彭晶 曹广福

摘要：中小学教育教学中一个值得关注的问题是文理交融 ，即人文课程与数理课程的交叉融合 ，这同时也是跨学科视域下的重要命题。以小学语文教材与小学数学教材中均出现的 “田忌赛马 ”的教学为例 ，说明跨学科视域下的文理交融教学应呈现的样态 ：语文课在注重文学性的同时兼顾思辨性 ，数学课在强化理性思维的同时兼顾人文性。

关键词 ：跨学科 ;文理交融 ;思辨性 ;人文性 ;田忌赛马

中小学教育教学中一个值得关注的问题是文理交融 ，即人文课程与数理课程的交叉融合 ，这同时也是跨学科视域下的重要命题。本文将以小学语文教材与小学数学教材中均出现的 “田忌赛马 ”的教学为例 ，谈谈语文课如何在注重文学性的同时兼顾思辨性 ，数学课如何在强化理性思维的同时兼顾人文性。

一、从“田忌赛马 ”教学看文理交融

统编小学语文五年级下册第 16课便是《田忌赛马》，课文根据汉代司马迁的《史记 ·孙子吴起列传》相关内容改写而成。这个故事还出现在人教版小学数学四年级上册第 8单元《数学广角 ———优化》中。

从这两册教材的呈现方式看 ，前者注重文章的叙事性与文学性 ，后者关注的则是原理性与思辨性。相应地 ，语文课与数学课的教学方法也大相径庭。

语文课往往注重引导学生分析孙膑观察事物以及洞察人心的能力。比如 ，一位教师这样引导学生思考 ：师孙膑观看几场赛马后 ，发现了什么 ？生在第 2自然段中可以找到 “大家的马脚力相差不多 ，而且都能分成上、中、下三等 ”。 （教师板书 ：脚力相差不多 ，分成上、中、下三等。）

师齐威王的馬与田忌的马脚力相当 ，可是田忌只换了一下出场顺序 ，就确保获胜 ，这是为什么 ？请同学们联系上下文寻找答案。

生在同一等级中 ，脚力相当。如果换了顺序，就有差别了。第一回合 ，田忌用下等马对齐威王的上等马 ，输了 ;第二回合 ，田忌用上等马对齐威王的中等马 ，胜出 ;第三回合 ，田忌用中等马对齐威王的下等马 ，依然胜出。

师从你的回答中可以推知 ：孙膑通过细心观察还发现了 ，齐威王每次派马上场的等级顺序都没有变化 ，而且 ，齐威王容易轻敌 ，一般不会改变出马顺序。所以 ，他给田忌想办法才能 “保证 ”获胜。也就是说，孙膑除了观察到马 ，还观察到了什么 ？

生他不仅观察到了马 ，还观察到了人。

师从这里可以看出 ，孙膑想出这个办法是有理有据的。你觉得孙膑是一个怎样的人 ？

生足智多谋。

生善于观察。

生出奇制胜。 （教师依次板书。）

师语言是思维的外壳 ，让我们一同来赏析孙膑语言背后的智慧。 （出示 ：“将军 ，我有个办法 ，保证能让您在赛马时获胜。”“一匹也不用换。”将“军请放心 ，按照我的主意办 ，一定能让您赢。”学生自主阅读第 3—第13自然段。）

师佩服孙膑吗 ？他的智慧藏在细致的观察里，藏在敏锐的思考中 ，藏在大胆的谋划下。老师还十分佩服作者。他用精炼的文笔描写了比赛的过程 ，用精彩的对话再现了田忌和孙膑二人不同的神态、心理，让语言、思维、智慧立体地展现在课

文里。对话体的段落 ，既适合朗读 ，又适合表演。朗读、表演应把握人物的心态。请大家读读课文 ，揣摩田、孙、齐三人的心态 ，然后上台表演。

（准备好了的学生上台表演。其他学生通过观察 ，在教师的引导下 ，从神态、动作、语言、心理等方面评价同学的表演。）

数学课则更注重引导学生类比迁移 ，探寻最优的应对策略 ，感悟运用对策获胜的运筹思想。比如 ，一位教师的教案 （“情境创设 ，探究对策 ”部分 ）如下 ：

提问 ：你们平时都玩哪些游戏 ？预设 ：扑克牌游戏 ，比大小。游戏规则 ：双方每次各出一张牌比大小 ，

先选牌者先出牌 ，采用三局两胜制。

1.第一次 PK教师出示两组扑克牌 ，分别是 10、7、4和 1（A）、 2、3，男、女生选牌。提问 ：你选择哪一组比大小 ？提示学生这里的 1、2看作数字。

引导 ：选择 1、2、3的同学总是会输 ，因为实力太悬殊了。

2.第二次 PK

课件出示 10、7、4和9、6、3两组牌 ，学生

选牌。预设 ：先选者选择 10、7、4。提问 ：先选牌者先出牌 ，后出牌者怎么才

能赢 ？推送动画 ：两人一组进行游戏 ，并记录结果。提问 ：后出牌者有多少应对的方法 ？请你写出来。

……

先分析语文课中的 “田忌赛马 ”教学 ———教师通过设问 ，引导学生分析孙膑为何 “胸有成竹 ”。然而 ，孙膑的办法是建立在齐

威王第二场不会更换出马的顺序这一前提下的。按照一般的比赛规则 ，双方应该同时出马。然而 ，孙膑依据什么判断齐威王不会改变出马的顺序 ？所谓的 “可以推知 ”，完全是教师在假定孙膑足够智慧情况下的主观猜测，而且是脱离课文描写的 “脑补 ”。当齐威王发现田忌在第一场比赛中用最弱的马对付他最强的马时 ，怎么可能没有警觉 ？这里 ，显然缺少一点思辨。作为一国之王 ，齐威王手下也不乏智囊、参谋 ，竟如此缺乏谋略 ！上述教学过程 ，显然将齐威王愚化了。

既然齐威王与田忌经过之前的较量 ，彼此都了解对方的马 ，当齐威王发现田忌第一场出最弱的马后必然会疑惑。即使他自己想不出计策 ，也会问身边的谋士。倘若齐威王第二场用最弱的马出场 ，田忌该出什么马 ？他又如何得知齐威王第二场会出什么马 ？按照孙膑的预判 ，齐威王不会更换出马的顺序 ，田忌在第二场比赛中就该出最强的马。这样，田忌最终就可能输掉。把获胜建立在齐威王始终按照之前比赛的顺序出马上 ，不是高估了孙膑的智慧 ，而是假设齐威王不仅得意忘形 ，而且愚笨。这不符合博弈的基本假设。文学故事可以适度夸张 ，但不宜为了得到某个结论而有悖常识。语文教学既需要一点思辨 ，更需要具有一定的批判精神。历史故事有其产生的特定背景。战国时期出现这样的故事不足为奇 ：正所谓 “兵者 ，诡道也 ”，使用诡计、刺探情报都不违背战争规则。然而 ，赛马毕竟不同于战争 ，其基本的规则是同时出马 ，孙膑可以分析、猜测齐威王每一场将会出什么马 ，但不可以像刺探军事情报一样打探齐威王每一场出什么马 ;否则 ，便违反了比赛规则。一旦齐威王发现田忌作弊 ，后果可想而知。如果孙膑判断齐威王始终按照之前比赛的顺序出马 ，

齐威王在第一场或许用最强的马出场 ，而田忌用最弱的马出场 ，那么 ，齐威王在发现了田忌的出马顺序反常后 ，必然会调整策略。一旦第二场齐威王用最弱的马出场 ，而田忌用最强的马出场 ，则田忌虽然能赢得第二场比赛，但在第三场比赛中很可能输 ，最终还是齐威王赢得比赛。

如果语文课能在赏析原文的基础上引导学生分析课文中存在的有悖常識与逻辑的问题，相信 ，这样的课堂对于提升学生的思辨能力是有益的。换言之 ，语文教学不宜被动地接受 ，在赏析文学性的同时 ，适当融入理性思维是必要的。

再来看数学课中的 “田忌赛马 ”教学 ———

数学教学的人文性 ，并非仅指表达的方式如同文学作品那样充满诗情画意 ，更包括数学知识内在的文化性 ，更不能违背生活常识。对策 （也称为博弈 ）被广泛运用于社会活动，尤其是经济活动中。只要存在竞争 ，便存在博弈。但所有社会活动中的博弈 ，都需要遵照特定社会活动的规则 ，这样才能使得博弈在公平公正的情况下进行。

以上面的扑克牌游戏为例 ，教师别出心裁地亮出 “10、7、4”与 “1、2、3”两组牌。且不说两组数字的书写顺序不宜相反 ，出示这两组数据对小学四年级的学生来说可能太容易了，或许对更低年级的学生才适用。教师如果想发挥一下 ，换一个角度设问或许更具有启发性 ：（1）如果用 “3、2、1”与“10、7、4”比大小，前者有没有可能胜过后者 ？学生当然清楚这是不可能的。（ 2）“田忌赛马 ”的故事给了我们什么启发 ？当两副牌强弱差别有多大的时候 ，一方可以做到以弱胜强 ？这样设问不仅具有启发性 ，而且能将扑克牌的大小比较与 “田忌赛马 ”之间的逻辑关系自然地建立起来。

上述扑克牌的大小比较 ，也存在有悖常识的问题。按照扑克牌的竞技规则 ，通常是一方出牌后 ，另一方再决定出什么牌 ，根据牌的大小决定下一轮谁先出牌。当然 ，扑克牌的大小比较可以作为一种博弈模型 ，不一定按照通常的扑克牌游戏规则进行。事实上 ，博弈分静态博弈与动态博弈两种。所谓静态博弈 ，即双方同时决策 ，竞标通常属于这类博弈;所谓动态博弈 ，指的是一方的决策在另一方的决策之后进行 ，市场经济中的博弈很多都属于这种类型。这就对教师提出了一定的专业要求 ，需要了解博弈的基本常识。

博弈论有两个基本假设 ：（1）参与人 （也称为局中人 ）同样聪明 ;（2）参与人同样理智。博弈不仅有静态博弈与动态博弈之分 ，也有完全信息博弈与不完全信息博弈之分。完全信息博弈 ，指的是信息是透明的 ，彼此都知道对方的信息 ，彼此也都知道对方知道自己的信息。不完全信息博弈 ，则是指双方的信息不被对方知道或不完全被对方知道 ，双方也不清楚自己的信息是否被对方知道。例如 ，竞标便是不完全信息博弈 ，而市场经济中的竞争通常属于完全信息博弈。此外 ，博弈还分零和博弈与非零和博弈。竞标就是一种零和博弈 ，因为一方中标意味着另一方不中 ，通俗地说即 “你死我活 ”。而市场经济中的博弈大多属于非零和博弈 ，正所谓 “合作共赢 ”。这些常识性问题 ，对小学高年级学生而言并不难理解。教师只要真正了解 ，就可以用通俗易懂的方式让学生理解 ，从而掌握一些社会活动中的基本常识。这便是数学教学中的人文性。

数学教学的人文性 ，还体现在语言表达上。由于 “田忌赛马 ”的故事出现在五年级下册语文教材中 ，数学课上介绍这个故事的时候，学生还没有从文学的角度接触过。数学教师不妨参考语文教材的表达方式 ，以叙事的方式有 “诗意 ”地讲述这个故事。在此基础上，理性分析这个故事产生的背景及合理性 ，尝试作出改良。这才是真正意义上的培养学生的数学思维能力。

按照博弈的类型 ，教材中的扑克牌游戏可以看成完全信息下的动态博弈。因为 ，扑克牌是完全公开的 ，彼此都知道对方的信息 ，也都知道对方知道自己的信息 ;而且 ，规定每次都是先选牌的一方 （基本都会选 “10、7、4”）先出牌 ，另一方在对方出牌之后再决定出什么牌。这种情况下 ，手握 “9、6、3”的一方能否赢得对方 ？教师做了上述铺垫后 ，学生也就明白此扑克牌游戏非日常生活中的扑克牌游戏，而代表了一种博弈模型。只要每次都是手握 “10、7、4”的一方先出牌 ，手握 “9、6、3”的一方必定可以获胜。教师可以引导学生分析，当较强的一方出什么牌的时候 ，较弱的一021方对应出什么牌以确保获胜。在此基础上展开，说明军事斗争中情报工作与保密工作的重要性。战争中双方力量可能相差比较悬殊，但只要情报准确 ，策略运用得当 ，集中优势兵力 ，依然可以做到以弱胜强。

上述扑克牌游戏与 “田忌赛马 ”有本质的不同。“田忌赛马 ”属于典型的静态博弈 ：虽然彼此知道对方三匹马的实力 ，也知道对方知道自己三匹马的实力 ，但双方同时出马 ，并不清楚对方每一次出什么马。所以 ，它与上述扑克牌游戏属于不同的博弈模型 ，用通常的方法无法事先判断谁输谁赢 ，只能分析较弱的一方在何种情况下才有胜算以及胜算的可能性有多大。待到高中学习概率知识之后，可以从概率的角度计算田忌获胜的可能性。

二、跨学科视域下的文理交融教学新探

教育的目的是启智 ，是让人学会思考。

“田忌赛马 ”分别出现在五年级下语文教材和四年级上册数学教材中。也许时序统一起来 ，更便于两门课程的协调教学。无论是语文教学还是数学教学或者其他课程的教学，都不应该违背生活常识 ，给学生传递错误的信息。一些与日常生活看似相同实质不同的现象 ，更应该向学生解释清楚 ，否则很容易误导学生。语文教学不宜被动地接受现成的材料 ，而应以一种批判的眼光分析历史故事 ，尤其是注意辨别那些历史故事中违背常识与逻辑的假设 ，或者给出其合理的解释。

语文教学可以通过对 “田忌赛马 ”故事的剖析 ，说明在竞技比赛与经济活动中需要按照各自的规则进行 ，这与军事斗争是不同的。 “田忌赛马 ”是一个以弱胜强的故事。战争中以弱胜强的例子比比皆是 ，可以通过四渡赤水、飞渡泸定桥等战争史上经典的案例说明如何做到以弱胜强。同时应该说明 ，市场经济博弈应该建立在公平、诚信的基础上 ，诡道不适用于市场经济。军事斗争与经济竞争是完全不同的博弈形式 ，前者是零和博弈 ，后者是非零和博弈 ，竞争的结果应该是合作共赢。即使是体育竞赛这样的零和博弈 ，也要体现出友谊第一的体育精神 ，不妨通过竞赛场上那些感人的故事告诉学生 ：相比于赛场上的获胜 ，人性、尊重与关爱更值得被赞赏。这样才能传递给学生正确的人生观与价值观。

我们不妨从数学教学的角度 ，重新设计这节课 ：

导入 ：同学们 ，今天给大家讲一个故事。战国时期出了个军事天才 ，他是写《孙子兵法》的孙武的后人 ———孙膑。孙膑聪明过人 ，足智多谋 ，著有《孙膑兵法》。孙膑是田忌的谋士。田忌是战国初期齐国的大将军 ，一生勇猛善战、知人善任 ，是齐国的中流砥柱 ，为齐国成为战国七雄作出过巨大的贡献。孙膑在魏国时被魏国大将庞涓嫉妒 ，深受其害 ，以至双膝被剐。侥幸逃脱后 ，投奔齐国以求活命。他在齐国原先只是一个一文不名的门客。直到有一天 ，田忌在与齐威王赛马的时候发现了孙膑的才干 ，才开始重用孙膑 ，并由于得孙膑辅助而屡建奇功。我们且来听听这个流传千古的故事 ……

引导 ：哪位同学来告诉大家 ，你从这个故事中得到了什么启发 ？

学生的回答或许与教师的预估有所出入，教师可以在学生讨论的基础上进一步引导。

启发 ：你们认为这个故事合乎情理吗 ？赛马比赛通常按照什么方式进行 ？如果一方事先获知另一方出什么马 ，这是什么行为 ？如果猜测对方将出什么马 ，这样的猜测一定准确吗 ？历史上为什么会出现这样的故事 ？

介绍 ：战国时期出现这样的故事不足为奇。正所谓 “兵者 ，诡道也 ”，战争中既要做好保密工作 ，又要做好情报工作 ;只有知彼知己，方能百战不殆。这个故事蕴含着一个深刻的理论。这个理论无论是在竞技比赛中还是在经济活动中都有着广泛的应用。

如果时间允许 ，可以给学生介绍冯 ·诺伊曼解释什么叫对策时所讲的故事 ：甲、乙、丙三个人进行决斗 ，决斗的工具是手枪 ，规则是三人轮流开枪 ，直到最后只有一个人活着。三人的枪法不同 ：甲是神枪手 ，百发百中 ;乙的枪法次之 ，平均两枪中一枪 ;丙的枪法最差，平均三枪才能中一枪。为了体现决斗的公平 ，三人商量后 ，决定先由丙开枪 ，丙应该向谁开枪 ？

继续介绍 ：这个著名的理论就叫博弈论 ，也叫对策论。博弈论分很多种类型 ，其中一种类型叫完全信息动态博弈 ，现在我们就来看看什么叫完全信息静态博弈。

教师拿出两组扑克牌 （或者 PPT展示 ），分别为 “10、7、4”与 “9、6、3”。游戏的规则是所有的牌都翻开 ，大家都知道彼此的牌 ，三轮出牌顺序始终是手握 “10、7、4”的一方先出。

讨论 ：按照上述游戏规则 ，“9、6、3”能不能胜过 “10、7、4”？如何才能胜 ？

在讨论完上述问题后 ，教师可以进一步向学生解释 ：一方先出牌 ，另一方根据对方的出牌决定自己出什么牌 ，这就是所谓的动态博弈 ;双方都知道对方的牌 ，这就是完全信息博弈。

追问 ：可否将田忌赛马的故事进行改写 ，使其更符合逻辑 ？

可以仿照上述扑克牌游戏重新制定赛马规则 ：即每场比赛均由齐威王首先出马。这时，田忌如何选择出马顺序方能胜过齐威王 ？这样的规则虽然显得有些不合常理 ，但让实力比较强的一方先出马也说得过去。齐威王或许看不出田忌的意图而同意这样的竞赛规则，既然同意了就不能反悔 ，待到发现田忌的出马顺序与之前的比赛不一样时悔之晚矣。故事按照这样的逻辑进行编排相对符合人物的个性与心态。

启发 ：生活中可以找到博弈的例子吗 ？

这个问题对四年級的学生来说或许是个挑战 ，但教师只要简单引导就不难找到身边的例子。例如 ，你对一个同学有好感 ，希望跟他交朋友 ，但彼此缺少一定的了解 ，你不知道对方是不是对你也有好感。这时候 ，你可以选择主动接近对方 ，多向对方表白 ，多帮助对方。这样 ，对方在了解了你之后 ，慢慢也可能对你生出好感 ，从而愿意跟你做朋友。这本质上就是一种博弈 ，通过交流 ，彼此了解对方的信息 ，一方表示了对另一方的喜欢之意 ，另一方根据对方的态度作出与对方做朋友或不做朋友的选择。虽然很难做到彼此完全了解，但随着时间的推移 ，彼此了解的程度越来越深 ，最终或许会成为好朋友 ，又或许因为进一步的了解觉得不合适而分道扬镳。在市场经济中 ，一方为了争取另一方 （合作者或消费者 ），需要以坦诚的态度介绍自己的实力、计划或产品 ，同时也要了解对方的实力 ，从而判断合作的可能性并争取双方利益的最大化。人的一生正是在这种不断的选择、放弃、再选择的过程中度过的 ，生活如此，工作也是如此。大家应学会思考、学会选择、学会放弃。

这样的数学课 ，不仅有了思辨性 ，也有了人文性。语文教师不妨以批判的眼光 ，重新设计 “田忌赛马 ”的教学。

（彭晶，广东省东莞市嘉荣外国语学校副校长。曹广福 ，广州大学数学与信息科学学院 ，教授 ，博士生导师。首届国家 “教学名师”，入选国家 “万人计划 ”领军人才教学名师。）