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步骤清晰 精准得分

2023-05-05骆丽叶

初中生世界 2023年15期
关键词:顶角边角等腰三角

文/骆丽叶

在中考阅卷过程中,阅卷细则通常要求踩点给分,即使最终答案算错,但是如果书写过程正确到位,依然会得到相应的过程分。因此,我们答题时要做到规范书写、步骤清楚,尽己所能地将分数收入囊中。

例1(2022·广东广州)如图1,点D、E在△ABC的边BC上,∠B=∠C,BD=CE。求证:△ABD≌△ACE。

图1

证明:∵∠B=∠C,∴AB=AC。

【点评】本题是一道比较简单的几何证明题,主要考查了“等角对等边”、三角形全等的判定。

本题有2 个得分点,根据“等角对等边”可得AB=AC,是第一个得分点;用“边角边”证明△ABD≌△ACE,是第二个得分点。

例2(2020·江苏无锡)如图2,已知AB∥CD,AB=CD,BE=CF。

求证:(1)△ABF≌△DCE;(2)AF∥DE。

图2

证明:(1)∵BE=CF,

∴BE-EF=CF-EF,即BF=CE。

∵AB∥CD,∴∠B=∠C。

(2)∵△ABF≌△DCE,∴∠AFB=∠DEC。

∴∠AFE=∠DEF。∴AF∥DE。

【点评】本题主要考查了等式的性质、平行线的性质和判定、“等角的补角相等”,以及三角形全等的判定和性质。

第(1)问有3 个得分点。根据等式的性质,由已知条件BE=CF,将BE与CF分别减去公共线段,得出BF=CE,是第一个得分点;再由平行线的性质得出∠B=∠C,是第二个得分点;最后根据“边角边”证得△ABF≌△DCE,是第三个得分点。

第(2)问有2 个得分点。根据△ABF≌△DCE得到∠AFB=∠DEC,是第一个得分点;根据“等角的补角相等”得到∠AFE=∠DEF,从而AF∥DE,是第二个得分点。

例3(2022·青海)两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来,则形成一组全等的三角形,把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形。

(1)问题发现:如图3,若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形,BC、DE分别是底边。求证:BD=CE;

(2)解决问题:如图4,若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一条直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由。

图3

图4

(1)证明:∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形,BC、DE分别是底边,

∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE。

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,

即∠BAD=∠CAE。

∴△ABD≌△ACE(SAS)。∴BD=CE。

(2)解:∠AEB=90°,AE=BE+2CM。

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,

∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=90°。

∴∠ACD=∠BCE。

∴△ACD≌△BCE(SAS)。

∴AD=BE,∠ADC=∠BEC。

∵△CDE是等腰直角三角形,

∴∠CDE=∠CED=45°。

∴∠ADC=180°-∠CDE=135°。

∴∠BEC=∠ADC=135°。

∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°。

∵CD=CE,CM⊥DE,∴DM=ME。

∵∠DCE=90°,∴DM=ME=CM。

∴DE=2CM。

∴AE=AD+DE=BE+2CM。

【点评】本题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质。

第(1)问中有4 个得分点。先根据△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形,得到腰、顶角分别相等,是第一个得分点;接着由等角减去公共角得到∠BAD与∠CAE相等,是第二个得分点;再根据“边角边”证明△ABD≌△ACE,是第三个得分点;第四个得分点便是结论BD=CE。

第(2)问中有4 个得分点。先回答∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系,是第一个得分点;接着根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,证得△ACD≌△BCE,是第二个得分点;根据全等三角形的性质可得AD=BE,∠ADC=∠BEC,再结合等腰直角△DCE,从而可得∠BEC=∠ADC=135°,即知∠AEB=∠BEC-∠CED=90°,是第三个得分点;由CD=CE,CM⊥DE,∠DCE=90°,可得DM=ME=CM,故AE=AD+DE=BE+2CM,这是第四个得分点。我们在解这道题的时候,第(2)问即使不能求解出最终的答案,也要把前面的过程书写出来,这样可以得到一些过程分。

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