刘焕 邢成云

【摘要】以滨州市的一道选择压轴题为基，通过追本溯源与其它相关考题的探索，揭示考题与教材的关联；通过解题思路的多元分析，知法明理，最后从三个角度给出了教学启示.

【关键词】中考题；解题思路；几何直观；教学启示

1试题呈现

正方形ABCD的对角线相交于点O（如图1），如果∠BOC绕点O按顺时针方向旋转，其两边分别与边AB，BC相交于点E，F（如图2），连接EF，那么在点E由B到A的过程中，线段EF的中点G经过的路线是（）.

A.线段B.圆弧C.折线D.波浪线

说明本题是2022年滨州市中考第12题，处于选择题最后一道题的位置，有一定的难度，是一道立足素养、以能力立意、深度考查学生思维的好压轴题.

2追本溯源

本题可以看做是源于人教版（2012年版）八年级下册63页“实验与探究”，其内容呈现如下：

如图3，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的14.想一想，这是为什么？

也可以视为对角互补模型中，90°对角互补模型（如图4），当然这一模型也是四点共圆模型.

3解题思路分析

本题中当旋转开始时，点G可以看做是边BC的中点，旋转结束时，点G可以看做是边AB的中点，当点E，F运动到图2的特殊位置时，可以得到点G是线段OB的中点，可以观察到这三点共线，且与线段OB垂直，借助几何直观，猜测点G在线段OB的垂直平分线上，那么点G经过的路线就是线段（如图2）.

若利用几何画板验证一下（如图5），可以清晰的看出中点G经过的路线就是线段.当然这都是“几何直观”启发学生思考，而给出的基本判断.发现该线段是线段OB垂直平分线上的一部分，但这并不能做出线段的判断，需要进行逻辑证明.综合前面的分析，我们不难想到只要能证明点G在线段OB的垂直平分线上就能解决问题.由此探寻出如下思路.

方法一构造中线法

如图6，连接BG，由题意可知，在Rt△OEF和Rt△BEF中，BG=12EF，OG=12EF得BG=OG，则点G在线段OB的垂直平分线上，所以点G经过的路线是线段.这是最基本、最简单的方法.

方法二四点共圆

如图6，连接BG，在四边形OEBF中，根据∠EOF=∠EBF=90°，∠BEO+∠BFO=180°得，点O，E，B，F在以点G为圆心，OG为半径的圆上，可知BG=OG，则点G在线段OB的垂直平分线上，所以点G经过的路线是线段.这个方法其实与方法一本源一致.

方法三解析法（构造函数）

建立直角坐标系，如图7，令正方形边长为2，如图可知M（0，1），N（1，0），根据正方形的性质，直线MN是线段OB的垂直平分线，直线MN的解析式为y=-x+1.根据对角互补模型，可知ME=FN，设E（0，a），F（2-a，0），則点G坐标为（2－a2，a2），点G在直线y=-x+1上，所以点G在线段OB的垂直平分线上，所以点G经过的路线是线段.

也可直接从函数关系切入.借助图7坐标系，可得E（0，a），F（2-a，0），进一步求出点G坐标为（2－a2，a2），即点G的横坐标x为2－a2，记作x=2－a2，同样有y=a2，把x，y中的参数a消去即得y=-x+1，可见，点G的横、纵坐标构成一次函数关系.这就是解析法的威力，其中隐含了解析几何“求点的运动轨迹方程”的雏形.

方法四瓜豆原理

根据瓜豆原理，可以看做是“角+直线”的基本模型.

如图8，点O为定点，点E在线段AB上运动，E为主动点，∠EOG=45°为定值，点G为从动点，OE≠OG.则点G与点E的运动轨迹相同，都是线段.

点评法1、法2都是利用几何的方法证明BG=OG，根据垂直平分线性质定理的逆定理，得到点G在线段OB的垂直平分线上，所以点G经过的路线是线段.法3是利用解析法（构造函数）的方法，求出线段OB垂直平分线的解析式，利用中点坐标公式求出点G的坐标，判断点G是否在直线上，从而得到点G在线段OB的垂直平分线上.法4是利用“瓜豆原理”的模型来得到点G的运动轨迹，这个方法作为客观性题目无需通过证明，只要通过分析找到相应的模型，就可以得到结论.不过，这是个投机取巧的方法，也是不讲道理的方法，从这个意义上来说，如此考查的信度就低了.

4其它地市相关考题探索

变式1如图9，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE.连接DE，DF，EF.在此运动变化的过程中，下列结论：

①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是（）.

A.①②③B.①④⑤C.①③④D.③④⑤

分析本题是2009年重庆市中考题，③的证明方法中就可以取DE的中点G并连接，FG的最小值就是DE的最小值，其它结论的解答略.

变式2如图10，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N.若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（）

A.1B.2C.2D.22

分析本题是2021年重庆数学中考A卷第9题，这道题可以看做是滨州市这道中考题的一种特殊形式，考察的是图形的面积问题.

变式3同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形.受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

【问题一】如图11①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，则AE与BF的数量关系为；

【问题二】受图11①启发，兴趣小组画出了图11③：直线m，n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD，BC交于点E，F，直线n分别与AB，CD交于点G，H，且m⊥n，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积；

【问题三】受图11②启发，兴趣小组画出了图11④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC=6，CE=2.在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由.

分析本题是2022年内蒙古自治区中考题，是由人教版八年级下册教材63页“实验与探究”改编而来的，是对教材素材的进一步开发与利用，与滨州这道中考题的命制思路一致，都充分体现了中考题“源于教材、高于教材”[1]的基本定位.

数学课程标准中对初中阶段综合与实践领域的教学提示为：可采用项目式学习的方式，以问题解决为导向，整合数学与其他学科的知识和思想方法，让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释社会生活以及科学技术中遇到的现实问题，感受数学与科学、技术、经济、金融、地理、艺术等学科领域的融合，积累数学活动经验，体会数学的科学价值，提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展应用意识、创新意识和实践能力.

这道题也让我们看到在数学解题中即要注重培养学生的阅读能力，又要注重数学教材中的“阅读与思考”“实验与探究”“数学活动”的教学.

5两点商榷

从精益求精的立意审视，本题有两点值得一提.

5.1本题的示意图不具备一般性.

示意图画成了特殊旋转状态，这无形中已经暗示了思路，可以用特殊位置法，通过排除获得答案，这样以来就把题目的考查意图给低浅化了.所以说，如此命题值得商榷，应该用一般状态画出示意图，否则考查的意义、价值就打了折扣，其信度也会随之下降.

5.2波浪线的说法值得考究.

波浪线太生活化了，数学上没有这个概念或说法，如此表述非常不严谨，这个干扰支缺乏科学性.

6教学启示

6.1立足教材，内化数学核心素养

“教材不仅是课标理念的载体，也是课堂教学的依托，更是学习过程中非常重要的课程资源.”这是北京师范大学周玉仁教授提出的一个重要结论.

每年的中考题中都不乏课本习题的影子，在实际教学中教师应当以教材作为起点，有目的地钻研教材，正确理解教材的编写意图，体会教材中所蕴含的数学思想方法，明确自己在教学过程中要注意的事项，如此，才能更好的落实学科素养培养.

6.2基于课标，加强几何直观教学

“几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径.”[2]几何直观是2022年版课标的加强点，在课标中除了这句关于几何直观的功能定位外，还在第四学段（7～9年级）“学业质量标准”中明确提出了“进一步增强几何直观”[2]82.这都给了一线教师加强几何直观教学的缘由.的确，用直观探测思路，用逻辑证实结论，这是一个完整推理的闭环，缺失了几何直观的教学，逻辑推理能力的形成链条就会断裂.本题尽管是一道选择题，在考场上的信度难以保障，但作为教学资源就不同了，它自身承载着合情推理与逻辑推理的联手功能，就在考量教师如何直面问题开展教学，如何从解法研究走向教学研究，在实践中不断体会几何直观的育人价值.

6.3选好母题，加强图形变式教学

“题不求多，但求精彩.”最年轻的院士孙斌勇说过：“一个问题，它肯定不是孤立的东西，附近有很多知识，把它周边的知识都要学明白，理解了这个问题，你才能解决它.”因此，甄别遴选好题目至关重要，要选择内涵丰富、具有生长力的“好题”，基于此，通过“变式”进行整体教学，引导学生通过一题多变、一题多解等进行多维思维训练，或者改变题目的条件或结论，把一道题变成一类题，使知识连成串、结成块.亦即根据来源于教材或中考的一个题目或问题，在课堂教学中注意探寻与这个题目或问题相关的知识间的前后联系和内在逻辑，对这个题目不断进行变式或拓展、推广，完善知识结构、建构方法体系、积累基本活动经验、学会数学思维，以灵活运用所学的基本知识，举一反三、融会贯通，从而达到发展核心素养的目的.

参考文献

[1]邢成云.研中考之題，得教学之势[M].北京：团结出版社，2021：33.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022：8.

作者简介刘焕（1986—），女，山东滨州人，中学二级教师;主要从事课堂教学研究.

邢成云（1968—），男，山东滨州人，中学正高级教师（二级）；教育部名师领航工程邢成云名师工作室主持人，国家“万人计划”教学名师，山东省突贡专家，山东省特级教师；主要研究初中数学课堂教学.