过程中，教师要让学生对数学模型的实际原型有充分的了解，明确数学模型的原型特征。为此，教师要为学生提供贴近生活的学习背景，引导学生从生活世界中主动提炼相关的数学信息，并运用已有知识和经验，对提炼出的数学信息进行深度加工。这样的一个过程，其实就是对生活问题、生活现象等不断简化、逻辑化、抽象化、概括化、形式化的过程。

数学模型是对客观世界的一种数学化确证与表征，是对生活现象的一种逻辑化、概括化、符号化的提炼、抽象和概括。在数学教学中，教师要充分应用相关的生活世界中的素材、资源等，尤其要应用生活世界中与数学知识相关的典型素材、资源等。比如教学“正反比例的量”时，教师必须为学生提供生活世界中相关的课程资源、素材等，或者让学生自主收集生活世界中常见的量、量的关系等相关的现实背景下的课程资源、素材等。在此基础上，教师可以引导学生自主分析分类相关的课程资源、素材等，比如哪些量有关联，哪些量没有关联？在有关联的量中，这些量之间有着怎样的关系？哪些量是一种扩大另一种也随着扩大？在一种量扩大另一种量也随着扩大的两种量中，哪些量相对应的两个数的比值也就是商保持一定？等等。借助生活化、典型化的课程资源、素材，学生可以展开深度思考、探索。如此，学生就能逐步抽象、概括出“成正比例的量的特征”，逐步建构出“成正比例的量”的数学模型。教师要通过引导学生充分经历“横向数学化”和“纵向数学化”，让学生逐步深入数学知识的本质腹地。在数学教学中，教师用数学建模的眼光观察学生数学学习，就是要充分发掘课程资源、素材中的建模因子，充分精选、优化、打磨、完善数学知识的生活原型。有时候，为了教学需要，教师可以深度加工相关原型。

从学生的生活世界中精选、优化数学知识的原型，能有效激发学生的数学建模兴趣，调动学生数学建模的积极性，发掘学生数学建模的创造性，进而让学生积极投入数学建模过程。挑选、精选、优化数学原型素材，看似无足轻重，实则独具匠心，不仅体现教师的教学设计、研发思想，更体现教师的数学化眼光、数学建模思想和观念等。

二、经历创造：数学建模的教学演绎

按照荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔的观点，学生数学建模的过程，就是学生数学“再创造”的过程。对数学知识的“再创造”，要求教师用建模的数学思想和观念来指导自我的教学，这就是数学建模的教学演绎［２］。为此，教师要让自己的数学教学切入学生数学建模的最近发展区，让学生从自我的数学现实水平出发，经由“再创造”，实现对相关知识的模型建构，从而抵达学生的“可能发展水平”。“再创造”是数学建模的主要方式，不僅体现教师的教学智慧，更体现学生的学习机智。

在引导学生进行数学“再创造”的过程中，教师要适度、适时地指导，调控活动进程，让学生经历从“生活原型”到“数学模型”的抽象、提炼、概括。比如教学“认识乘法”时，教师要引导学生充分经历“算法建构”的过程。因为“乘法模型”具有普适性的意义，在数学学科中有着广泛的应用，比如“单价乘数量等于总价”“工效乘工时等于工总”“速度乘时间等于路程”，比如“长方形的面积公式”“平行四边形的面积公式”，等等。“乘法模型”体现的数学意义有二：一是几个相同加数的和的简便运算，二是一个数的几倍或几分之几。其中，相同数的连续相加是乘法模型的建构基础。因此，教学中教师要重点突出相同加数，并在相同加数连续扩张的过程中，催生学生“再创造”，如“5+5+5”“5+5+5+…+5（10个）”。通过这样的富有强烈刺激的“相同加数”以及“相同加数的个数”，让学生深刻感悟到“乘法是表示相同加数的和的简便运算”，从而帮助学生建构乘法模型——“a×b”。

建构模型时，在引导学生对数学知识“再创造”的过程中，教师要淡化符号表达，彰显意义表达，例如有学生将“a×b”表征为“a△b”“a※b”“ab”“a［ｂ个相加］”等。不同模型符号的“再创造”彰显着学生的独特性理解，体现着学生的个性化思维、个性化认知。在数学建模的过程中，教师要引导学生深度思考、探究。从某种意义上来说，数学建模的过程，是对具有相同属性的一类运算抽象、概括的过程。建构数学模型，能有效巩固学生所学的数学知识，培养学生的数学思维能力、数学实践能力。

三、赋予意义：数学建模的迁移应用

教师引导学生建构数学模型，还要注重赋予模型意义，注重模型的具体化应用。只有这样，学生才能感受、体验到数学模型的意义和价值所在。数学建模，是学生数学思想方法“从外走内”的一种内设性桥梁。赋予数学模型意义，能促进学生理解数学模型，提升学生应用数学模型解决问题的能力；赋予数学模型意义，能增强学生应用数学模型解决问题的信心。

例如教学“梯形的面积”时，引导学生建构梯形面积模型后，教师呈现诸多应用梯形面積模型可以解决的实际问题，能丰富梯形面积模型的意义，深化学生应用梯形面积模型及变式。比如“一堆钢管，最上面的一层可作为梯形的上底，最下面的一层可作为梯形的下底，层数可作为梯形的高，所以钢管总根数可以看成梯形的面积”；比如“时钟在六点敲六次可以看成梯形的上底，在十二点敲十二次可以看成梯形的下底，从六点到十二点时钟一共敲击了七次可以看成梯形的高，总敲击次数就相当于梯形的面积”，这是学生特有的具有创造性的联想。不仅如此，在迁移、应用梯形面积模型的过程中，有的学生结合已有知识和经验，将“三角形看成特殊的梯形”，即“三角形是上底为零的特殊梯形”；将“平行四边形看成特殊的梯形”，即“平行四边形是上底和下底相等的特殊梯形”；将“正方形看成特殊的梯形”，即“正方形是上底、下底和高都相等的特殊梯形”，等等。这样的一种对梯形面积模型的变式迁移、创造应用，能让学生超越传统的将梯形面积模型局限于图形与几何的领域，延伸拓展到“数与代数”等相关领域。赋予这样一种意义，能深化学生对梯形面积模型的认知，拓展学生对模型的意义的理解。

用数学建模思想来指引学生数学学习，能让学生统整相关数学知识的意义。建构数学模型不仅仅是为了获得一个数学结论，更重要的是帮助学生从系统化、形式化、符号化的视角去把握现实世界，让学生用数学思想方法去刻画、描述现实问题。当学生经历数学模型再创造、变式应用等过程后，学生就能初步形成一种“模型化”处理相关问题的能力、素养，就能感受、体验到数学模型建构的意义。

四、感悟思想：数学建模的经验累积

对数学思想方法的感悟，是数学模型建构的重要旨归。数学建模，不能就问题建模而建模，应当引导学生建模后，对建模过程进行反思。要通过建模反思，帮助学生累积相关的数学建模经验。数学模型蕴含着一定的数学思想方法，数学建模过程同样也渗透着一定的数学思想方法。教师引导学生感悟建模思想，能帮助学生积累、提炼、生成数学建模的活动经验。

例如教学“圆的面积”时，教师可以放手让学生建构数学模型，如“圆通过剪拼转化成长方形”“圆通过剪拼转化成三角形”“圆通过剪拼转化成梯形”等。在剪拼的过程中，教师可以引导学生比较不同的转化方法，重点突出“转化思想方法”在圆面积的推导过程中的作用。这里，不仅仅是将未知转化为已知，更重要的是凸显将弯曲转化为笔直（化曲为直）的思想方法。不仅如此，在引导学生建构模型的过程中，还要突出“极限思想方法”的渗透、融入、应用。“把……等分成……，等分的份数越多，……越接近……”这样的一种表述，不仅仅是一种概念化表述，更是极限思想方法的语言载体。“语言是存在的家园”（海德格尔语），在数学模型的建构过程中，教师要引导学生用抽象化、符号化、形式化的语言来描述模型的建构过程，来刻画模型的建构结果。如此，学生就能感受、体验到数学思想方法的神奇力量，就能感受、体验到数学思想方法的一种熏染、启迪。例如有学生建构“圆的面积模型”时发出这样的由衷感叹：“随着平均分的份数越来越多，圆就越来越接近长方形了；当圆被平均分成无数等份时，圆就是长方形了……”这样的感叹，说明学生已经深刻触摸到了“极限思想”“极限方法”。在数学模型的建构过程中，教师要相机渗透、融入相关的数学思想方法，诸如对应思想方法、转化思想方法、数形结合思想方法、函数思想方法等。对数学思想方法的重视，一定能让学生将数学建模上升到理性高度，充满着一种理性味道。

数学建模是提升学生数学学习能力、发展学生数学核心素养的重要路径。从某种意义上来说，任何一个数学知识点都是一个微型的数学模型。同样，任何一个数学知识点的教学，都是一种建模教学。在数学建模的过程中，教师不仅要引导学生进行数学化的再创造活动，还要注重赋予生活化的意义，注重数学模型的生活实践应用。只有从“数学化”“生活化”双重视角开展数学建模教学，才能有效丰富学生的数学建模经验。

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔说：“与其说是学习数学，毋宁说是学习数学化；与其说是学习公理，毋宁说是学习公理化；与其说是学习形式，毋宁说是学习形式化。”基于数学化的数学建模，能有效激发学生的数学思考，引导学生的数学探究。数学建模，应当充分体现数学化的过程，培育学生数学化的眼光、数学化的大脑，这是数学建模教学的应然状态和至高境界。

参考文献：

［１］ 吴炜芬. 数学建模与小学数学相结合的教学探究［Ｊ］. 基础教育研究，２０２１（１０）：７７－７８.

［２］ 蔡文平. 小学数学建模教学的意义和策略［Ｊ］. 教育研究与评论（小学教育教学），２０１６（１２）：６６－６８.

基金项目：江苏省中小学教学研究2019年度第十三期立项课题“基于小学生数学关键能力发展的教学实践研究”（2019JK13-L200）；江苏省教育科学规划2020年度重点自筹课题“基于小学生数学关键能力发展的教学转型研究”（B-b/2020/02/39）。

作者简介：刘国文（1977—），本科学历，中小学高级教师，从事小学数学教学工作。