余树宝 王鹏

[摘  要] 立体几何是高考的重要考点之一，问题的解决对学生的必备知识、关键能力以及学科素养等方面有着较高要求，因此备考复习要注重高考真题的教学实践与思考;要研究课程标准，明确备考方向;要关注重要问题，积累解题经验;要提升关键能力，发展核心素养.

[关键词] 高考;立体几何;教学;思考

立体几何是高中数学重要的教学内容之一，兼具高考指导性的《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对于立体几何的“教学提示”为：教学最主要的任务是帮助学生逐步形成空间观念，认识空间几何体的结构特征，掌握平面上表示空间图形的方法和技能. 引导学生发现和提出描述基本图形平行、垂直关系的命题，逐步学会用准确的数学语言表达这些命题，直观解释命题的含义和表述证明的思路，并证明其中一些命题.鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合几何方法，从不同角度解决立体几何问题（如距离问题），通过对比体会向量方法的优势[1].

因此，高考对立体几何的考查一般聚焦于空间几何体中线面平行或垂直的论证、空间角（特别是二面角）的求解等问题，由此来考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力等关键能力，考查学生的理性思维和数学素养.

针对这一重要考点，笔者近日开展了2022年高考全国乙卷理科数学第18题立体几何问题的教学，下面以此为例，谈谈笔者的教学过程、设计意图以及教学思考，供同行参考.

真题再现

如图1所示，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E为AC的中点.

（1）证明：平面BED⊥平面ACD;

（2）设AB=BD=2，∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值.

试题分析

该题的第（1）问是近年来高考高频考点，考查两个平面垂直的判定，考查学生的逻辑思维能力和空间想象能力. 问题解决的关键是将面面垂直问题先转化为线面垂直问题，再转化为线线垂直问题，渗透着转化与化归数学思想.

第（2）问是本题的难点，考查线面角的求解，有别于往年考查二面角的求解.解决此类问题通常有两种方法——几何法和向量法.几何法求解主要分为两步——找角和求角，以考查学生的逻辑思维能力为主;向量法一般是先建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算解决问题，以考查学生的运算求解能力为主. 两种方法各有优势，但无论用哪种方法，“推理”和“运算”都是不可缺少的，所以说推理是数学的“命根子”，运算是数学的“童子功”.

第（2）问若用几何法求解，先要说明△AFC的面积最小时，EF⊥BD，再证明∠CFA就是CF与平面ABD所成的角，最后在△AFC中求∠CFA的正弦值. 若用向量法求解，还是先要说明EF⊥BD，确定F点的位置，接着分别以EA，EB，ED为x軸、y轴、z轴建立空间直角坐标系，写出需要的点的坐标，再求向量和平面ABD的法向量所成的角的余弦值，从而可得直线CF与平面ABD所成的角的正弦值.

教学过程

美国教育家杜威说过，教学绝不仅仅是一种简单的告诉，教学应该是一种经历、一种体验、一种感悟.为了更加有利于学生解题经验的积累、关键能力的提升和数学素养的发展，本节课采用的是基于情境、问题导向的启发式、互动式、探究式教学.

1. 面面垂直问题

问题1 如何证明两个平面垂直？

生1：要证明平面与平面垂直，根据面面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面经过另外一个平面的一条垂线即可.

追问1 如何证明直线与平面垂直？

生2：要证明直线与平面垂直，根据线面垂直的判定定理，只需证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直即可.

设计意图 巧妇难为无米之炊.没有数学基础知识的支撑，就不可能有基本技能和思想方法的形成，也就不可能有解题经验的积累.所以数学中的概念、原理、性质等基础知识必须在复习教学中系统化、深刻化展现出来，要求学生学懂弄通，烂熟于心.

追问2 如何证明本题第（1）问中的平面BED⊥平面ACD？

生3：本题可以先证明AC⊥DE，AC⊥BE，从而得到AC⊥平面BED，由此证明平面BED⊥平面ACD.

追问3 你能规范地书写出第（1）问详细的解答过程吗？

生4：因为AD=CD，∠ADB=∠BDC，且BD为公共边，故△ADB≌△BDC，故AB=BC. 又E为AC的中点，故AC⊥DE.同理可证AC⊥BE. 因为DE∩BE=E，且DE，BE?平面BED，所以AC⊥平面BED. 又AC?平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.

所有学生独立完成，两位学生板书，教师点评并纠正.特别强调解答过程表述的严谨性、逻辑性和规范性.如证明AC⊥DE，AC⊥BE后，不能直接得到AC⊥平面BED，应该说明DE，BE是平面BED内的两条相交直线.

追问4 第（1）问适合用空间向量法来解决吗？

生5：第（1）问不太适合用空间向量法来解决，否则过程烦琐.

教师提醒学生适合才是最好的.两种方法要灵活选择，第（1）问不太适合用空间向量法来解决，所以不要刻意使用.一般来说，空间几何中平行与垂直的论证问题用综合几何法来解决更好，当然这种方法对学生的逻辑思维能力有较高要求.

设计意图 通过设置层层递进的问题，一方面帮助学生复习回顾面面垂直、线面垂直的判定定理;另一方面引导学生剖析本题第（1）问的证明思路——由线面垂直得到面面垂直，符合学生的认知规律，也能提高学生的推理论证能力. 同时，通过解答过程的书写培养学生数学语言表达能力，提高答题的严谨性、规范性.

2. 线面夹角问题

问题2 什么叫直线与平面所成的角？

生6：直线与它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线与平面所成的角.

教师提醒学生这是斜线与平面所成的角的定义. 若直线与平面垂直，我们定义它们所成的角为90°;若直线与平面平行或在平面内，我们定义它们所成的角为0°. 因此直线与平面所成的角的范围是0°≤θ≤90°，直线与平面所成的角的正弦值与余弦值均为非负数.

追问1 对于本题第（2）问，你是如何解决的？

生7：从方法选择上来说，我感觉线面角的平面角不容易找到，所以此问用空间向量法来解决更好，即求向量和平面ABD的法向量所成的角的余弦值，即得直线CF与平面ABD所成的角的正弦值.

学生的选择要给予肯定，接下来教师顺应学生的思路继续开展教学活动.

追问2 用空间向量法需要建立空间直角坐标系，那你是如何建系的？

生8：由（1）知AC⊥DE，AC⊥BE，我觉得以E为原点，分别以EA，EB，ED为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系最好.

追问3 DE⊥BE吗？

生8：估计是垂直的.

史宁中教授曾指出：“在大多数情况下，数学的结果是‘看出来的而不‘证出来的.”生8虽然遇到了问题瓶颈，但他能凭借自己的直观想象去大胆猜测，这是值得鼓励的. 此处确实也是解决第（2）问的一个关键点.教师提醒学生从题设中所给的数据信息出发，尝试证明DE⊥BE.

生9：可以证明DE⊥BE. 由已知得△ABC为正三角形，故BE=.△ADC为等腰直角三角形，故DE=1.又BD=2，故BD2=BE2+DE2，从而可证DE⊥BE.

生9的思路清晰，表达准确，教师给予了表扬.

设计意图 通过以上问题的分析与解决，旨在强调建立适当的空间直角坐标系是用空间向量法解决空间角问题的首要前提. “适当”的坐標系有利于点、直线方向向量、平面法向量坐标的求解以及向量间的坐标运算，也有利于发展学生的直观想象、逻辑推理等数学核心素养.

追问4 建立坐标系后（如图2所示），为了求向量和平面ABD的法向量m的坐标，需要写出哪些点的坐标？你能写出哪些？

生10：我可以写出A（1，0，0），B（0，，0），D（0，0，1），C（-1，0，0），但点F的坐标不知道.

这又是解决第（2）问的一个关键点.教师提醒学生从题设所给的条件“点F在BD上，△AFC的面积最小”中寻求并确定点F的位置.

生11：我认为，△AFC的面积等于AC·EF，由于AC=2是确定的，所以当EF的长最小，即EF⊥BD时，△AFC的面积最小. 于是在直角三角形DEB中，DF==，故F是DB的四等分点，于是点F的坐标为0

，

，.

生11回答得很有条理，逻辑性强，教师给予了表扬.

追问5 如何求向量和平面ABD的法向量的坐标？

生12：=1

，

，. 设平面ABD的法向量m的坐标为（x，y，z），则由m⊥，m⊥得m·=0，m·=0. 又=（-1，，0），=（-1，0，1），故-x+

y=0，

-x+z=0，取x=1，得m=1

，，1.

追问6 如何求直线CF与平面ABD所成的角的正弦值？

生13：设直线CF与平面ABD所成的角为θ，向量和平面ABD的法向量m所成的角为φ，则sinθ=

cosφ

==.

学生在这一步运算中，往往结果容易出错，教师强调准确性很重要，提醒学生要细心.

追问7 为什么sinθ=

cosφ

，有哪位同学能解释一下吗？

生14：直线与平面所成的角的范围为0°≤θ≤90°，而直线的方向向量与平面的法向量所成的角的范围是0°≤φ≤180°，又直线与平面所成的角θ和直线的方向向量与平面的法向量所成的角φ或其补角π-φ“互余”，所以直线与平面所成的角θ的正弦值和直线的方向向量与平面的法向量所成的角φ的余弦值的绝对值相等，即sinθ=

cosφ

.

设计意图 通过以上问题的分析与解决，旨在让学生积累空间角的求解经验，发展学生的数学运算素养. 提醒学生在运算求解过程中，既要注重运算路径的合理性、运算速度的敏捷性，更要注重运算结果的准确性.

问题3 若第（2）问不用向量法，改用几何法可以解决吗？解决问题的关键是什么？

生15：用几何法可以. 问题解决的关键是“找到”或“作出”直线CF与平面ABD所成的角的平面角，即找到直线CF与其在平面ABD上的射影所成的角.

追问1 直线CF在平面ABD上的射影在哪个位置？你能找到吗？

这是用几何法求空间角的关键点，也是难点，考验学生的空间想象能力和逻辑思维能力，此时教师引导学生去思考.

生16：根据前面的分析，BD⊥平面ACF. 若过点C作CM⊥AF，垂足为M，则易证CM⊥平面ABD. 于是直线CF在平面ABD上的射影就是直线AF，故直线CF与平面ABD所成的角的平面角是∠CFA.

追问2 接下来，如何求∠CFA？

生17：这个问题简单. 在△ACF中，AC=2，不难求出AF=CF=，利用余弦定理可得cos∠CFA=-，于是CF与平面ABD所成的角的正弦值为.

追问3 你能分别用向量法和几何法规范写出第（2）问的解答过程吗？

学生梳理解答思路，书写详细的解答过程，教师给予点评与纠正，再次强调语言表达的逻辑性、书写的规范性.

设计意图 通过上述问题的分析与解决，一方面提醒学生用几何法解决空间角问题也有它的有效性和优越性，优点在于“求角”运算量小，难点在于“找角”思维量大;另一方面强调一题多解对优化解题路径、发散数学思维都非常重要.

问题4 通过本节课的教学，你对立体几何问题的解决有什么心得？

设计意图 旨在让学生去回顾本节课的教学过程，总结、归纳本节课涉及的基础知识、基本技能、基本思想方法和基本数学活动经验，厘清面面垂直的证明和线面角的求解路径，体会几何法与向量法适用的问题情境和各自的解题优势，并能在以后的解题中灵活应用.

教学思考

1. 研究课程标准，明确备考方向

研究是有效教学的前提. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020修订）》是高考命题的纲领性文件，它对高中阶段的学业要求做了明确的阐述.备考教学对于立体几何要紧紧围绕空间几何體的结构特征及其表面积、体积，空间点、线、面的位置关系（尤其是平行与垂直）及其夹角、距离等问题开展教学，注重学生空间观念的形成，聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用，指导学生会用准确的数学语言表示空间图形、表达位置关系、表述解题思路，会用向量法研究空间图形的位置关系和度量关系，注重立体几何的基础性、综合性、应用性和创新性.

2. 关注重要考点，积累解题经验

问题是数学的心脏.纵观历年全国卷高考试题，不难发现，高考对立体几何的考查主要集中于直线与平面、平面与平面平行和垂直的论证及空间角的求解（尤其高频考查垂直的论证、二面角的求解）. 因此在备考教学中，大家要突出重要题型的解题教学，要注重例题选择的典型性、代表性，注重学生课堂参与的积极性、主动性，注重问题解决方法的规律性、多样性，特别要注重数学本质、通性通法. 鼓励学生灵活选择运用向量法与几何法，从不同角度解决立体几何问题（如距离问题），通过对比体会两种方法的共性和差异.

3. 提高关键能力，发展核心素养

学科素养是育人价值的体现. 关键能力是认识问题、分析问题、解决问题应具备的能力，是学科素养的细化.在立体几何教学中，教师要重点提升学生的空间想象、逻辑思维和运算求解能力，以此来发展学生的直观想象、逻辑推理和运算求解等数学核心素养. 如通过线面平行或垂直的论证、空间角的平面角的寻找来发展学生逻辑推理和直观想象素养;通过空间几何体的表面积、体积及空间角、距离的计算来发展学生的数学运算素养. 在教学中，教师要创设合适的情境、问题，引发学生独立思考与合作交流，提升学生的关键能力，发展学生的核心素养.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.