董培佩

摘 要：以5G网络和人工智能等为代表的新基建揭开了智能时代发展的序幕，迫切呼唤高校有机融合“智能+”理念赋能课程建设。高等数学教师可以采用人工智能赋能课程思政建设的方法，即将课程、思政和人工智能三者融合形成“智能+课程思政”。本文以高等数学中数列的极限为例，从数列极限的引入、数列极限的定义、极限思想的应用等教学环节，具体讨论了笔者是如何将思政元素融入到教学内容的。

关键词：人工智能；课程思政；数列的极限

中图分类号：G4     文献标识码：A      doi：10.19311/j.cnki.16723198.2023.08.075

高等数学具有涉及面广、知识点多、内容有深度和逻辑性强等特点。以人工智能和5G为代表的新科技迫切呼唤课程思政建设有机融合人工智能技术，构建人工智能时代新课程思政体系。教师在教学过程中恰当融入思政元素，可以提高学生的学习兴趣，加深学生对知识点的理解。如何将课程思政元素巧妙融入并且应用于课堂教学中，如何恰当应用人工智能技术将课程思政落到实处需要我们进一步探索。文章以数列的极限为例，从教学的目的和要求，教学的重难点、教学方法和手段、课堂教学过程这四个方面进行教学设计，以推动课程思政融入微积分的教学实践，从而丰富学生的思政教育。

1 把握本节课教学目的、重点和难点

本节课要求学生理解数列极限的定义，分析判断简单数列的极限，学会运用极限思想分析解决问题，培养学生思维能力和应用数学的能力；在教学过程中渗透辩证唯物主义世界观，体现数学的人文价值，培养学生精益求精的求真精神。其中对数列极限的分析定义的理解是本节课的难点，重点是帮助学生学会利用极限思想分析解决问题。

2 创新教学方法，做好课前预习和课后复习

课前搜集准备数列极限的相关学习资料，在智慧平台上传战国时期哲学家庄子关于数列极限萌芽的记载、魏晋时期数学家刘徽的割圆术，极限的四个发展阶段，极限在微积分领域的作用和地位等相关学习资料和视频。

课前将学生分组学习、預习，课堂上进行分组讨论；课中采取讲练结合法、引导法帮助学生对数列极限的定义进行进一步的理解；课后练习采取分层次练习法，将课后练习题分为必做题和选做题，并对应不同的分数，供不同层次的学生进行课后复习。

3 合理利用人工智能技术，优化课堂教学程序

（1）课前利用APP和小程序获取有数列极限的相关视频，共享在线课程资源，将学生分组讨论线上预习视频：讨论哲学家庄子的《天下篇》引用过的一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭所蕴含的数学思想；

（2）课前利用APP和小程序中的智能技术，通过个性化测试，分析学生的预习情况，了解班级每个同学的自主学习情况，从而做好更有针对性地教学设计，并帮助学生生成个性化学习方案；

（3）线下课堂师生共同分析刘徽的割圆术，从而得出数列极限的描述性定义；

（4）课堂上举例分析，给出数列极限的分析定义；

（5）课堂上师生共同讲解分析例题；

（6）课堂小结；

（7）线上线下作业布置，利用智能批阅系统进行作业批改，并分析学生作业情况；

（8）使用虚拟现实技术，利用智能化技术展示，体现极限的发展史、数学的发展历史及国内外数学家的研究历程等供学生课后学习了解；同时开放教育资源，永久存储海量课程知识，供学生随时随地可以进行自主学习。

4 实施教学各个环节，挖掘课程思政元素

4.1 分组讨论预习内容

同学们分组讨论学习通中观看学习资料、学习视频后对极限的产生、发展以及地位和作用的理解，对我国思想家庄子、数学家刘徽在极限思想的萌芽阶段起到的作用发表自己的看法。

课程思政元素：春秋战国时期的思想家、哲学名著《庄子》记载着惠施的一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是，一尺长的竿，每天截取前一天剩下的一半，日复一日，竿将越来越短，长度将越来越接近于零，但又永远不会等于零。这从直观上体现了极限思想，也是极限思想的萌芽阶段，比欧洲国家早了一千多年，由此帮助学生树立文化自信，从而构建自己相对认同的文化价值观，促进学生激发爱国的情怀。

4.2 数列极限的引入

创设情境，用数学教刘徽的割圆求周，引出新课。所谓“割圆术”，就是用圆的内接正多边形的面积去近似圆的面积。可以观察到，随着内接正多边形的边数越来越多，正多边形的面积就越来越接近于圆的面积。在有限次的过程中，用正多边形的面积来逼近圆的面积，也只能达到近似的程度。但可以推测，若把此过程无限次地继续下去，则能得到圆的精确面积。

课程思政元素：魏晋时期的数学家刘徽采用“割圆术”计算圆周率则是极限思想的一种基本应用。数学家刘徽利用“割圆术”求得圆周率为3.1416，数学家祖冲之在此基础上经过日以夜继的不懈努力，将圆周率进一步精确到了小数点的后7位。

通过我国古代数学家的事例，让学生体会到数学和我们的生活息息相关，无时无刻不存在我们的生产生活中，让学生感受我们所学数学知识的实际意义和作用，让学生体会到数学的巨大作用及魅力，激发学生对本次课以及《微积分》课程的兴趣，提高同学们的学习热情。并且通过数学家们孜孜不倦追求真理的精神帮助学生树立追求真理、勤奋刻苦，勇攀科学高峰的信心和决心。

4.3 举例分析，师生共同得出数列极限的描述性定义

观察以下数列：

12，23，34，…nn+1，…（1）

1，3，5，…，2n－1，…（2）

1，0，1，…，1－（－1）n2，…（3）

1，12，13，…，1n，…（4）

1，－12，13，－14，…，（－1）n－11n，…（5）

a，a，a，…，a，…（6）

提出问题：对于一个给定的数列xn，考察当n无限增大时（记作n→SymboleB@

），它的项的变化趋势．就以上六个数列来看：

随n增大，数列（1）的各项的值越来越与1接近﹔数列（2）的各项值越变越大，而且无限增大；数列（3）的各项的值交互取得0与1两数，而不是愈益与某一数接近；数列（4）的各项的值越来越与0接近；数列（5）的各项的值在数0两边跳跃，越来越与0接近；数列（6）的各项的值都相同。

当n→SymboleB@

时，给定数列的项xn无限接近某个常数A，则数列xn称为收敛数列，常数A称为n→SymboleB@

时数列的极限。例如数列（1），（4），（5），（6）就是收敛数列，它们的极限分别为1，0，0，a。

定义：当n无限增大时，如果数列xn的通项xn无限接近于常数A，则称常数A为数列xn的极限，或称数列xn收敛于A，记为：

limn→SymboleB@

xn=a或xn→a（n→SymboleB@

）

课程思政元素：让学生在观察数列、得出结果、提炼结论的过程中体会到科学研究特殊到一般的方法，并让学生明白所有结论都来源于实例、实践，做事情、做学问同样的结合实际，脚踏实地。数列极限思想是一种研究变量变化趋势的数学方法，数列极限思想生动地刻画与诠释了马克思主义科学原理。

4.4 定量分析，数列极限的分析定义

师生共同探讨，数学描述：

若数列xn的极限为A，则意味当n无限增大时，xn无限接近A，在数学上用距离来表示接近程度，即用xn－a来度量xn接近A的程度，因为n越大，xn越接近于A，所以n越大，xn－a越小，所以对任意的正数ε，在适当的N以后，xn-a应该可以小于指定的正数ε，这便是极限的数学定义：

定义 设{xn}是一个数列，a是常数.若对于任意的正数ε，总存在一个正整数N，使得当n＞N时，不等式xn－a<ε恒成立，则称常数a为数列xn当n→SymboleB@

时的极限，记为limn→SymboleB@

xn=a或xn→a（n→SymboleB@

）。

这时我们说数列是收敛的．否则称数列是发散的。

课程思政元素：数列极限的分析定义采用了用有限的变量去刻画数列无限的变化，由静刻画动。从而体会到认识的有限性是指每个时代的人每一次具体的认识是有限的，认识的无限性是指整个人类无止境的世代更替的认识是无限的。人的每一次具体的认识，由于受主客观条件的限制，是有限的；整个人类无止境的世代更替的认识，则具有无限性。认识的无限性，存在于有限性中，并通过无数有限性的认识而得以实现。让学生进一步体会有限性和无限性是辩证统一的。

“极限的朴素想法——极限的准确定义——微积分的整个学科体系”与“种子——环境——参天大树”以及“良知——致良知——知行合一”这三个类比让我们应该知道什么是支撑我们走向强大的力量，是看似渺小却内涵巨大能量的事物。我们要找到它，并不断的打磨它，就像是一个人的精神内核，我们应该打造这样的精神内核，虽然小或简单，但却精炼、蕴含能量，让我们走得远、走得久、走成坚不可摧的体系。

4.5 举例

例1 利用观察求数xn=n+（－1）nn的极限，并利用数列极限的分析定义证明。

引导学生通过观察数列变化分析出极限，对于比较复杂的数列的观察，可以借助于数学软件MATLAB等画出数列变化趋势，从而判断数列的极限是否存在。再利用数列极限的ε－N定义证明。

例2 假设小刘从银行贷款A元創业，银行年复利率为r，试计算t年后，小刘应还款多少钱？

解：（1）模型分析、建立

①若一年一结算，则t年后应还：At=A（1+r）t。

②若一年结算n次，则t年后应还：At=A（1+rn）nt。

③若按瞬时生息，即一年结算无限多次，则t年后应还：At=limn→SymboleB@

A（1+rn）nt。

（2）模型求解

对于此极限，不能用观察法求出其极限，但我们可以通过借助数学软件求出极限，具体操作如下：

Syms A n t r；

At=A*（1+r/n）^（n*t）；

Limit（At，n，inf）；

运行结果：Ans=A*exp（r*t），即At=Aert

由运行结果可知，t年后需要还钱的数目呈指数形式递增，这就意味着t年后小刘所需还款钱数是一个巨大的数目。

课程思政元素：通过贴合实际的应用举例，让学生体会数学在实际生产生活中的作用，数学来源于生活，存在于生活，也应用于生活，所以同学们必须用知识武装自己，用知识掌握命运。并且由例2更是提醒同学们提高对贷款的防范意识，远离网贷、校园贷，要学会自我约束和理性消费。

4.6 课堂练习、思考、讨论

（1）分组阐述数列极限思想？讨论利用数列极限解决问题的思路和步骤？

（2）在利用数列的极限定义证明极限时，需要注意的问题？

（3）本节课我们利用静态符号刻画了动态的无限趋近，用有限去刻画了无限，你能举出更多的例子来体现“有限与无限”的对立统一规律吗？

4.7 线上、线下作业布置，智能批阅分析

将对应于本节课的练习提前编辑好上传至学习平台，将题目分为三种类型，按照易、中、难比例为6∶3∶1的比例设置，要求学生在规定时间内完成，并利用平台智能批阅分析功能，分析学生在本节课对各个知识点的掌握情况，为后续的教与学的侧重点提供依据。

4.8 教学反思

人工智能以及机器学习技术为高等数学提供智能化的教学与学习方法，人工智能技术与高等数学的教学融合在技术与教育方面都具有积极的价值。本节课主要针对学生在学习单纯数学概念时觉得枯燥无味、缺乏兴趣等问题，教师以古代数学家刘徽的“割圆术”引入教学内容，同时将课程思政元素借助于人工智能技术巧妙地融入到数列极限这一节课的教学过程中，在有效地教学情境中，使得学生达到理解数列极限的概念、领会数列极限的思想、掌握应用数列极限解决实际问题的目的，从而完成学生对知识的感知阶段、理性认识阶段、概括阶段和运用阶段四个阶段的升华，提高学生的学习效率和兴趣，达到教书育人的最终目的。

另外，要将人工智能技术与高校高等数学教学有机融合，使其在高校教育中得到有效应用，要不断加强人工智能学科与数学学科融合的实践与理论研究，促进二者的协同作用，协同发展。基于人工智能技术的高等数学教学中，融合智能技术开展课程思政，从而实现个性化育人是重中之重。

参考文献

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